统计与统计案例.pdf

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1、统计与统计案例 第一节随机抽样 一、基础知识 1简单随机抽样 (1)定义：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样 本(nN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做 简单随机抽样这样抽取的样本，叫做简单随机样本 (2)常用方法：抽签法和随机数法 2分层抽样 (1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一 定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样 (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样 3系统抽样 (1)定义：当总体中的个体数

2、较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制 定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样 (2)系统抽样的步骤 假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n的样本 先将总体的N 个个体编号； 确定分段间隔k，对编号进行分段当 N n (n 是样本容量 )是整数时，取k N n ； 当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个 体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行.这时在整个抽样过程中每 个个体被抽取的可能性仍然相等. 在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(lk)； 按照一定的规则抽取样本通常是将

3、l 加上间隔k 得到第 2 个个体编号lk，再加 k 得到第 3 个个体编号l2k，依次进行下去，直到获取整个样本 二、常用结论 (1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的 (2)系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k 的整数倍 (3)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比 (4)三种抽样方法的特点、联系及适用范围 类别共同点各自特点联系适用范围 简单随 机抽样 抽样过程中每 个个体被抽到的 可能性相等； 每次抽出个体 后不再将它放回， 即不放回抽样 从总体中逐个抽取 总体个数 较少 系统 抽样 将总体均分成几部分，按 预先定出的规

4、则在各部 分中抽取 在起始部分取样 时，采用简单随 机抽样 总 体 个 数 较多 分层 抽样 将总体分成几层，分层进 行抽取 各层抽样时，采 用简单随机抽样 或系统抽样 总 体 由 差 异 明 显 的 几 部 分 组 成 考点一简单随机抽样 典例 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数有() 从无限多个个体中抽取100 个个体作为样本； 盒子里共有80 个零件，从中选出5 个零件进行质量检验在抽样操作时，从中任意 拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里； 用抽签方法从10 件产品中选取3 件进行质量检验； 某班有 56 名同学，指定个子最高的5 名同学参加学校组织的篮球赛 A0 个B1

5、个 C2 个D3 个 解析 不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的； 不是简单随机抽样， 因为它是有放回抽样； 明显为简单随机抽样；不是简单随机抽样， 因为不是等可能抽样 答案 B 解题技法 应用简单随机抽样应注意的问题 (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅 匀一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法 (2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的 数字计起， 每三个或四个作为一个单位，自左向右选取， 有超过总体号码或出现重复号码的 数字舍去 题组训练 1总体由编号为01,02，19,2

6、0 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个 体，选取方法是从随机数表第1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的第5 个个体的编号为() 78166572080263140702436997280198 32049234493582003623486969387481 A.08B07 C02 D01 解析： 选 D由随机数法的随机抽样的过程可知选出的5 个个体是08,02,14,07,01，所 以第 5 个个体的编号是01. 2利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10 的样本若第二次抽取时，余 下的每个个体被抽到的概率为 1 3，则在整个

7、抽样过程中，每个个体被抽到的概率为 () A. 1 4 B.1 3 C. 5 14 D.10 27 解析： 选 C根据题意， 9 n1 1 3， 解得 n28. 故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为 10 28 5 14. 考点二系统抽样 典例 (1)某校为了解1 000 名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规 则)抽取 40 名同学进行检查， 将学生从 1 1 000进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为443， 则第一组用简单随机抽样抽取的号码为() A16B17 C18 D19 (2)中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从502 名现场观众中抽取10%进 行座谈

8、，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除_个个体，抽 样间隔为 _ 解析 (1)因为从 1 000 名学生中抽取一个容量为40 的样本，所以系统抽样的分段间 隔为 1 000 40 25， 设第一组随机抽取的号码为x， 则抽取的第18 组编号为x 1725443，所以 x18. (2)把 502 名观众平均分成50 组，由于502 除以 50 的商是 10，余数是2，所以每组有 10 名观众， 还剩 2 名观众， 采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从502 名观众中抽取2 名观众， 这 2 名观众不参加座谈；再将剩下的500 名观众编号为1,2,3， ， 500

9、，并均匀分成50 段，每段含 500 50 10 个个体所以需剔除2 个个体，抽样间隔为10. 答案 (1)C(2)210 变透练清 1. 变结论若本例 (1)的条件不变，则编号落入区间 501,750 的人数为 _ 解析： 从 1 000 名学生中抽取一个容量为40 的样本， 系统抽样分40 组，每组 1 000 40 25 个号码，每组抽取一个，从501 到 750 恰好是第21 组到第 30 组，共抽取10 人 答案： 10 2(2018 南昌摸底调研 )某校高三 (2)班现有 64 名学生，随机编号为0,1,2， 63，依 编号顺序平均分成8 组，组号依次为1,2,3，8.现用系统抽样

10、方法抽取一个容量为8的样 本，若在第1 组中随机抽取的号码为5，则在第 6 组中抽取的号码为_ 解析： 由题知分组间隔为 64 8 8，又第 1 组中抽取的号码为5，所以第6 组中抽取的号 码为 5 8545. 答案： 45 解题技法 系统抽样中所抽取编号的特点 系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是 第 1 组所抽取样本的号码，公差为间隔数， 根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所 要抽取的样本号码 提醒 系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽 样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行 考点三分层抽样 典例 某电视台

11、在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共 有 20 000 人，其中各种态度对应的人数如下表所示： 最喜爱喜爱一般不喜欢 4 8007 2006 4001 600 电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100 人进行详细的调查，为此要 进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为() A25,25,25,25B48,72,64,16 C20,40,30,10 D24,36,32,8 解析 法一： 因为抽样比为 100 20 000 1 200 ，所以每类人中应抽取的人数分别为 4 800 1 20024,7 200 1 20036，6 400 1 20

12、032,1 600 1 2008. 法二： 最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 8007 2006 4001 600 698 2， 所以每类人中应抽取的人数分别为 6 6982100 24， 9 6982 10036， 8 698210032， 2 698 21008. 答案 D 解题技法 分层抽样问题的类型及解题思路 (1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算 (2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比 例式进行计算 (3) 分 层 抽 样 的 计 算 应 根 据 抽 样 比 构 造 方 程 求 解 ， 其 中 “ 抽 样 比 样本容量 总体容量

13、 各层样本数量 各层个体数量 ” 题组训练 1(2019 山西五校联考)某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一1 000 人、高二1 200 人、高三n 人中抽取81 人进行问卷调查，若高二被抽取的人数为30，则 n () A860 B720 C1 020 D1 040 解析： 选 D由已知条件知抽样比为 30 1 200 1 40，从而 81 1 0001 200n 1 40，解得 n 1 040，故选 D. 2.(2018广州高中综合测试)已知某地区中小学学生人数如图所示为 了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进 行调查若高中需抽取20 名学生，则小学

14、与初中共需抽取的学生人数为 _ 解析：设小学与初中共需抽取的学生人数为x， 依题意可得 1 200 2 7002 4001 200 20 x20， 解得 x 85. 答案： 85 课时跟踪检测 1从 2 019 名学生中选取50 名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简 单随机抽样法从2 019 名学生中剔除19 名学生，剩下的 2 000 名学生再按系统抽样的方法抽 取，则每名学生入选的概率() A不全相等B均不相等 C都相等，且为 50 2 019 D都相等，且为 1 40 解析： 选 C从 N 个个体中抽取M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于 M N，故每 名学生入选的概率

15、都相等，且为 50 2 019. 2福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03， 32,33 这 33 个两位号码中 选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6 个号码， 选取方法是从第1 行第 9 列的 数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为() 81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 A.12 B33 C06 D16 解

16、析： 选 C被选中的红色球的号码依次为17,12,33,06,32,22，所以第四个被选中的红 色球的号码为06. 3 某班共有学生52 人，现根据座号， 用系统抽样的方法，抽取一个容量为4 的样本 已 知 5 号、 18 号、 44 号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是() A23 B27 C31 D33 解析： 选 C分段间隔为 52 4 13，故样本中还有一个同学的座号为1813 31. 4某工厂在12 月份共生产了3 600 双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采 用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b， c，且 a， b， c 构成等差数

17、列，则第二车间生产的产品数为() A800 双B1 000 双 C1 200 双D1 500 双 解析： 选 C因为 a，b，c 成等差数列，所以2b ac，即第二车间抽取的产品数占 抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12 月份生 产总数的三分之一，即为1 200 双皮靴 5 (2018 南宁摸底联考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示为 了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样 本容量和抽取的高中生近视人数分别为() A100,20 B200,20 C200,10 D100,10 解析： 选 B由题

18、图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 0002% 200，抽取 的高中生人数是2 0002%40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取高中生的 近视人数为40 50%20，故选 B. 6一个总体中有100 个个体，随机编号为0,1,2， 99.依编号顺序平均分成10 个小 组，组号依次为1,2,3，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10 的样本， 如果在第一组 随机抽取的号码为m，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与mk 的个位数字相同若m 6，则在第7 组中抽取的号码是() A63 B64 C65 D66 解析： 选 A若 m6，则在第 7 组中抽取的号码个位数字与13

19、 的个位数字相同，而第 7 组中的编号依次为60,61,62,63，69，故在第7 组中抽取的号码是63. 7 采用系统抽样方法从960人中抽取 32人做问卷调查， 为此将他们随机编号为1,2， ， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的 32 人中，编号落入区 间1,450 的人做问卷A，编号落入区间 (450,750的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的 人中，做问卷B 的人数为 () A7 B9 C10 D15 解析： 选 C960 3230，故由题意可得抽到的号码构成以9 为首项，以30 为公差的 等差数列，其通项公式为an 930(n1)30n 21.由

20、 450 30n21750，解得15.7 n25.7.又 n 为正整数，所以16n25，故做问卷B 的人数为2516 110.故选 C. 8某企业三月中旬生产A，B，C 三种产品共3 000 件，根据分层抽样的结果，企业统 计员制作了如下的统计表格： 产品类别A B C 产品数量 (件 )1 300 样本容量 (件 )130 由于不小心，表格中A，C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样 本容量比 C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是 _件 解析： 设样本容量为x，则 x 3 000 1 300130， x300. A 产品和 C 产品在样本中共有30

21、0130170(件) 设 C 产品的样本容量为y，则 yy10170， y80. C 产品的数量为 3 000 300 80800(件) 答案 ：800 9某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽 样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100 件做使用寿命的测试， 则第一分厂应抽取的件 数为 _；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值 分别为 1 020 小时、 980 小时、 1 030 小时， 估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为 _小时 解析： 第一分厂应抽取的件数为10050%50；该产品的平均使用寿命为1 0200.5

22、9800.21 0300.31 015. 答案： 501 015 10将参加冬季越野跑的600 名选手编号为：001,002， 600，采用系统抽样方法抽 取一个容量为50 的样本，把编号分为50 组后，在第一组的001 到 012 这 12 个编号中随机 抽得的号码为004，这 600 名选手穿着三种颜色的衣服，从001 到 301 穿红色衣服，从302 到 496 穿白色衣服，从497 到 600 穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为_ 解析： 由题意及系统抽样的定义可知，将这600 名学生按编号依次分成50 组，每一组 各有 12 名学生，第k(kN *)组抽中的号码是 412(k1

23、)令 302412(k 1)496，得 255 6k42，因此抽到穿白色衣服的选手人数为 422517(人) 答案 ：17 11某初级中学共有学生2 000 名，各年级男、女生人数如下表： 初一年级初二年级初三年级 女生373x y 男生377370z 已知在全校学生中随机抽取1 名，抽到初二年级女生的概率是0.19. (1)求 x 的值； (2)现用分层抽样的方法在全校抽取48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？ 解： (1) x 2 0000.19， x380. (2)初三年级人数为yz2 000(373377380370)500，现用分层抽样的方法在 全校抽取48 名学生，应在初三年级抽取的人数为 48 2 000 500 12(名)