数学抽象方法汇总.pdf

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1、1 第 6 章 数学抽象方法 一、数学抽象方法 数学抽象方法是抽象方法在数学中的具体运用。它是从考虑的问 题出发，通过对各种经验事实的观察、分析、综合和比较，在人们的 思维中撇开事物现象的、外部的、偶然的东西，抽出事物本质的、内 在的、必然的东西， 从空间形式和数量关系上揭示客观对象的本质和 规律，或者在已有数学知识的基础上，抽出其某一种属性作为新的数 学对象，以此达到认识事物本质和规律的目的的一种数学研究方法。 二、数学抽象的特点 抽象性并非数学所独有，但数学的抽象性有它自身的特点。 1 数学抽象的特殊内容。 数学研究的对象只是现实世界的空间形式和数量关系而舍弃其他 一些具体内容。 2 数学

2、抽象的特殊高度。 和一般的自然科学相比，数学抽象的又一特点在于它所达到的高 度，数学的抽象程度远远超过了自然科学中的一般抽象。 首先，数学抽象往往是在其他学科抽象基础上的再抽象。 其次，数学抽象具有逐级抽象的特点。 3数学抽象的特殊方法。 数学抽象就是一种建构的活动，数学的研究对象是通过逻辑建构 活动来得到构造的，是借助于定义和推理进行的。 2 三、数学抽象的作用 1有利于使认识深入到事物的本质 什么是椭圆 ? 椭圆是鸡蛋的那种外形或者有点像橄榄的那种形状； 椭圆是平面上到两定点距离之和为一定值的点的轨迹，或者 椭圆是当 2 40bac时，满足方程 22 0axbxycydxeyf的点(x，

3、y)的集合。 2 有利于认识一般 下面是两类不同的方程： 221 2350,70 4 xxxx 2 0axbxc 3有利于认识无限 什么是自然数 ? 1，2，3， 4，5，6，等等。 意大利数学家皮亚诺这样定义自然数集： 自然数是指满足以下性质的集合N中的元素： (1)1 是 N的一个元，它不是N中任何元的后继者，若a 的后继 者用 a +表示，则对于 N中任何 a，a+1； (2) 对于 N中任意元 a，存在而且仅存在一个后继者a +； 3 (3) 对于 N中任何 a，b，若 a +=b+，则 a=b； (4)( 归纳公理 )N 的一个子集合 M ，若具有以下性质： 1M ；当 a M时，有

4、 a +M ，则 M N。 4有利于应用的广泛性 四、数学抽象的基本形式 1理想化抽象 在纯粹理想的状态下，对事物进行简单化与完善化的加工处理， 撇开事物的具体内容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的 本质的属性，抽象出相应数学内容的方法。例如，几何中点、线、面 等基本概念的引进，就是进行理想化抽象的结果。 理想化抽象的结果在数学中表现出各种不同的结构形式，既有图 形又有解析表达式；既有具体的数学，又有一般的抽象符号系统等。 数字化或图形化是理想抽象的主要方法： 2等价抽象 等价抽象是借助于等价关系给出已知集合的一个划分，然后将其 中等价的元素“同一化”而得到一个新集合的一种方法。其具体

5、 含义是，如果集合S中的一个二元关系R满足下述三条： （1）自反性对任意的 aS，a和a有关系 R，即 aRa； （2）对称性若aRb，则bRa，其中 bS； 4 （3）传递性若aRb，bRc，则aRc，其中 cS， 则称R为S上的一个等价关系。 由此可以看出得到S的一个划 分，使得S被表成若干个“等价类” i A 的并。等价的元素位于同一 等价类，不等价的元素位于不同的等价类之中。然后将同一等价类中 的元素“同一化”，即将等价的元素在抽象意义下看作同一个东西， 这样，一个等价类形象上凝聚了一个新的抽象元素。由所有这些元素 就构成了一个新集合。 实数的相等关系；三角形的全等；三角形的相似；直线

6、的平行 （垂直不是，不满足（ 3） ） ；整数的同余关系（以m 为模，就将整数 集分成 m 类） 。 等价抽象方法是建立新的数学系统的常用手段之一，在数学研究 中有着广泛的应用，数学中很多重要概念的出现都是由此而导致的， 这种方法在解题中往往亦可发挥其效力。 由 14 个相同的方格组成的图形，你能使之剪 成 7 个由相邻两 个方格组成的长方形吗？ 类似问题：中国象棋棋盘上的马从棋盘上任一点出 发，经若干次跳跃，再回到原处，证明：中间一定跳 了偶数步。 从任意选定的 n 个自然数中，总可以找到k 个数（1kn） ， 且每个数最多取一次，使其和可被n 整除。 5 3强抽象和弱抽象 弱抽象也可以叫做

7、“概念扩张性抽象”,这是指由原型中选取某一 特征或侧面加以抽象 ,从而形成比原型更为普遍、更为一般的概念或 理论,并使前者成为后者的特例.这种抽象过程仅仅是把与所研究问题 有关的本质属性保留下来,而原来的结构被削弱或不复存在,故称之为 弱抽象 .例如从各种不同的物件的计数中抽象出自然数的概念后,原物 件的性质与结构都不复存在,只剩下数的概念 . 弱抽象的结果，对于概念型抽象，外延扩大，内涵缩小；对于 命题型抽象，则命题更普遍，范围更广。 如函数概念的发展：早期函数概念（代数函数）18 世纪函 数概念（解析函数）19 世纪函数（变量函数近代函数概念 （映射函数） 22 )(bababa，开始是具

8、体的数，单个的字母或单项式， 进一步任何形式的数或式 一般地，最先被人们认识的一些较具体、较直观的事物对象，如 果其内容结构非常丰富，这时就可以采用弱抽象方法，引入新概念。 一般地说，如果人们认识的事物对象其内容结构形式非常贫乏， 或不够丰富，这时可采用强抽象方法引入新概念。当然，还可以根据 与弱抽象思维方式完全相反的特点，用来分析数学概念的层次结构， 理解数学知识间的相互关系。例如，在四边形中，增加“两组对边分 别平行”这个条件，通过强抽象可得平行四边形的概念；从平行四边 形的概念去掉“两组对边分别平行”的限制，有弱抽象便可得到四边 6 形的概念。可见，初等几何中平行四边形的概念在各种四边形

9、的概念 中占有中特别重要的地位： 它既是对任意四边形、 梯形等强抽象的结 果，又是另外一些概念如矩形，菱形、正方形等强抽象的出发点。同 时，它还是梯形、四边形等弱抽象的出发点。 辩证地运用弱抽象与强抽象的交互作用。 4存在性抽象 先用假设的方法肯定抽象出来的数学概念存在性，并由此发展出 一定的数学理论， 然后在理论和实践中加以验证，从而确认新的数学 理论的合理性。 四、抽象方法在解题中的应用 1将问题图形化 （1947年匈牙利数学奥林匹克试题）世界上任何六个人中， 一 定有 3 个人或者互相认识或者互相都不认识. 我们不直接证明这个命题，看与之等价的下述命题 （1953年美国普特南数学竞赛题）

10、空间六点，任三点不共线， 任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色 染这些线段（一条线段只染一种颜色）。求证：无论怎样染 ,总 存在同色三角形。 2 将问题数字化 7 7 只杯放在桌子上，三只杯口朝上，四只杯口朝下，现要求每 次同时翻转其中四只使杯口朝向相反，问能否经过有限次翻转 后，使所有杯子杯口均朝下？ 任意拿出黑白两种颜色的棋子共四颗，排成一个圆圈。然后在 两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颗颜色不同的 棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子。再重 复以上的过程。问这样重复下去各棋子的颜色会发生怎样的变 化呢？ 五、数学模型方法 1.数学模型的意义 所谓数

11、学模型，就是根据研究目的，将所研究的客观事物的过程 和现象的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地或近 似地表达出来的一种数学结构。 广义的理解凡是以相应的客观原型作为背景加以一级抽象 或多级抽象的概念、理论、公式等等 狭义的理解反映特定问题或特定具体事物系统的数学关系 结构（应用数学） 2.数学模型的类别 1确定性数学模型七桥问题 2随机性数学模型 8 蒲丰投针实验： 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d 的平行线，取一根 长度为 )(dll 的针，随机地向画有平行直线的纸上抛掷。计算针与直 线相交的概率。 3模糊性数学模型 模糊是相对于精确而言的。 现实事物的物质和状态实际上并非

12、绝 对的“ 非此即彼 ”,往往是相互联系和渗透的,没有绝对分明和固定不变 的界限。例如 “ 年轻” 与“ 年老” 、“ 健康” 与“ 不健康 ” 之间的界限都是模 糊的。事物的模糊性是由多种因素决定的,从而构成一个模糊集合,可 以用数学语言把这种模糊集合表达为数学模型。即模糊模型,然后进 行推导、演算和分析 ,得出结论。 考虑年龄集 U=0,100，A=“ 年老” ，A 也是一个年龄集， 美国控制 论专家查德给出了 “ 年老” 集函数刻画： 10050) 5 50 (1( 5000 )( 12 u u u uA 9 1 0 U 50 100 1 0 25 50U B（u） 再如， B= “ 年

13、轻” 也是 U 的一个子集，只是不同的年龄段隶属于 这一集合的程度不一样，查德给出它的隶属函数： 把 55 岁，60 岁，65 岁代入分别得： 0.5，0.8，0.9，这 说明 55 岁，60 岁，65 岁的人属于“年老”范畴的程度分别为：0.5， 0.8，0.9，而 70 岁则达 0.97了。 3.建立数学模型的步骤与途径 10025) 5 25 (1( 2501 )(12 u u u uB )(uA 10 步骤： 1观察 2分析与处理 3进行数学抽象 4检验与修改 要求： 1具有进行逻辑推导的可行性 2具有回到原型的真实性 3具有数学抽象的纯粹性 4具有一定的简洁性 途径： 1直接建立 2

14、对象模拟 3数据处理 4程序设计 4.数学模型方法应用 （1）竞赛 椅子平稳问题： 4 条腿长度相同的椅子放在不平的地面上一定 可以 4 条腿同时着地。 洗衣服问题设衣服经洗涤充分拧干后，残存水量w 千克， 11 其中含污物 m0千克，漂洗用的清水A 千克，把 A 千克水分成 n 次使用，每次用量依次为a1,a2,an（千克） ，经过 n 次漂 洗，衣服上还有多少污物？怎样合理使用A 千克水，才能把衣 服洗得最干净（残留污物最少）？ 减肥问题假设人体每天摄入的能量是一定的，记为A，每 1 千克体重每天因活动所消耗的能量记为B，1 千克体重每天 消耗的能量记为C，脂肪的能量转换系数记D=4.21

15、07焦耳/ 千克，人体的体重仅仅看成是时间t 的函数 w（t） 。 （2）中学数学教学 实际问题数学模型双向的过程 1交纳个人所得税的数学模型： 工资、薪金所得个人所得税应纳税额=应纳税所得额适用税率- 速算扣除数 注：表 中所列含 税级距、 12 不含税级距， 均为按照税法规定减除有关费用后的所得额。含税级 距适用于由纳税人负担税款的工资、薪金所得；不含税级距适用于由 他人（单位）代付税款的工资、薪金所得。 2几何级数 1 1 2 n n 求和的数学模型 3如果 ba0,那么 mb ma b a ，其中 m0，m 为实数。 4在一个正三角形的每个顶点上各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始沿三 角形各边朝其它顶点做直线运动， 假设目标顶点是随机选择的且每只 蚂蚁行进速度相同，为了研究蚂蚁在一次运动过程中互不相撞的概 率，请你设计一种便于动手操作的等效实验进行模拟。 5求关于 x1，x2， xn的方程 x1+x2+xn=100 的非负整数 解的个数。 求方程 x1+x2+xn=100 的正整数解的个数。