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1、试卷第 1 页，总 4 页 空间向量的正交分解及其坐标表示 学校 :_姓名： _班级： _考号： _ 评卷人得分 一、选择题 1在以下三个命题中，真命题的个数是（） 三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面； 若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线； 若a、b是两个不共线的向量，且,0Rcab，则, ,a b c构成 空间的一个基底 A0B1C2D3 2若 , ,a b c 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（） A,2 ,3abcB,ab bc ca C2 ,23 ,39abbcacD, ,abc b c 3已知向量
2、, ,a b c是空间的一个基底，向量,ab ab c是空间的另一个基底， 一向量p在基底, ,a b c下的坐标为1,2,3，则向量p在基底,ab ab c下的坐 标为（） A. 1 3 ,3 2 2 B. 31 ,3 22 C. 1 3 3, 2 2 D. 1 3 ,3 2 2 4若向量MA、MB、MC的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线， 且满足下列关系（O是空间任一点） ，则能使向量MA、MB、MC成为空间一组基底 的关系是（） A. 111 333 OMOAOBOC B.MAMBMC C.OMOAOBOCD.2MAMBMC 5已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的
3、中点，且OAa，OBb， OCc，用a，b，c表示向量MN为（） 试卷第 2 页，总 4 页 A. 111 222 abc B. 111 222 abc C. 111 222 abc D. 111 222 abc 6以下四个命题中，正确的是（） A若 11 23 OPOAOB，则P、A、B三点共线 B向量, ,a b c是空间的一个基底，则,ab bc ca构成空间的另一个基底 Ca bcab c DABC是直角三角形的充要条件是0AB AC 7 若 123 ,e e e是空间的一个基底， 123 aeee， 123 beee， 1 ce 23 ee， 123 23deee，xyzdabc，则
4、x，y，z的值分别为（） A 5 2 ，1， 1 2 B 5 2 ，1， 1 2 C 5 2 ，1， 1 2 D 5 2 ，1， 1 2 8 如图， 在三棱柱 111 ABCA B C中，M为 11 AC的中点，若ABa， 1 AAc，BCb， 则下列向量与BM相等的是（） A. 11 22 abc B. 11 22 abc 试卷第 3 页，总 4 页 C. 11 22 abc D. 11 22 abc 评卷人得分 二、填空题 9已知四面体ABCD中，2ABac，568CDabc，AC，BD的中点分别 为E，F，则EF_. 10如图，在正方体 1111 ABCDA BC D中，用AC， 1 A
5、B， 1 AD作为基向量，则 1 AC _ . 11 在 平 行 六 面 体 1111 A B C DA B C D中 ， 若 11 23ACxAByBCzCC， 则 xyz _ 评卷人得分 三、解答题 12如图所示，在正四棱柱 1111 ABCDA B C D中，O， 1 O分别为底面ABCD、底面 1111 A B C D的 中 心 ，6AB， 1 4AA，M为 1 B B的 中 点 ，N在 1 C C上 ， 且 1 :1: 3C NNC . （ 1）以O为原点，分别以OA，OB， 1 OO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直 试卷第 4 页，总 4 页 角坐标系，求图中各点的坐标 （ 2
6、）以D为原点，分别以DA，DC， 1 DD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直 角坐标系，求图中各点的坐标 13已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并 且1PAAD，求MN、DC的坐标 14如图所示，M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的 三等分点，用向量OA，OB，OC表示OP和OQ. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 1 页，总 5 页 参考答案 1C 【解析】正确，表示基底的向量必须不共面；正确；不对，a，b不共线 当cab时，a、b、c共面，故只有正确故选C. 考点：空间向量的基底. 2C 【解析】3
7、23 23390abbcac，39323 23acabbc， 即三向量2 ,23 ,39abbcac共面，故选C. 考点：空间向量的基底表示. 3B 【解析】设p在基底,ab ab c下的坐标为, ,x y z， 则23xyzxyxyzpabcababcabc， 所以 1, 2, 3 xy xy z ， 解得 3 , 2 1 , 2 3, x y z 故p在基底,ab ab c下的坐标为 31 ,3 22 . 考点：空间向量的基底表示. 4C 【解析】 A中，因为 111 1 333 ，所以M、A、B、C共面，所以向量MA、MB、MC 不能成为空间的一组基底；B中，MAMBMC，但可能MAMB
8、MC，即M、 A、B、C可能共面，所以向量MA、MB、MC不一定能成为空间的一组基底；D中， 2MAMBMC，M、A、B、C共面，所以向量MA、MB、MC不能成为空 间的一组基底，故选C. 考点：空间向量基本定理. 5C 【 解 析 】 如 图 所 示 ， 连 接ON，AN， 则 11 22 ONOBOCbc， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 2 页，总 5 页 11 2 22 ANACABOCOAOB 111 2 222 abcabc， 所以 1111 2222 MNONANabc. 考点：空间向量的基底表示. 6B 【解析】 A中，若 11 23 OPOAOB
9、，则P、A、B三点不共线，故A错； B 中，假设存在实数 1 k， 2 k，使 12112 kkkkkcaabbcab 2 k c，则 有 1 12 2 1, 0, 1, k kk k 方程组无解，即向量ab，bc，ca不共面，故B正确； C中，cos,a baba bab，故 C错； D 中，0AB ACABC是直角三角形，但 ABC是直角三角形，可能是角B等于 90，则有0BA BC，故 D错 考点：空间向量的基底表示. 7A 【解析】 123123123 xyzxyzdabceeeeeeeee 123123 23xyzxyzxyzeeeeee， 由空间向量基本定理，得 1, 2, 3,
10、xyz xyz xyz 5 2 x，1y， 1 2 z. 考点：空间向量基本定理. 8A 【解析】 111 11 22 BMBBab 11 22 cabc. 考点：空间向量的基底表示. 9335abc 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 3 页，总 5 页 【解析】如图所示，取BC的 中点G，连接EG，FG，则 1 2 E FG FG EC D 11111 5682335 22222 B AC DA Babcacabc. 考点：空间向量的基底表示. 10 11 1 2 ADABAC 【解析】 1111 2222ACAAADABAAADAAABADAB 11 ADABA
11、C，所以 111 1 2 ACADABAC. 考点：用向量的线性表达式表示向量. 11 7 6 【解析】如图所示，有 111 1ACABBCCCABBCCC. 又因为 11 23ACxAByBCzCC, 所以 1, 21, 31, x y z 解得 1, 1 , 2 1 , 3 x y z 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 4 页，总 5 页 所以 117 1 236 xyz 考点：空间向量的基底表示. 12详见解析 【 解 析 】（ 1 ） 正 方 形 ABCD 中 ， 6AB ， 6 2ACBD， 从 而 OAOCOB3 2OD， 各 点 坐 标 分 别 为 3
12、 2,0,0A，0,32,0B，3 2,0,0C，0, 3 2,0D， 0,0,0O， 1 0,0,4O， 1 3 2,0,4A， 1 0,32,4B， 1 3 2,0,4C， 1 0,3 2,4D， 0,32, 2M，3 2,0,3N （2）同理，6,0,0A，6,6,0B，0,6,0C，0,0,0D， 1 6,0,4A， 1 6,6,4B， 1 0,6,4C， 1 0,0,4D，3,3,0O， 1 3,3,4O，6,6,2M，0,6,3N 考点：空间中点的坐标表示. 13详见解析 【解析】 PA ADAB，且PA 平面 ABCD，ADAB，以,DA DB DP所在直 线为 x轴，y轴，z轴
13、建立空间直角坐标系 Axyz，如图所示 . 设 1 DAe， 2 ABe， 3 APe 11 22 MNMAAPPNMAAPPCMAAPPAADDC 2331213 1111 2222 eeeeeee， 11 ,0, 22 MN ， 2 0,1,0DCABe 考点：空间向量的坐标表示. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 5 页，总 5 页 14 111 633 OPOAOBOC ， 111 366 OQOAOBOC 【解析】 121 232 OPOM 1121 = 2632633 ONOAOAOBOCOAOBOC； =OQ OMMQ 1111111111 2323232332 OAMNOAONOMOAONOAOA 111 366 OBOCOAOBOC. 考点：用向量的线性表达式表示向量.