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1、- 1 - 专题 1 空间向量与立体几何 【三年高考】 1. 【2017 江苏高考， 22】如图， 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且AB=AD=2， AA1=， （1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A1D-A的正弦值 【答案】（ 1）；（ 2） 【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线 A1B与AC1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向 向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的 坐标，求出各半平面的法向量，根据向量
2、数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与法向 量夹角之间关系确定二面角的正弦值 试题解析：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E 因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD 如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz 因为AB=AD=2，AA1=， 则 - 2 - （1）， 则 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为 设二面角B-A1D-A的大小为，则 因为，所以 因此二面角B-A1D-A的正弦值为 【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角 【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：破“建系关”， 构建恰当的空间直角坐标系；破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；破“求法向量 关”，求出平面的法向量；破“应用公式关” - 3 - 2. 【 2015 江苏高考， 22】如图，在四棱锥中，已知平面，且四边 形为直角梯形，, （1）求平面与平面所成二面角的余弦值； （2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长 【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐 标为， （1）因为平面，所以是平面的一个法向量，因为 ，设平面的法向量为，则， ，即令，解得，所以是平面 的一个法向量从而，所以平面与平面所成二面角 的余弦值为 （2）因为，设（） ，又， 则，又，从而 设，则