备战中考数学(北师大版)专题练习图形的相似(含答案).pdf

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1、学习必备欢迎下载 第 1 页 2019 备战中考数学（北师大版）专题练习-图形的相似（含答案） 一、单选题 1. 如图，点 G 、F 分别是 BCD 的边 BC 、CD上的点， BD的延长线与 GF的延长线 相交于点 A ， DE BC交 GA于点 E，则下列结论错误的是（） A. B. C. D. 2. 如图， ABC 中，D ，E两点分别在 AB ，AC边上，且 DE BC ，如果， AC=6 ，那么 AE的长为（） A. 3 B. 4 C. 9 D. 12 3. 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2 秒， 如果将直角三角形的边长扩大 1 倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（） A. 6

2、 秒 学习必备欢迎下载 第 2 页 B. 5 秒 C. 4 秒 D. 3 秒 4. 如图， ABC 中，BAC 90，AD BC于 D，若 AB 2，BC 4，则 CD的长是 ( ) A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 5. 如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的相似比为 （） A. 1： 2 B. 1： 4 C. 1： 8 D. 1：16 6. 如图，已知在 ABC中， 点 D、 E、 F分别是边 AB 、 AC 、 BC上的点，DE=BF ， EF=BD ， 且 AD ：DB=3 ：5，那么 CF ：CB等于（） A. 3： 5 B. 3： 学习必备欢迎下载 第 3 页

3、 8 C. 5： 8 D. 2：5 7. 如图，在 ABC 中，点 D 、E分别在边 AB 、AC上，且 DE不行于 BC ，则下列条 件中不能判断 ABC ADE的是（） A.AED B B.ADE C C. D. 8. 一张等腰三角形纸片，底边长15cm ，底边上的高长 22.5cm现沿底边依次从 下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一张是正 方形，则这张正方形纸条是（） A. 第 4 张 B. 第 5 张 C. 第 6 张 D. 第 7 张 二、填空题 9. 在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（5，2），以原点 O为位似中心， 位似比为 1：2，把ABO缩小

4、，则点 B的对应点 B的坐标是 _ 学习必备欢迎下载 第 4 页 10. 如图， ABC的内接正方形 EFGH 中，EH BC ，其中 BC=4 ，高 AD=6 ，则正方 形的边长为 _ 11. 位似图形的相似比也叫做_ 12. 如图，矩形中，点是边的中点，交对角线于点， 则与的面积比等于 _ 13. 如图，以点 O为位似中心，将 ABC放大得到 DEF ，若 AD=OA ，则ABC与 DEF的面积之比为 _ 14. 如图，RtABC中，A=90 ，AB=6 ，AC=8 ，点 E为边 AB上一点， AE=2 ，点 F为线段 AB上一点，且 BF=3 ，过点 E作 AC的平行线交 BC于点 D

5、，作直线 FD交 学习必备欢迎下载 第 5 页 AC于点 G ，则 FG=_ 15. 如图，已知图中的每个小方格都是边长为1 的小正方形，每个小正方形的顶 点称为格点 若ABC与A1B1C1 是位似图形， 且顶点都在格点上， 则位似中心 的坐标是 _ 16. 如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，在地 面点 P处水平放置一平面镜， 一束激光从点 A射出经平面镜上的点P反射后刚好 射到建筑物 CD的顶端 C处，已知 AB BD ，CD BD ，且测得 AB=15米，BP=20米， PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD的高度是 _ 米 三、解答题 17.

6、如图，在正方形 ABCD 中， E为边 AD的中点，点 F 在边 CD上， 且 CF=3FD ， ABE 与DEF相似吗？为什么？ 学习必备欢迎下载 第 6 页 18. 如图， ABC中，点 D在边 AB上，满足 ACD= ABC ，若 AC= ，AD=1 ，求 DB的长 四、综合题 19. 小明利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度如图，CD和 EF是两等 高的路灯，相距 27m ，身高 1.5m 的小明（AB ）站在两路灯之间 （D、B、F 共线）， 被两路灯同时照射留在地面的影长BQ=4m ， BP=5m （1）小明距离路灯多远？ （2）求路灯高度 20. 如图，在 ABC中，C=90

7、 ， AC=4 ，BC=3 ，点 P从点 A出发，以每秒 4 个 单位长度的速度沿折线AC-CB运动，到点 B停止当点 P不与ABC的顶点重合 时，过点 P作其所在直角边的垂线交AB 于点 Q ，再以 PQ为斜边作等腰直角三角 形PQR ，且点 R与ABC的另一条直角边始终在PQ同侧，设 PQR 与ABC重 叠部分图形的面积为S（平方单位）点P的运动时间为 t （秒） 学习必备欢迎下载 第 7 页 （1）求点 P在 AC边上时 PQ的长，（用含 t 的代数式表示）； （2）求点 R到 AC 、PQ所在直线的距离相等时t 的取值范围； （3）当点 P在 AC边上运动时，求 S与 t 之间的函数关

8、系式； （4）直接写出点 R落在ABC高线上时 t 的值 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个顶点坐标分别为A（1，2），B （7，2），C（5，6） （1）请以图中的格点为顶点画出一个A1B1C ， 使得A1B1C ABC ， 且 A1B1C 与ABC的周长比为 1：2；（每个小正方形的顶点为格点） （2）根据你所画的图形，直接写出顶点A1和 B1的坐标. 22. 如图，梯形 ABCD 中，AB DC ， B=90 ，E为 BC上一点，且 AE ED 若 BC=12 ，DC=7 ，BE ：EC=1 ：2， （1）求 AB的长 （2）求AED的面积 答案解析部分 一、单选题 1.

9、 【答案】 C 【考点】平行线分线段成比例 【解析】 解答： DE BC交 GA于点 E ， ， A，B，D正确， 故选 C 分析：利用平行线分线段成比例定理即可得到答案 2. 【答案】 B 学习必备欢迎下载 第 8 页 【考点】平行线分线段成比例 【解析】【解答】解： DE BC ， ， 又 AC=6 ， AE=4 ， 故选： B 【分析】 根据平行线分线段成比例定理， 得到比例式，把已知数据代入计算即可 3. 【答案】 C 【考点】相似三角形的应用 【解析】【分析】本题根据放大后的三角形与三角形相似，故可根据相似三角形 的性质求解，两个相似三角形对应边之比的比值叫做相似比 【解答】 直角三

10、角形各边的长度扩大一倍， 周长扩大 1 倍， 故爬行时间扩大一倍 故只蚂蚁再沿边长爬行一周需4 秒 故选 C 【点评】熟练运用相似三角形的性质 4. 【答案】 C 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】先由 BAC 90，AD BC ，BB 证得ABD CBA ，再 根据相似三角形的性质求得BD的长，即可求得结果。 【解答】 BAC 90，AD BC ，BB ABD CBA AB 2，BC 4 ，解得 BD=1 CD BC-BD 3 故选 C. 【点评】相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学 习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握。 5. 【答

11、案】 B 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】解：两个相似三角形的周长比为1：4， 这两个三角形的相似比为1：4， 故选： B 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可 学习必备欢迎下载 第 9 页 6. 【答案】 C 【考点】平行线分线段成比例 【解析】【解答】解： DE=BF ，EF=BD ， 四边形 BDEF 是平行四边形， DE BF ，EF BD ， ， ， 则 故选： C 【分析】 根据 DE=BF ， EF=BD ， 证明四边形 BDEF 是平行四边形，得到 DE BF ， EF BD ， 根据平行线分线段成比例定理得到答案 7. 【答案】 C 【考点】相似三角形的

12、判定 【解析】【解答】解：DAE CAB ，当 AED B 或ADE C 时， ABC ADE ， 当时，ABC ADE ， 故答案为： C. 【分析】观察图形，可得出图中的隐含条件为：A=A，因此可添加其它两组 角中的任意一组，都可证ABC ADE ，或添加夹A的两边对应成比例，也可 证得ABC ADE ，即可得出答案。 8. 【答案】 C 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据 矩形的宽求得是第几张 【解答】已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3， 所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x

13、， 则，解得 x=4.5， 所以另一段长为 22.5-4.5=18 ， 因为 183=6，所以是第六张 故选 C 【点评】相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学 习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 二、填空题 学习必备欢迎下载 第 10 页 9. 【答案】（， 1）或（， 1 ） 【考点】位似变换 【解析】【解答】解：以原点O为位似中心，位似比为1：2，把ABO缩小， B（5，2）， 点 B的对应点 B的坐标是：（， 1）或（， 1 ） 故答案为：（， 1）或（， 1 ） 【分析】由以原点 O为位似中心，位似比为1：2，把ABO 缩小，直接利用位似

14、 图形的性质求解即可求得答案 10. 【答案】 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解： EH BC ， AEH ABC ； 设正方形的边长为x，则： ， 解得 x=2.4=； 故正方形的边长为2.4 【分析】由 EH BC ，可证得 AEH ABC ，设出正方形的边长，然后根据相似 三角形得到的比例线段求解 11. 【答案】位似比 【考点】位似变换 【解析】【解答】解：根据位似图形的定义，位似是相似的特殊形式，位似比等 于相似比，位似图形的相似比也叫位似比 【分析】根据位似图形的定义，可得答案 12. 【答案】 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】相似三角形的面积比等于相似

15、比的平方， 为的中点，为矩形， ， 学习必备欢迎下载 第 11 页 【分析】根据矩形的性质可得AD BC ， 由相似三角形的判定可得AFEBCF ， 所以根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案。 13. 【答案】 1：4 【考点】作图 - 位似变换 【解析】【解答】解：以点O为位似中心，将 ABC放大得到 DEF ， AD=OA ， AB ：DE=OA ：OD=1 ：2， ABC与DEF的面积之比为： 1：4 故答案为： 1：4 【分析】由 AD=OA ，易得 ABC与DEF的位似比等于 1：2，继而求得 ABC与 DEF的面积之比 s 14. 【答案】 【考点】相似三角形的判定与性质

16、 【解析】【解答】解： AB=6 ，BF=3 ， AF=3 ， AE=2 ， EF=1 ， DE AC ， BED ABC ， ， DE=， DE AC ， DEF GAF ， ， AG=16 ， FG= 故答案为： 学习必备欢迎下载 第 12 页 【分析】根据已知条件得到AF=3 ，EF=1 ，由 DE AC ，得到 BED ABC ，根据 相似三角形的性质得到， 求得 DE=， 通过 DEF GAF ，得到，于是得到 AG=16 ， 根据勾股定理即可得到结论 15. 【答案】（ 9，0） 【考点】位似变换 【解析】【解答】解：连接BB1 ， A1A，易得交点为（ 9， 0） 故答案为：（

17、9，0） 【分析】连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心 16. 【答案】 24 【考点】相似三角形的应用 【解析】【解答】解：由题意知：光线AP与光线 PC ，APB= CPD ， 则 RtABP RtCDP ， 故 解得： CD=24（米） 学习必备欢迎下载 第 13 页 故答案为： 24 【分析】 由已知得 ABP CDP ， 则根据相似形的性质可得，解答即可 三、解答题 17. 【答案】解： ABE与DEF相似理由如下： 四边形 ABCD 为正方形， A=D=90 ， AB=AD=CD， 设 AB=AD=CD=4a， E 为边 AD的中点， CF=3FD ， AE=DE=

18、2a ，DF=a ， =2，=2， =， 而A=D ， ABE DEF 【考点】相似三角形的判定 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得 A=D=90 ，AB=AD=CD， 设 AB=AD=CD=4a， 利用 E为边 AD的中点，CF=3FD ， 得到 AE=DE=2a ， DF=a ， 则可计算出=2， 加上A=D ，于是根据相似三角形的判定方法即可得到ABE DEF 18. 【答案】解： ACD= ABC ， 又A=A， ABC ACD ， ， AC= ，AD=1 ， ， AB=3 ， BD= AB AD=3 1=2 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】根据已知条件易证得ABC

19、 ACD ，由相似三角形的性质可 得比例式, 将已知的线段代入即可求解。 四、综合题 学习必备欢迎下载 第 14 页 19. 【答案】（ 1）解：设 DB=xm ，AB CD， QBA= QDC， QAB= QCD， QAB QCD 同理可得 CD=EF x=12 即小明距离路灯 12m （2）解：由得CD=6 即路灯高 6m 【考点】相似三角形的应用 【解析】【分析】（ 1）由 AB CD ，易证 QAB QCD ，可得出对应边成比例， 再证明 AB 、EF 、BP 、PF成比例，由 CD=EF ，可证得，设 BD为 x，建 立关于 x 的方程，解方程求出x 的值。 （2）根据（ 1）中得到

20、的比例式及数值，就可求出路灯高度。 20. 【答案】（ 1）解：如图， 由题意可知 AP=4t， tanA= ， PQ=3t； （2）解：当点 P在 AC边上时，如图 学习必备欢迎下载 第 15 页 RPQ=45 ，CPQ=90 ， CPR=45 =RPQ ， 点 R到直线 AC 、PQ距离相等， 此时 0t 1 当点 P在 BC边上时，过点 R作 RH PQ于点 H ，如图， 则有 PC=4t-4，PB=7-4t， tanB= ， PQ= PB= （7-4t ） 由题可得： RH= PC RH= PQ ， PC=PQ ， 4t -4= （7-4t ）， 解得： t= 综上所述： 0t 1 或

21、 t= ； （3）解：当 0t 时，如图 学习必备欢迎下载 第 16 页 过点 R作 RH PQ于点 H， S= PQ?RH= 3t = t2 当t 1 时，如图 过点 R作 RH PQ于点 H，交 BC于点 G ， 则有 RG MN ，RH= PQ= t ，GH=PC=4-4t ， S=S RPQ - SRMN= PQ?RH - MN?RH =RH2-RG2= （t ）2- t- （4-4t ）2 =-28t2+44t-16 ； （4）解：点 R落在ABC高线上时， t 的值为，. 可分以下几种情况讨论：如图 点 P在 AC上，且点 R在 AB的高 CH上，如图， 过点 P作 PG CH于

22、G ， 易证PGR RHQ ，则有 PG=RH，GR=QH 学习必备欢迎下载 第 17 页 易求得 AB=5 ，CH= ，AH= ，BH= PC=4-4t，CG= PC= （4-4t ），PG= PC= （4-4t ）， AQ= AP=5t，QH=AH-AQ= -5t 根据 CH=CG+GR+RH=CG+QH+PG= ，得 （4-4t ）+ -5t+ （4-4t ）= ， 解得： t= 点 P在 AC上，且点 R在 AC的高 BC上，如图 过点 R作 RH PQ于 H ， 易得 PQ=2RH=2PC，PQ= AP=3t，PC=4-4t， 3t=2（4-4t ）， 解得： t= 点 P在 BC上

23、，且点 R在 BC的高 AC上，如图， 过点 R作 RH PQ于 H ， 易得 PQ=2RH=2PC，PQ= PB= （7-4t ），PC=4t-4， （7-4t ）=2（4t-4 ）， 解得： t= 学习必备欢迎下载 第 18 页 点 P在 BC上，且点 R在 AB的高 CH上，如图， 过点 P作 PG CH于 G ， 易证PGR RHQ ，则有 PG=RH，GR=QH 易证CGP CHB ， BC=3 ，CH= ，BH= ，CP=4t-4， CG= PC= （4t-4 ），PG= PC= （4t-4 ）， 同理可得 QB= PB= （7-4t ），QH=QB-BH= （7-4t ）- 根据

24、 CH=CG+GH=CG+RH-RG=CG+PG-QH= ，得 （4t-4 ）+ （4t-4 ）- （7-4t ）- = ， 解得： t= 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】 【分析】（1）根据题意求出 tanA 的值，得到点 P在 AC边上时 PQ的长； （2）当点 P在 AC边上时，得到点 R到直线 AC 、PQ距离相等， 此时 0t 1； 当点 P在 BC边上时，由 tanB 的值求出 PQ的代数式， 点 R到 AC 、PQ所在直线 的距离相等时 t 的取值范围；（3）根据三角形的面积公式得到点P在 AC边上运 动时，S与 t 之间的函数关系式；（4）点 P在 AC上，且点 R在

25、AB的高 CH上， 得到PGR RHQ ，根据全等三角形的对应边相等，得到PG=RH，GR=QH；求出 t 的值；点 P在 AC上，且点 R在 AC的高 BC上时，求出 t 的值；点 P在 BC 上，且点 R在 BC的高 AC上时，直接求出 t 的值；点 P在 BC上，且点 R在 AB 的高 CH上时，得到 CGP CHB ，得到比例，求出t 的值；此题是综合题，难 度较大，计算和解方程时需认真仔细. 学习必备欢迎下载 第 19 页 21. 【答案】（ 1）解：如图所示： （2）解：A1 （3,4 ），B1 （6,4 ）或 A1 （7,8 ），B1 （4,8 ）或 A1 （3,8 ），B1 （

26、3,5 ） 或 A1（7,4 ），B1（7,7 ）. 【考点】作图相似变换 【解析】【分析】（ 1）要求画出 A1B1C 与ABC的周长比为 1：2，则相似比 也为 1：2，边长都缩短为原来的一半，取原来边长的中点恰好是格点画出 A1B1C ， 沿着 C点旋转 90可以再画出三个相似比是1：2 的格点三角形； （2）根据画出的 A1B1C 直接写出 A1和 B1的坐标即可。 22. 【答案】（ 1）解答： AB DC ， 且B=90 ， AEB+ BAE=90 及C=90度 AEB+ CED=90 度 故BAE= CED EAB DEC = 又 BE ：EC=1 ：2，且 BC=12及 DC=7 ， 故= 则 AB= （2）解答： EAB DEC ， 学习必备欢迎下载 第 20 页 即：= 解得： CD=7 SAED=S 梯形 ABCD- SABE - SECD=（AB+CD ） ?BC - AB?BE - EC?CD= （+7）?12- 4- 87= 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（ 1）由题意易知 AB和 CD所在的两个三角形相似，再利用相 似比即可求出所求线段的长度（2）根据证得的 EAB DEC利用相似三角形 对应边的比成比例求得线段CD的长，利用梯形的面积减去两个三角形的面积即 可求得三角形 AED的面积