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1、1 人教版中考数学真题及答案 一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004 安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足 分别为B、D且AD与B相交于E点 .已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证：E点在y轴上； (2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB位置不变， 再将DC水平向右移动k(k0) 个单位， 此时AD与BC相交 于E点，如图，求AEC的面积S关于k的函数解析式. C（1，-3） A （2， -6） B D O x E y 图 C （1+k， -3） A （ 2，-6） B D O x E y 2 解 （1）（本小
2、题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E作EOx轴，垂足OABEODC , EODOEOBO ABDBCDDB 又DO+BO=DB 1 EOEO ABDC AB=6 ，DC=3 ，EO =2 又 DOEO DBAB ， 2 31 6 EO DODB AB DO=DO，即O与O重合，E在y轴上 方法二：由D（ 1，0），A（-2 ，-6 ），得DA直线方程：y=2x-2 再由B（-2 ， 0），C（ 1， -3 ），得 BC 直线方程：y=-x-2 联立得 0 2 x y E点坐标（ 0，-2 ），即E点在y轴上 图 3 （ 2）设抛物线的方程y=ax 2+ bx+c(a 0) 过A（ -2 ，-
3、6 ），C（1，-3 ） E（ 0，-2 ）三点，得方程组 426 3 2 abc abc c 解得a=-1,b=0,c=-2 抛物线方程y=-x2-2 （ 3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（ 1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E作EFx轴垂足为F。 同（ 1）可得：1 E FE F ABDC 得：EF=2 方法一：又EFAB E FDF ABDB ， 1 3 DFDB SAEC= SADC- SEDC= 1112 2223 DCDBDCDFDCDB = 1 3 DCDB=DB=3+k S=3+k为所求函数解析式 方法二： BADC，SBCA=SBDA SAEC= SBDE
4、11 323 22 BDE Fkk S=3+k为所求函数解析式. 证法三：SDE CSAEC=DE AE=DCAB=1 2 同理：SDECSDEB=1 2, 又SDECSABE=DC 2AB2=1 4 221 3 992 AE CABCD SSABCDBDk 梯形 4 S=3+k为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1， 0）为圆心、 直径 AC 为22的圆与 y 轴交于 A、D 两点 . （ 1）求点 A 的坐标； （ 2）设过点A 的直线 yxb 与 x 轴交于点B.探究：直线AB 是否M的切线？ 并对你的结论加以证明； （ 3）连接 BC，记
5、ABC 的外接圆面积为S1、M面积为 S2，若 4 2 1 h S S ，抛物线 yax 2bx c 经过 B、M 两点，且它的顶点到 x轴的距离为h.求这条抛物线的解 析式 . 解（ 1）解：由已知 AM 2，OM 1， 在 Rt AOM中， AO 1 22 OMAM， 点 A 的坐标为 A（0，1） （ 2）证：直线y xb 过点 A（0， 1）1 0b 即 b1 y x1 令 y0 则 x 1 B（1，0）， AB 211 2222 AOBO 在ABM 中， AB2， AM 2，BM 2 22222 4)2()2(BMAMAB 5 ABM 是直角三角形，BAM 90 直线 AB 是M 的
6、切线 （ 3）解法一：由得BAC 90 ，AB 2，AC 22， BC10)22()2( 2222 ACAB BAC 90 ABC 的外接圆的直径为BC， 2 5 ) 2 10 () 2 ( 22 1 BC S 而2) 2 22 () 2 ( 22 2 AC S 4 2 1 h S S ， 5, 42 2 5 h h 即 设经过点B（ 1， 0）、 M （1，0）的抛物线的解析式为： ya（ 1）（ x 1），（a 0）即 yax 2a，a 5，a5 抛物线的解析式为y5x 25 或 y 5x2 5 解法二：（接上）求得h5 由已知所求抛物线经过点B（ 1， 0）、 M （1、0），则抛 物线
7、的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，5） 抛物线的解析式为ya（ x 0） 2 5 又 B（ 1,0 ）、 M （ 1,0 ）在抛物线上，a 50，a5 抛物线的解析式为y 5x 2 5 或 y 5x25 A B C D x M y 6 解法三：（接上）求得h5 因为抛物线的方程为yax 2bx c（ a 0） 由已知得 5 0 5 5c 0b 5 5 4 4 0 0 2 c b aa a bac cba cba 或 解得 抛物线的解析式为y 5x 2 5 或 y 5x25. 3.(2004湖北荆门 )如图，在直角坐标系中，以点P（1，1）为圆心， 2 为半径作圆， 交 x 轴于
8、 A、B 两点，抛物线)0( 2 acbxaxy过点 A、B，且顶点 C 在P 上. (1)求P 上劣弧 AB的长； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否存在一点D， 使线段 OC 与 PD 互相平分？若存在， 求出点 D 的坐标； 若不存在，请说明理由. 解（1）如图，连结PB，过 P 作 PMx 轴，垂足为M. 在 Rt PMB 中， PB=2,PM=1, A B C O x y P （1， 1） 7 MPB 60 ，APB 120 AB的长 3 4 2 180 120 （ 2）在 Rt PMB 中， PB=2,PM=1,则 MB MA 3. 又 OM=1，A（ 13，0）， B
9、（13， 0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线 PM 上， 则 C(1， 3). 点 A、B、C 在抛物线上，则 cba cba cba 3 )31()31(0 )31()31(0 2 2 解之得 2 2 1 c b a 抛物线解析式为22 2 xxy （ 3）假设存在点D，使 OC 与 PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且 PC OD. 又 PCy 轴，点 D 在 y 轴上，OD2，即 D（0， 2）. 又点 D（0， 2）在抛物线22 2 xxy上，故存在点D（ 0， 2）， 使线段 OC 与 PD 互相平分 . 4.（ 2004 湖北襄樊） 如图，在平面直角坐标系内
10、，Rt ABC的直角顶点C（0，3） 在 y 轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OAOB 3 1，以OA、OB为直 径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q. （ 1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （ 2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （ 3）在AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN AB交OC于点 A B C O x y P （1，1） M y C 8 N.试问：在x轴上是否存在点P，使得PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角 三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1) 在 Rt ABC中，OCAB，
11、AOCCOB. OC 2OA OB. OAOB 3 1,C(0, 3), 2 ( 3)3.OB OB OB 1. OA3. A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为 2 .yaxbxc 则 930, 0, 3. abc abc c 解之，得 3 , 3 2 3, 3 3. a b c 经过A、B、C三点的抛物线的解析式为 2 32 33. 33 yxx (2)EF与O1、O2都相切 . 证明：连结O1E、OE、OF. ECFAEOBFO 90 , 四边形EOFC为矩形 . QEQO. 12. 34, 2+ 4 90 ， EF与O1相切 . 同理： EF 理O2相切 . (3) 作MP
12、OA于P，设MNa,由题意可得MPMNa. B A E F O1 Q O O2 y x 2 1 3 4 M P C 9 MN OA, CMNCAO. . MNCN AOCO 3 . 3 3 aa 解之，得 3 33 . 2 a 此时，四边形OPMN是正方形 . 3 33 . 2 MNOP 3 33 (,0). 2 P 考虑到四边形PMNO此时为正方形， 点P在原点时仍可满足PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形. 故 x轴上存在点 P使得PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且 3 33 (,0) 2 P 或 (0,0).P 5.（2004 湖北宜昌）如图，已知点A(0 ，1)、C(4
13、，3)、E( 4 15 ， 8 23 )，P 是以 AC 为 对角线的矩形ABCD内部 (不在各边上)的个动点，点D 在 y 轴，抛物线y ax 2+b x+1 以 P 为顶点 (1) 说明点 A、C、 E在一条条直线上； (2) 能否判断抛物线yax 2+b x+1 的开口方向 ?请说明理由； (3) 设抛物线yax2+bx+1 与 x 轴有交点F、G(F 在 G 的左侧 )，GAO 与FAO 的 面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点这时能确定a、b 的值 吗?若能，请求出a、 b 的值；若不能，请确定a、b 的取值范围 10 X O P D C A B Y (本题图形仅供分
14、析参考用) 解（1）由题意，A(0 ，1)、 C(4，3)确定的解析式为： y= 2 1 x+1. 边将点 E 的坐标 E( 4 15 ， 8 23 )代入 y= 2 1 x+1 中，左边 = 8 23 ，右 = 2 1 4 15 +1= 8 23 ， 左边= 右边，点 E在直线y= 2 1 x+1 上，即点A、C、E 在一条直线上. （ 2）解法一：由于动点P 在矩形 ABCD 内部，点 P 的纵坐标大于点A 的纵坐标， 而点 A 与点 P 都在抛物线上，且P 为顶点，这条抛物线有最高点，抛物线的开口 向下 解法二：抛物线y=ax 2+b x+c 的顶点P 的纵坐标为 a ba 4 4 2
15、，且 P 在矩形 ABCD 内部， 1 a ba 4 4 2 3，由 11 a b 4 2 得 a b 4 2 0，a0，抛物线的开口向下. （ 3）连接 GA 、FA，S GAO S FAO=3 2 1 GO AO 2 1 FO AO=3 OA=1 ， GO FO=6. 设 F（x1,0）、 G（x2,0），则x1、x2 为方程ax 2+b x+c=0的两个根， 且x1x2，又a0， x1x2= a 1 0，x10x2， GO= x2，FO= x1，x2（x1）=6 ， 即x2+x1=6 ，x2+x1= a b a b =6 ， X G F O P D E C A B Y 11 由方程组 y
16、=ax 26ax+1 y= 2 1 x+1 得： ax2（ 6a+ 2 1 ）x=0 b= 6a, 抛物线解析式为：y=ax 2 6 ax+1, 其顶点 P 的坐标为（3，1 9a） , 顶点 P 在 矩形 ABCD 内部， 11 9a3, 9 2 a 0. x=0 或x= a a 2 1 6 =6+ a2 1 . 当x=0 时，即抛物线与线段AE 交于点A，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的 交 点，则有：06+ a2 1 4 15 ，解得： 9 2 a 12 1 综合得： 9 2 a 12 1 b= 6a， 2 1 b 3 4 6.（2004湖南长沙）已知两点O(0 ，0)、B(0 ，2
17、)，A过点 B 且与x轴分别相交 于点 O、C，A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3 1， 直线l与A切于点 O ， 抛物线的顶点在直线l上运动 . （1）求A的半径； （2）若抛物线经过O、C 两点，求抛物线的解析式； 0 x y 12 （3）过l上一点 P 的直线与A交于 C、E 两点，且PCCE，求点 E 的坐标； （4）若抛物线与x轴分别相交于C、F 两点，其顶点P 的横坐标为m，求PEC的 面积关于m的函数解析式. 解 (1) 由弧长之比为3 1，可得BAO90 o 再由 ABAO r，且 OB 2，得 r2 (2)A 的切线l过原点，可设l为ykx 任取l上一点 (b，kb)，由l
18、与y轴夹角为45 o可得： bkb或bkb，得k 1 或k1， 直线l的解析式为yx或yx 又由 r2，易得C(2 ，0)或 C(2， 0) 由此可设抛物线解析式为yax(x2)或yax(x2) 再把顶点坐标代入l的解析式中得a 1 抛物线为yx22x或yx2 2x6分 (3) 当l的解析式为yx时，由P 在l上，可设P(m ， m)(m 0) 过 P 作 PPx轴于 P，OP|m| ， PP | m| ，OP 2m 2， 又由切割线定理可得：OP 2 PC PE, 且PCCE，得 PCPE m PP7 分 C 与 P为同一点，即 PEx轴于 C，m2， E(2， 2) 8 分 同理，当l的解
19、析式为yx 时， m 2，E(2，2) 13 (4) 若 C(2， 0)，此时l为yx，P 与点 O、点 C 不重合，m0且 m 2， 当 m 0 时， FC2(2 m) ，高为 |yp|即为 m ， S 22(2)() 2 2 mm mm 同理当 0 m 2 时， S m 2 2m ；当 m 2 时， S m22m ； S 2 2 2 (02) 2 (02) mm mm mmm 或 又若 C( 2，0)， 此时l为yx，同理可得；S 2 2 2(20) 2( 20) mm mm mmm 或 7.（2006 江苏连云港）如图，直线4kxy与函数 )0, 0(mx x m y的图像交于 A、B两
20、点，且与x、y轴分别交于C、D两点 A A 14 （ 1）若COD 的面积是AOB 的面积的2倍，求 k 与m之间的函数关系式； （ 2） 在（ 1） 的条件下， 是否存在k 和m， 使得以 AB为直径的圆经过点)0, 2(P 若 存在，求出k 和m的值；若不存在，请说明理由 解（ 1）设),(11yxA，),(22yxB(其中2121,yyxx)， 由 AOBCOD SS2，得)(2 BODAODCOD SSS 2 1 OC 2OD( 2 1 OD1y 2 1 OD 2y)，)(2 21 yyOC， 又4OC，8)( 2 21 yy，即84)( 21 2 21 yyyy， 由 x m y可得
21、 y m x，代入4kxy可得04 2 kmyy 4 21 yy，kmyy 21 ， 8416km，即 m k 2 又方程的判别式08416km， 所求的函数关系式为 m k 2 )0(m （ 2）假设存在 k , m，使得以AB为直径的圆经过点)0, 2(P 则 BPAP ，过 A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M 、 N MAP与BPN 都与APM互余，MAPBPN Rt MAP Rt NPB ， NB MP PN AM 2 1 2 1 2 2y x x y ，0)2)(2( 2121 yyxx， 0)2)(2( 21 21 yy y m y m ， 即0)(4)(2 2 212121 2
22、 yyyyyymm 由（ 1）知4 21 yy，2 21 yy，代入得0128 2 mm， 2m或 6 ，又 m k 2 ， 1 2 k m 或 3 1 6 k m ， 存在 k ,m，使得以AB为直径的圆经过点)0,2(P，且 1 2 k m 或 3 1 6 k m 8. （2004江苏镇江）已知抛物线 2 (5)5(0)ymxmxm与x轴交于两点 O P D C B A NMOPD C B A 15 x y O 1 (,0)A x、 2 (,0)B x 12 ()xx，与y轴交于点C，且AB=6. （1）求抛物线和直线BC的解析式 . （2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC. （3
23、）若P过A、B、C三点，求P的半径 . （4）抛物线上是否存在点M，过点M作MNx轴于点N，使MBN被直线BC 分成面积比为1 3的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明 理由 . 解（ 1）由题意得： 121221 55 ,6. m xxxxxx mm 2 2 1212 520 ()436,36, m xxx x mm 解得 12 5 1,. 7 mm 经检验m=1 ，抛物线的解析式为： 2 45.yxx 或 ： 由 2 (5 )50mxmx得 ，1x或 5 x m 0,m 5 16,1.m m 抛物线的解析式为 2 45.yxx 由 2 450xx得 12 5,1.xx A（
24、5， 0），B（1，0），C（0， 5）. 16 设直线 BC 的解析式为,ykxb 则 5,5, 0.5. bb kbk 直线 BC 的解析式为55.yx (2) 图象略 . （ 3）法一：在RtAOCD中，5,45 .OAOCOAC 90BPC. 又 22 26,BCOBOC P的半径 2 2613. 2 PB 法二： 由题意， 圆心P在AB的中垂线上， 即在抛物线 2 45yxx的对称轴直线2x 上，设P（ 2，h）（h0）， 连结 PB、PC，则 222222 (12),(5)2PBhPCh， 由 22 PBPC，即 2222 (12)(5)2hh，解得h=2. ( 2, 2),PP的
25、半径 22 (12)213PB. 法三： 延长CP交P于点F. CF为P的直径，90 .CAFCOB 17 又,.ABCAFCACFOCBD D ,. CFACAC BC CF BCOCOC 又 22 555 2,AC 22 5,5126,COBC 5 226 2 13. 5 CF P的半径为13. （ 4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为 2 ( ,45),t tt则点E的坐标为 ( ,55).tt 若1 3, MEBENB SS DD :则1 3.MEEN: 2 4 3 4,45(55). 3 ENMNttt: 解得 1 1t（不合题意舍去）， 2 5 , 3 t 5 40 ,. 39
26、 M 若3 1, MEBENB SS DD :则3 1.MEEN: 2 1 4,454(55).EN MNttt: 解得 3 1t（不合题意舍去）， 4 15,t15,280 .M 存在点M，点M的坐标为 5 40 , 39 或（ 15 ，280 ）. 9. 如图，M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为)03(，A、)01( ，B，直径CD x轴于N，直线CE切M于点C，直线FG切M于点F，交CE于G，已知点 18 G的横坐标为3. (1) 若抛物线mxxy2 2 经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标 . (2) 求直线DF的解析式 . (3) 是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两
27、个交点的横坐标之和等 于 4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由. 解 (1) 抛物线过 A、B两点， 1 1)3( m ，m=3. 抛物线为32 2 xxy. 又抛物线过点D， 由圆的对称性知 点D为抛物线的顶点. D点坐标为)41(，. (2) 由题意知：AB=4. CDx轴，NA=NB=2. ON=1. 由相交弦定理得：NANB=NDNC， NC4=2 2. NC=1. C点坐标为)11(，. 设直线DF交CE于P，连结CF，则CFP=90 . 2+ 3= 1+ 4=90 . （第 9 题图） A y x O N M G F E D C 19 GC、GF是切线，
28、GC=GF. 3= 4. 1= 2. GF=GP. GC=GP. 可得CP=8. P点坐标为)17( ， 设直线DF的解析式为bkxy 则 17 4 bk bk 解得 8 27 8 5 b k 直线DF的解析式为： 8 27 8 5 xy (3) 假设存在过点G的直线为 11 bxky， 则13 11 bk，13 11 kb. 由方程组 32 13 2 11 xxy kxky 得034)2( 11 2 kxkx 由题意得42 1 k，6 1 k. 当6 1 k时，040， 方程无实数根，方程组无实数解. F A y x O N M G E D C P 1 2 3 4 20 满足条件的直线不存在
29、. 10. （ 2004山西）已知二次函数 21 2 yxbxc的图象经过点A（ 3，6），并 与 x 轴交于点B（ 1，0）和点C，顶点为P. （ 1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （ 2）设 D 为线段 OC 上的一点，满足DPC BAC ，求点 D 的坐标； （ 3）在 x 轴上是否存在一点M ，使以M 为圆心的圆与AC 、PC 所在的直线及 y 轴都相切？如果存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 （1）解：二次函数 21 2 yxbxc的图象过点A（ 3，6），B（ 1，0） 得 9 36 2 1 0 2 bc bc 解得 1 3 2
30、 b c 这个二次函数的解析式为： 2 13 22 yxx 由解析式可求P（1， 2）， C（3，0） 画出二次函数的图像 （2）解法一：易证：ACB PCD 45 又已知： DPCBAC DPC BAC DCPC BCAC 易求6 2,2 2,4ACPCBC 4 3 DC 45 3 33 OD 5 ,0 3 D 解法二：过A 作 AEx 轴，垂足为E. x O y 21 设抛物线的对称轴交x 轴于 F. 亦可证AEB PFD、 PEEB PFFD . 易求： AE 6，EB2，PF2 2 3 FD 25 1 33 OD 5 ,0 3 D （3）存在 . （ 1）过M 作 MH AC ，MG
31、PC 垂足分别为H 、G，设 AC 交 y 轴于 S， CP 的延长线交y 轴于 T SCT 是等腰直角三角形，M 是SCT 的内切圆圆心， MG MH OM 又2MCOM且 OM MC OC 23,3 23OMOMOM得 3 23,0M （ 2）在x 轴的负半轴上，存在一点M 同理 OM OC M C，2OMOCOM 得3 23OMM 3 23,0 即在 x 轴上存在满足条件的两个点. 22 A B C M O x y 11. （ 2004 浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（ 1，0）， B（3，0）. （1）若抛物线过A，B 两点，且与y 轴交于点（ 0， 3），求此抛物线的顶点 坐标；
32、（2）如图，小敏发现所有过A， B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C， M 为抛物线的顶点，那么ACM与ACB 的面积比不变，请你求出这个比值； （3）若对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E，F，与 y 轴交于点C， 过 C 作 CPx 轴交 l 于点 P，M 为此抛物线的顶点.若四边形PEMF 是有一 个内角为60 的菱形，求次抛物线的解析式. M T 1 1 -1 -2 4 -3 2 3 0 5 6 E -1 -2 2 3 C x y B D M F S G H P 23 解 （1）32 2 xxy，顶点坐标为（1， 4）. （ 2）由题意，设y a（ x1）（ x3）
33、， 即 yax 22ax 3a ， A（ 1，0）， B（3，0）， C（0， 3a）， M （1， 4a ）， S ACB 2 1 4 a3 6a， 而 a0， S ACB 6A、 作 MDx 轴于 D ， 又 S ACM S ACOSOCMDS AMD 2 1 1 3a 2 1 （3a4a ） 2 1 2 4a a， S ACM： S ACB1：6. （3）当抛物线开口向上时，设ya（x 1）2k，即 yax 22ax a k， 有菱形可知 ka k，ak 0，k0， k 2 a ， yax 2 2ax 2 a ， 2EF . 记 l 与 x 轴交点为D ， 若PEM 60 ，则FEM 3
34、0 ，MD DE tan30 6 6 ， k 6 6 ，a 3 6 ， 抛物线的解析式为 6 6 6 3 2 6 3 12 xxy. 24 若PEM 120 ，则FEM 60 ，MD DE tan60 2 6 ， k 2 6 ，a6， 抛物线的解析式为 2 6 626 2 xxy. 当抛物线开口向下时，同理可得 6 6 6 3 2 6 3 1 2 xxy， 2 6 626 2 xxy. 12. （ 2005北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykxk4的图象 与 x 轴交于点A，抛物线yaxbxc 2 经过 O、A 两点。 （ 1）试用含a 的代数式表示b ； （ 2）设抛物线的顶点
35、为D，以 D 为圆心， DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两 部分。 若将劣弧沿x 轴翻折， 翻折后的劣弧落在D内， 它所在的圆恰与OD 相切， 求D半径的长及抛物线的解析式； （ 3）设点 B 是满足（ 2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上 是否存在这样的点P，使得POAOBA 4 3 ？若存在，求出点P 的坐标；若不 存在，请说明理由。 解（1）解法一：一次函数ykxk4的图象与x 轴交于点A 点 A 的坐标为（ 4， 0） 抛物线yaxbxc 2 经过 O、A 两点 cab01640， ba4 25 解法二：一次函数ykxk4的图象与x 轴交于点A 点 A 的坐标
36、为（ 4， 0） 抛物线yaxbxc 2 经过 O、A 两点 抛物线的对称轴为直线x2 x b a2 2 ba4 （2）由抛物线的对称性可知，DO DA 点 O 在D上，且DOADAO 又由（ 1）知抛物线的解析式为yaxax 2 4 点 D 的坐标为（24，a） 当a 0时， 如图 1，设D被 x 轴分得的劣弧为 OmA，它沿 x 轴翻折后所得劣弧为OnA ， 显然OnA 所在的圆与D关于 x 轴对称，设它的圆心为D 点 D 与点 D 也关于 x 轴对称 点 O 在D 上，且D 与D 相切 点 O 为切点 26 DO OD DOADOA 45 ADO 为等腰直角三角形 OD2 2 点 D 的
37、纵坐标为2 42 1 2 42 a aba， 抛物线的解析式为yxx 1 2 2 2 当a 0时， 同理可得：OD2 2 抛物线的解析式为yxx 1 2 2 2 综 上 ， D半 径 的 长 为2 2， 抛 物 线 的 解 析 式 为yxx 1 2 2 2 或 yxx 1 2 2 2 （3）抛物线在x 轴上方的部分上存在点P，使得POAOBA 4 3 设点 P 的坐标为（ x，y），且y0 当点 P 在抛物线yxx 1 2 2 2 上时（如图2） 点 B 是D的优弧上的一点 O B AA D O 1 2 45 27 P O AO B A 4 3 60 过点 P 作 PEx轴于点 E t an
38、ta n P O E EP OE y x yx 60 3 由 yx yxx 3 1 2 2 2 解得： x y x y 1 1 2 2 42 3 64 3 0 0 ，（舍去） 点 P 的坐标为42 364 3， 当点 P 在抛物线yxx 1 2 2 2 上时（如图3） 同理可得，yx3 由 yx yxx 3 1 2 2 2 解得： x y x y 1 1 2 2 42 3 64 3 0 0 ，（舍去） 点 P 的坐标为42 364 3， 综上，存在满足条件的点P，点 P 的坐标为 42364 3，或42364 3， 13.（2005 北京丰台） 在直角坐标系中，O1经过坐标原点O，分别与x 轴
39、正半轴、 28 y 轴正半轴交于点A、B。 （1）如图，过点A 作O1的切线与y 轴交于点C，点O 到直线AB 的距离为 123 sin 55 ABC，求直线AC 的解析 式； （2） 若O1经过点M （2， 2） ， 设B O A 的内切圆的直径为d， 试判断 d+AB的值 是否会发生变化，如果不变，求出其值， 如果变化，求其变化的范围。 解（1）如图 1，过 O 作OGB于 G，则OG 12 5 设OAk kAOBABC3090 3 5 (),sin ABkOBk54， OA OBAB OGSkkk AOB 2345 12 5 1, OAOBAB345， A（ 3， 0） A O B90
40、,AB 是O1的直径 AC切O1于 A，BAACBAC,90 在Rt ABC中 cos,ABC AB BC BC OCBCOB 4 5 25 4 9 4 y B O1 O A x C 29 C()0 9 4 ， 设直线 AC 的解析式为ykxb，则 30 9 4 kb b kb 3 4 9 4 ， 直线 AC 的解析式为yx 3 4 9 4 （2）结论：dAB的值不会发生变化 设AOB的内切圆分别切OA 、OB 、AB 于点 P、 Q、T，如图 2 所示 y B M O1 Q P O A N x T 图 2 BQBTAPATOQOP d BQBTOB d APATOA d ABBTATOB d
41、 OA d OAOBd ， 2 22 22 , 则dABdOAOBdOAOB 在 x 轴上取一点N，使 AN=OB ，连接OM 、BM 、 AM 、 MN MOM( , ),2 2平分AOBOM,2 2 30 B O MM O NAMBM MANOBM OBAN 45 , ,又 B O MA N MB O MA N MA N MMON,45 OMNMOMN,90 OAOBOAANONOMMNOM 22 222 24 dAB的值不会发生变化，其值为4。 14. （ 2005 福建厦门）已知：O 是坐标原点，P（m，n）(m0)是函数y k x (k 0)上的点，过点P 作直线PA OP 于 P，
42、直线PA 与x轴的正半轴交于点A （a，0）(am). 设OPA 的面积为s，且s1 n 4 4 . （ 1）当n 1 时，求点A 的坐标； （ 2）若 OP AP，求k的值； (3 ) 设n是小于 20 的整数，且k n 4 2 ，求 OP 2 的最小值 . 解 过点 P 作 PQx轴于 Q，则 PQ n， OQ m (1) 当n1 时，s 5 4 a 2s n 5 2 (2) 解 1： OP AP PA OP 31 OPA 是等腰直角三角形 mn a 2 1 n4 4 1 2 an 即n 44 n2 40 k 24k 40 k2 解 2： OP AP PA OP OPA 是等腰直角三角形
43、mn 设OPQ 的面积为s1 则：s1 s 2 1 2 mn 1 2 (1 n 4 4 ) 即：n 44 n 240 k 24k 40 k2 (3) 解 1： PA OP，PQ OA 32 OPQO AP 设：OPQ 的面积为s1，则 s1 s PO 2 AO 2 即： 1 2 k 1 n 4 4 n 2 k 2 n2 4 (1 n 4 4 ) 2 n2 化简得： 2n 42k2 k n 44k0 （k2）（ 2kn4） 0 k2 或k n4 2 (舍去 ) 当n是小于 20 的整数时，k 2. OP 2n2m2n2 k2 n2 又m0，k2， n是大于 0 且小于 20 的整数 当n1 时，
44、 OP 2 5 当n2 时， OP 2 5 当n3 时， OP 2 32 4 3 2 9 4 9 85 9 33 当n是大于 3 且小于20 的整数时， 即当n4、5、6、 19 时， OP 2 得值分别是： 4 2 4 4 2、5 2 4 5 2、6 2 4 6 2、 19 2 4 19 2 19 2 4 19 218 2 4 18 2 3 2 4 3 25 OP 2 的最小值是5. 解 2： OP 2n2m2n2 k 2 n 2 n2 2 2 n 2 (n 2 n )24 当n 2 n 时，即当n2时， OP 2 最小； 又n是整数，而当n 1 时， OP 2 5；n 2 时， OP 25
45、 OP 2 的最小值是5. 解 3：PA OP，PQ OA OPQP AQ 34 PQ QA OQ PQ n am m n 化简得： 2n 42k2 k n 44k 0 （k2）（ 2kn4） 0 k2 或k n4 2 (舍去 ) 解 4：PA OP，PQ OA OPQP AQ s1 ss1 OQ 2 PQ 2 化简得： 2n 42k2 k n 44k 0 （k2）（ 2kn4） 0 k2 或k n4 2 (舍去 ) 解 5：PA OP，PQ OA OPQO AP OP OA OQ OP OP 2OQ OA 35 化简得： 2n 42k2 k n 44k 0 （k2）（ 2kn4） 0 k2 或k n4 2 (舍去 ) 15. （2005湖北黄冈课改）如图，在直角坐标系中，O 是原点， A、B、C 三点的坐 标分别为A（18 ，0）， B（ 18 ，6）， C（8， 6），四边形OABC 是梯形，点P、 Q 同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P 沿 OA 向终点 A 运动，速度为每秒 1 个单位，点Q 沿 OC 、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另 一点也停止运动。 （ 1）求出直线OC 的解析式及经过O、A、C 三点的抛物线的解析式。 （ 2）试在中的抛物线上找一点D， 使得以O 、 A、 D为顶点的三角形与 AOC全等，请直接写出点D 的坐标