高考三角函数题型分析.pdf

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1、数学.试题分析 专题.三角函数 一、题型分析 一、单调性问题 此类问题主要考查三角函数的增减性，各象限中各个三角函数值的符号等很多情况下，需要通过三 角恒等变换将已知函数式化为一个角的一个三角函数式的形式来求解 例 1写出函数 24 sin2 3 sincoscosyxxxx在0，上的单调递增区间 解 ： 2222 sincossincos2 3sincosyxxxxxx 3sin 2cos22sin2 6 xxx 由已知可得 2 22 262 kxk， 则 63 kxk，kZ 又0x， 所以其单调递增区间是 0 3 ， 5 6 ， 点评 ：在求单调区间时，要注意给定的定义域，根据题意取不同的

2、k值；在求sin()yAx的 单调区间时还应注意的正、负，同学们可以自己求一下 2sin2 6 yx的单调递减区间，并与本例所 求得的区间对比一下 二、图象变换问题 三 角 函 数 的 图 象 变 换 是 一 个 重 点 内 容 解 这 类 问 题 ， 先 通 过 三 角 恒 等 变 换 将 函 数 化 为 sin()yAx(00)A，的形式， 然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变 换或振幅变换得到的特别需要注意的是：在图象变换中， 无论是 “先平移后伸缩” ，还是“先伸缩后平移” ， 须记清每次变换均对“x”而言 ，尤其是左右平移在由形变换向数的问题转化的的时候，也是用“x

3、 + k ” 代替 “x” ，其它做法都是多余的。尤其是要弄清楚“变换谁？得到谁？” ，这个问题不搞清楚，就不要做题。 例 2已知函数 22 sin2sincos3cos1yxxxx，xR该函数的图象可由sinyx，xR的图 象经过怎样的变换而得到？ 解： 22 sin2sincos3cos1yxxxx 2 sin 22cossin 2cos21xxxx 2 sin21 4 x 将函数sinyx依次作如下变换： （ 1）把函数sinyx的图象向左平移 4 ，得到函数 sin 4 yx 的图象； （ 2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，得到函数 sin 2 4

4、yx 的图象； （ 3）把得到的图象上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） ，得到函数 2sin2 4 yx 的图 象； （ 4）把得到的函数图象向上平移1个单位长度，得到函数 2 sin21 4 yx的图象 综上得到函数 22 sin2sincos3cos1yxxxx的图象 点评 ：由sinyx的图象变换得到sin()yAx的图象，一般先作平移变换，后作伸缩变换，即 sinsin()sin()sin()yxyxyxyAx如果先作伸缩变换，后作平移变换， 则左 （右） 平移时不是个单位， 而是个单位， 即sin()sin()yxyx是左（右） 平移 个单位长度 三、最小正周期问题 这类问题

5、一般要通过恒等变换，然后得出我们所熟悉的三角函数-也就是sin()yAx 形式 三角函数问题，从而求得其周期最小正周期问题常与三角函数的奇偶性、单调性、对称性及最值交 汇出现应掌握几个常用三角函数的最小正周期，会求sin()yAx的周期 例 3函数 42 sincosyxx的最小正周期为（） （） 4 （） 2 （）（）2 解析： 4222 sin1sin1sin(1sin)yxxxxQ 22211 cos47cos4 1sincos1sin 21 4888 xx xxx， 2 42 T故选（） 点评： 本题是通过平方关系、倍角公式、降次将函数化为单一且次数为一次的函数求解的 四、求值与证明问

6、题 此类题是高考中出现较多的题型，要求同学们掌握从题设条件入手、以题目结论或要求为目标，正确 运用各类三角公式，消除角的差异，实现函数名称的转化，达到解（证）题的目的 深刻理解三角函数的概念，熟练掌握各类三角公式，熟悉三角恒等变换的常用思想方法和变换技巧， 是解决问题的关键 例 4已知 1 tan 42 （1）求tan的值； （2）求 2 sin 2cos 1cos2 的值 解： （1）由题意知 1tan1 tan 41tan2 ，解得 1 tan 3 ； （ 2） 22 2 sin 2cos2sincoscos2sincos 1cos22cos2cos 1115 tan 2326 点评： 本

7、题在解答过程中用到了两角和的正切公式、二倍角公式及正、余弦公式的关系，熟练掌握和灵活 应用各类三角公式显得尤为重要，在此前提下，解决该类问题，必须先弄清楚“角”在哪里？否则容易求 错题目，弄清楚“角”在哪也就是“求值角先行 ！ ” ；另外，三角函数问题围绕“角和名”两大问题来思考， 尽量寻求角之间的联系，尽量减少函数名，是解决这类问题的基本法则。 五、最值或值域问题 这是在考试中出现频率很高的一类题型，要求掌握基本的三角公式和正弦、余弦等基本三角函数的值 域解题时，常常进行降次处理，尽量将异名三角函数化为同名三角函数，将不同的角化为相同的角 例 5若函数 21cos2 ( )sinsin 4

8、2sin 2 x f xxax x 的最大值为23，试确定常数a的值 解 ： 2 2 2cos ( )sinsin 2cos4 x f xxax x 2 cossinsin 4 xxax 2 2 sinsin 44 xax 2 2sin 4 ax 因为( )f x的最大值为23，所以 2 223a，即 2 3a，3a 点评 ：本题先进行三角恒等变换，化为sin()yAx的形式，再求a的值求一个复杂三角函数的最 小正周期、 最值、单调区间等， 一般是将这个复杂的三角函数通过三角恒等变换化简为sin()yAx的 形式后再求解另外，在求最值问题还有一类题型就是：把所给的函数运用换元的办法转化为一元二

9、次函 数的问题来解决，这里就不再举例。换元的时候要注意“引进新元要立刻根据旧元求出新元的取值范围”， 当然，还有可能把三角函数问题跟导数简单结合，这样只能扩大知识点的覆盖，但不会增加试题的难度， 要想正确解答这类问题，必须对三角函数的求导熟悉，否则在求导这一知识环节出问题，题目也就没办法 进行了。 二、题型特点：（条件给出的变化、难度等） 在这部分考题中，选择题，解答题多是基本题目，概念性比较强；这里就不再论述； 在大题中，在条件的给出过程中，多与平面向量结合，这是近年来变化比较大的地方，多是利用平面 向量的坐标运算以及平面向量数量积最终转化为三角函数的问题；在上面的分析中，我们给出了六类三角

10、 函数题型，其中估计在三角函数的应用部分2008 年不会设置大题，三角函数图象变换出大题的可能性也不 大，肯定要在三角函数图象和性质的利用上做文章，这点也是三角函数部分的重点之重点，大家除了要对 三角函数的图象和性质非常熟练之外，还要对三角恒等变换以及诱导公式和两角和与差的公式非常熟悉。 因此必须引起大家的高度重视。但历年来三角函数问题难度的设置上不会太多，多是中、低档题，因此， 这部分不能丢分。更不能会而不对，对而不全。 三、强化训练 一、选择题 1、 （海南、宁夏理3）函数 sin 2 3 yx 在区间 2 ，的简图是（A ） 2、 （海南宁夏理9）若 cos22 2 sin 4 ，则co

11、ssin的值为（C ） 7 2 1 2 1 2 7 2 3、将 2cos 36 x y的图象按向量 2 4 ，a平移，则平移后所得图象的解析式为（A ） 2cos2 34 x y 2cos2 34 x y C、 2cos2 312 x y 2cos2 312 x y 4、 （江西理 5）若 0 2 x，则下列命题中正确的是（D ） 3 sin xx 3 sin xx 2 2 4 sin xx 2 2 4 sin xx 5、 （全国卷 1 理 1）是第四象限角， 5 tan 12 ，则sin（ D ） A 1 5 B 1 5 C 5 13 D 5 13 6、全国卷1 理（ 12）函数 22 (

12、)cos2cos 2 x f xx的一个单调增区间是（ A ） A 2 33 ，B 6 2 ，C0 3 ，D 6 6 ， 7、 （全国卷 2 理 2）函数sinyx的一个单调增区间是（ C ） A，B 3 ，C，D 3 2 ， 8、函数sin 2cos 2 63 yxx 的最小正周期和最大值分别为（ A ） A，1B，2C2，1D2，2 9、 “ 2 3 ”是“ tan2cos 2 ”的（A ） 充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件 10、若函数( )2sin()f xx，xR（其中0， 2 ）的最小正周期是，且(0)3f， 则（ D） A 1 26 ，B 1 23

13、 ， C 2 6 ， D2 3 ， 二、填空题 4、 （江苏 11）若 1 cos() 5 ， 3 cos() 5 ，则tantang_ 1 2 _ 11、 （上海理6）函数 2 sin 3 sinxxy的最小正周期T 15、 （浙江理12）已知 1 sincos 5 ，且 3 24 ，则cos2的值是 7 25 12、 （四川理16）下面有五个命题： 函数y=sin 4x-cos4x 的最小正周期是. 终边在y轴上的角的集合是a| a=Zk k , 2 |. 在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. 把函数.2sin3 6 ) 3 2sin(3的图象得到的图象向

14、右平移xyxy 函数.0) 2 sin(上是减函数，在xy其中真命题的序号是 三、解答题 16、 （安徽理16）已知0，为( )cos 2f xx的最小正周期， 1 tan1 4 ，a (cos2)，b，且ga bm求 2 2cossin 2() cossin 的值 主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力 解：因为为 ( )cos 2 8 f xx 的最小正周期，故 因ma b，又 1 costan2 4 a b故 1 costan2 4 m 由于 0 4 ，所以 22 2cossin 2()2cossin(22 ) cossincossin 2 2cos

15、sin 22cos(cossin) cossincossin 1tan 2cos2costan2(2) 1tan4 m 18、 （福建理17）在ABC中， 1 tan 4 A， 3 tan 5 B （）求角 C的大小；（）若ABC 最大边的边长为17，求最小边的边长 考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力 解： （） ()CABQ， 13 45 tantan()1 13 1 45 CAB 又0CQ， 3 4 C （） 3 4 CQ，AB边最大，即17AB又tantan0ABABQ， ， 角A最小，BC边为最小边由 22 sin1 tan cos4 sinc

16、os1 A A A AA ， ， 且 0 2 A ， 得 17 sin 17 A由 sinsin ABBC CA 得： sin 2 sin A BCAB C g所以，最小边2BC 19、 （广东理16）已知ABC顶点的直角坐标分别为(3 4)A ，(0 0)B，(0)C c， （ 1）若 5c ，求sin A 的值；（2）若 A 是钝角，求c的取值范围 解析： （1）( 3, 4)AB uuu r ，(3, 4)ACc uuu r ， 若 c=5， 则(2,4)AC uuu r ， 6161 coscos, 52 55 AAC AB uu u r uuu r ， sin A 2 5 5 ； 2

17、 ）若 A为钝角，则 39160 0 c c 解得 25 3 c， c 的取值范围是 25 (,) 3 ； 21、 （湖南理16）已知函数 2 ( )cos 12 f xx ， 1 ( )1sin2 2 g xx （ I ）设 0 xx是函数( )yf x图象的一条对称轴，求 0 ()g x的值 （ II ）求函数( )( )( )h xfxg x的单调递增区间 解： （I ）由题设知 1 ( )1cos(2) 26 f xx 因为 0 xx是函数( )yf x图象的一条对称轴，所以 0 2 6 xk， 即 0 2 6 xk（kZ） 所以 00 11 ()1sin21sin( ) 226 g

18、xxk 当k为偶数时， 0 113 ()1sin1 2644 g x ， 当k为奇数时， 0 115 ()1sin1 2644 g x （ II ） 11 ( )( )( )1cos 21sin2 262 h xf xg xxx 131313 cos 2sin 2cos2sin2 2622222 xxxx 13 sin 2 232 x 当 2 22 232 kxk，即 5 1212 kxk（kZ）时， 函数 13 ( )sin2 232 h xx 是增函数，故函数( )h x的单调递增区间是 5 1212 kk ，（kZ） 22、 （江西理18） 如图，函数 2cos()(0) 2 yxxR，

19、的图象与y轴交于点(03)，且在该点处切线的斜率为 2 （1）求和的值； （ 2） 已知点 0 2 A ， 点P是该函数图象上一点，点 00 ()Q xy，是PA的中点， 当 0 3 2 y， 0 2 x ，时，求 0 x的值 解： （1）将0x，3y代入函数2cos()yx得 3 cos 2 ， 因为0 2 ，所以 6 又因为2sin()yx， 0 2 x y， 6 ，所以2， 因此2cos 2 6 yx y x 3 O A P （ 2）因为点0 2 A ， 00 ()Q xy，是PA的中点， 0 3 2 y， 所以点P的坐标为 0 23 2 x ， 又因为点P在2cos 2 6 yx 的图

20、象上，所以 0 53 cos 4 62 x 因为 0 2 x，所以 0 7519 4 666 x， 从而得 0 511 4 66 x或 0 513 4 66 x即 0 2 3 x或 0 3 4 x 23、 （全国卷1 理 17）设锐角三角形ABC的内角ABC， ，的对边分别为abc， ，2 sinabA （）求B的大小；（）求cossinAC的取值范围 解： （）由2 sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以 1 sin 2 B， 由 ABC 为锐角三角形得 6 B （）cossincossinACAA cossin 6 AA 13 coscossin 22 AAA3sin

21、 3 A 由ABC为锐角三角形知， 22 AB， 2263 B 2 336 A， 所以 13 sin 232 A 由此有 33 3sin3 232 A ， 所以，cossinAC的取值范围为 3 3 22 ， 24、 （全国卷2 理 17）在ABC中，已知内角A，边2 3BC设内角Bx，周长为y （ 1）求函数( )yf x的解析式和定义域； （ 2）求y的最大值 解： （1）ABC的内角和ABC，由00ABC，得 2 0B 应用正弦定理，知 2 3 sinsin4sin sin sin BC ACBxx A ， 2 sin4sin sin BC ABCx A 因为yABBCAC，所以 22

22、4sin4sin2 3 0 3 yxxx， （2）因为 1 4 sincossin2 3 2 yxxx 5 4 3sin2 3xx ， 所以，当x，即x时，y取得最大值6 3 5、 （陕西理17）设函数( )f xa b，其中向量(cos2 )mx，a，(1sin2 1)x，b，xR，且( )yf x的图 象经过点 2 4 ， （）求实数m 的值（）求函数( )f x的最小值及此时x值的集合 解： （）( )(1sin2 )cos2f xa bmxxg， 由已知 1sincos2 422 fm ，得1m （）由（）得 ( )1sin 2cos212 sin2 4 f xxxx ， 当 sin

23、21 4 x 时，( )f x的最小值为12， 由 sin 21 4 x ，得x值的集合为 3 8 x xkkZ， 26、已知0, 14 13 )cos(, 7 1 cos且 2 ,( ) 求2tan的值 . （）求. 本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。 解： （）由 1 cos,0 72 ，得 2 214 3 sin1cos1 77 sin4 37 tan43 cos71 ，于是 22 2tan24 38 3 tan 2 1tan47 14 3 （）由0 2 ，得0 2 又 13 cos 14 ， 2 2133 3 sin1cos1 141

24、4 由得： coscoscoscossinsin 113433 31 7147142 所以 3 27、 （天津理17）已知函数( )2cos (sincos )1f xxxxxR， （）求函数( )f x的最小正周期； （）求函数( )f x在区间 3 84 ，上的最小值和最大值 本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、 倍角公式、 函数sin()yAx的 性质等基础知识，考查基本运算能力满分12 分 （）解： ( )2cos(sincos )1sin 2cos22 sin 2 4 f xxxxxxx 因此，函数( )f x的最小正周期为 （）解法一：因为 ( )2 si

25、n 2 4 f xx 在区间 3 88 ，上为增函数，在区间 3 3 84 ，上为减函数， 又 0 8 f ， 3 2 8 f ， 33 2 sin2 cos1 4244 f ， 故函数( )f x在区间 3 84 ，上的最大值为2，最小值为1 28、 （重庆理17）设 2 ( )6cos3 sin 2f xxx （）求( )f x的最大值及最小正周期；（）若锐角满足()32 3f，求 4 tan 5 的值 解 1cos2 ( )63sin 2 2 x f xx3cos23sin 23xx 31 2 3cos2sin 23 22 xx 2 3cos 23 6 x 故( )f x的最大值为2 33；最小正周期 2 2 T （）由()32 3f得2 3 cos 2332 3 6 ，故cos 21 6 又由0 2 得2 666 ，故2 6 ，解得 5 12 从而 4 tantan3 53