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1、学习必备欢迎下载 第 1 页 2019 备战中考数学（北师大版）专题练习-直角三角形的角边关系（含答案） 一、单选题 1. 如图在 RtABC中，C=90 ， AB=15 ，sinA=， 则 BC等于（） A. 45 B. 5 C. D. 2. 如图，在平面直角坐标系中， 直线 OA过点（2，1），则 tan 的值是（） A. B. C. D. 2 3. 如图， ABC 中，C=90 ，CD AB ，若 AC=3 ，AB=4 ，则 AD= （） 学习必备欢迎下载 第 2 页 A. 1 B. C. D. 5 4.的值为（） A. B. C. D.1 5. 如图，在ABC中，AC 8， ABC 6
2、0，C 45，AD BC ，垂足为 D ，ABC 的平分线交 AD于点 E，则 AE的长为（） A. B. 2 学习必备欢迎下载 第 3 页 C. D. 3 6. 在 RtABC中，C=90 ， AC=5 ，A=，那么 BC的长是（） A. 5cot B. 5tan C. D. 7. 三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan 的值是（） A. B. C. D . 8. 因为 sin30 =，sin210 = -，所以 sin210 =sin （180+30） =-sin30 ； 因为 sin45 =， sin225 = - ， 所以 sin225 =sin （180+45） =-sin45 ，
3、由此猜想，推理知：一般地 当 为锐角时有 sin （180+ ）=-sin ，由此可知： sin240 =（） A. - B. 学习必备欢迎下载 第 4 页 C. - D. 9. 如图，小颖利用一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之 间的水平距离 BE为 5m ，AB为 1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵 树高是（） A. 4m B. m C. （5 + ） m D. （+ ）m 10. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示则sin 的值是（） A. B. C. D . 二、填空题 学习必备欢迎下载 第 5 页 11. 如图，在 RtABC中，C=90 ， AB=2B
4、C ，则 sinB 的值为 _ 12. 如图，P（12，a）在反比例函数图象上， PH x轴于 H，则 tanPOH 的值为 _ 13. 如图，在 RtABC中，ACB=90 ， D是 AB的中点，过 D点作 AB的垂线交 AC于点 E，BC=6 ，sinA=， 则 DE=_ . MISSING IMAGE: , 14. 如图，某公园入口原有一段台阶，其倾角BAE=30 ，高 DE=2m ，为方便残 疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜 坡 BC的坡度 i=1 ：5，则 AC的长度是 _ m 15. 若 sin =， 则 =_ 16. 如图，等边 ABC 的边
5、长为 8，D 、E两点分别从顶点 B、C出发，沿边 BC 、CA 以 1 个单位 /s 、2个单位 /s 的速度向顶点 C、A运动， DE的垂直平分线交 BC边 于 F 点，若某时刻 tanCDE= 时，则线段 CF的长度为 _ 17. 如图， ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA 的值为 学习必备欢迎下载 第 6 页 _ 18. 王小勇操纵一辆遥控汽车从A处沿北偏西 60方向走 10m到 B处，再从 B处 向正南方走 20m到 C处，此时遥控汽车离A处_ m 19. 在 RtABC中，C=90 ，如果 AC=4 ，sinB=， 那么 AB=_ 三、计算题 20. 已知 是锐角，且 co
6、s( -15)= ，计算 -6cos +(3- )0+tan -( )-1 的值. 21. 计算：3sin60 2cos30tan60?cot45 22. 计算：cot30 四、解答题 23. 高铁给我们的出行带来了极大的方便如图，“和谐号”高铁列车座椅后面 的小桌板收起时，小桌板的支架的底端N与桌面顶端 M的距离 MN=75cm，且可以 看作与地面垂直展开小桌板使桌面保持水平，AB MN ，MAB= MNB=37 ，且 支架长 BN与桌面宽 AB的长度之和等于 MN的长度求小桌板桌面的宽度AB （结 果精确到 1cm ，参考数据： sin37 0.6，cos370.8，tan370.75）
7、五、综合题 24. 为测山高，在点 A处测得山顶 D的仰角为 30，从点 A向山的方向前进140 米到达点 B，在 B处测得山顶 D的仰角为 60（如图） （1）在所给的图中尺规作图：过点D作 DC AB ，交 AB的延长线于点 C （保留 作图痕迹）； 学习必备欢迎下载 第 7 页 （2）山高 DC是多少（结果保留根号形式）？ 25. 如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l ）上修一条路，需要测量 山坡的坡度，即 tan 的值测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶 上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 31，塔底 B的仰角为 26.6已知塔高 BC=40米，塔所在的山高OB=240
8、米，OA=300米，图中的点 O 、B、C、A、P在同 一平面内 求： （1）P到 OC的距离 （2）山坡的坡度 tan （参考数据 sin26.6 0.45，tan26.6 0.50；sin31 0.52， tan3 70.60） 答案解析部分 一、单选题 1. 【答案】 B 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解： sinA=， BC=AB?sinA =15 =5， 故选： B 【分析】根据锐角三角函数的概念sinA=， 代入已知数据计算即可 2. 【答案】 C 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：设（2，1）点是 B，作 BC x轴于点 C 则 OC=2 ，BC=1 ， 则 ta
9、n = 学习必备欢迎下载 第 8 页 故选 C 【分析】设（2，1）点是 B，作 BC x轴于点 C ，根据三角函数的定义即可求解 3. 【答案】 B 【考点】解直角三角形 【解析】解答：如图， CD AB ， ADC=90 ， 又C=90 ， ACD= B（同角的余角相等） . 又A=A ， ACB ADC ， ，即， AD= . 故选： B. 分析：利用两角法证得 ACB ADC ， 然后由该相似三角形的对应边成比例 来求 AD的长度 . 4. 【答案】 C 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】 sin60 = ， 故答案为： C. 【分析】根据特殊角的三角函数值求解。 5. 【答
10、案】 C 【考点】解直角三角形的应用 学习必备欢迎下载 第 9 页 【解析】【解答】 AD BC ， ADC 是直角三角形， C=45 ， DAC=45 ， AD=DC ， AC=8 ， AD=4 ， 在 RtABD中，B=60 ，BD= = = ， BE平分ABC ，EBD=30 ， DE=BD?tan30 = = ， AE=AD -DE= ， 故答案为： C. 【分析】根据等腰直角三角形边之间的关系得出AD的长，在 RtABD中，根据 正切函数的定义由BD=得出 BD的长，由 DE=BD?tan30 得出 DE的长，再 根据线段的和差，由AE=AD-DE 即可得出答案。 6. 【答案】 B
11、 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解： tanA=， AC=5，A=， BC=5tan， 故选 B 【分析】利用A的正切值进行计算即可考查解直角三角形的知识；掌握和一 个锐角的邻边与对边有关的三角函数值是正切值的知识是解决本题的关键 7. 【答案】 A 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】 【分析】根据三角函数的定义就可以解决 【解答】在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边， tan = 学习必备欢迎下载 第 10 页 故选 A 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义 8. 【答案】 C 【考点】锐角三角函数的定义，锐角三角函数的增减性 【解析】 【分析】阅读理解： 240=180+60，
12、因而 sin240 就可以转化为60的角 的三角函数值 根据特殊角的三角函数值，就可以求解 【解答】当 为锐角时有 sin （180+ )=-sin ， sin240 =sin （180+60)= -sin60 = - 故选 C 【点评】此题为阅读理解题， 考查学生自主学习的能力及对特殊角度的三角函数 值的运用 9. 【答案】 D 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：过A作 AD CE于 D ， AB BE ，DE BE ，AD CE ， 四边形 ABED 是矩形， BE=5m ，AB=1.5m ， AD=BE=5m，DE=AB=1.5m 在 RtACD中， CAD=30 ， AD
13、=5m ， CD=AD?tan30 =5 = ， CE=CD+DE= +1.5=（+ ）m 答：这棵树高是（+ ）m 学习必备欢迎下载 第 11 页 故答案为： D 【分析】根据题意得到四边形ABED 是矩形，再由解直角三角形中正切的定义， 得到 CD=AD?tan30 的值，求出树高CE=CD+DE的值. 10. 【答案】 C 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】由图可知， 的对边为 3，邻边为 4，斜边为=5， 则 sin = 故选 C 【分析】本题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角 形斜边的长一般情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1本题考 查锐角
14、三角函数的定义即： 在直角三角形中， 锐角的正弦为对边比斜边， 余弦为 邻边比斜边，正切为对边比邻边 二、填空题 11. 【答案】 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解： AB=2BC ， AC=BC ， sinB= 故答案为 【分析】利用勾股定理求出AC的长（用 BC表示），然后根据正弦函数的定义求 比值即可 12. 【答案】 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】 P（12，a）在反比例函数图象上， a= =5， PH x轴于 H， PH=5 ，OH=12 ， 学习必备欢迎下载 第 12 页 tanPOH= ， 故答案为： 【分析】将点 P（12，a）在反比例函数图象解析式
15、，易得P点坐标，利用三角 函数性质可得， tanPOH= . 13. 【答案】 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】 BC=6 ，sinA=， AB=10 ， AC=， D 是 AB的中点， AD= AB=5 ， ADE ACB ， ， 即， 解得： DE= 【分析】在 RtABC中，先求出 AB ，AC继而得出 AD ，再由 ADE ACB ，利用 对应边成比例可求出DE 14. 【答案】（102） 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：如图，过点B作 BF CE于点 F， 则 BF=DE=2m， 在 RtABF中， BAE=30 ， AF= =2（m ）， 在 RtBCF中，
16、BF ：CF=1 ：5， CF=5 2=10， 学习必备欢迎下载 第 13 页 则 AC=CF AF= （102）m 故答案为：（ 102）m 【分析】过点 B作 BF CE于点 F， 分别根据 BAE=30 ，斜坡 BC的坡度 i=1 ： 5， 在 RtABF和 RtBCF中求出 AF 、CF的长度，然后求出AC的长度 15. 【答案】 28 【考点】计算器三角函数 【解析】【解答】解： sin =0.4714， 28 故答案为： 28 【分析】直接利用计算器求出 的度数即可 16. 【答案】 2 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：作EH BC于 H，设线段 DE的垂直平分线交 DE
17、于 G ABC是等边三角形， C=60 在 RtEHC 中，EC=2t，CH=t，EH=2 t 在 RtDEH中， tanCDE= = ， DH=4t BD=t， BC=8 ， t+4t+t=8 ， t= ，DH= ，EH= ，CH= GF垂直平分线段 DE ，DF=EF ，设 DF=EF=x 在 RtEFH中，EF2=EH2+FH2 ， x2= （） 2+ （x）2 ， 解得： x= ，CF= + =2故答案为： 2 【分析】 由题意可作辅助线，作 EH BC于 H， 设线段 DE的垂直平分线交 DE于 G 当 学习必备欢迎下载 第 14 页 tanCDE=，运动了 t 秒，DF=EF=x
18、。则 BD 、CD 、CE的长可用含 t 的代数式表 示，BC=BD+DH +HC可得关于 t 的方程，即可求得 t 的值，则 DH 、EH 、CH可求解。 在直角三角形 FEH中，用勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解。 17. 【答案】 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】连接CD 则 CD= ，AD= ， 则 tanA= = = 故答案是： 【分析】连接 CD可知，三角形 ADC 为直角三角形，而 tanA 为A 的对边与邻边 的比值，即可求得。 18. 【答案】 10 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：如图所示：根据题意得：B=60 ， AB=10m ，BC=20
19、m ， 在 RtABD中，AD=AB?sin60 =5（m ），BD=AB?cos60 =5（m ）， CD=BC BD=15 （m ） 在 RtCDA中，AC=10（m ） 故答案为： 10 学习必备欢迎下载 第 15 页 【分析】首先根据题意画出图形， 在 RtABD中，利用三角函数的知识即可求得 AD与 BD的长，继而求得CD的长，然后由勾股定理求得答案 19. 【答案】 6 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解： sinB=， AB=6 故答案是： 6 【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解 三、计算题 20. 【答案】解： cos( -15)= ， -15=30， =45，
20、 则原式 = 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【分析】由cos( -15)的值，根据特殊角的函数值求出 的度数， 代入算式，求出式子的值. 21. 【答案】解：原式 =321= 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【分析】把特殊角的三角函数值代入原式计算即可 学习必备欢迎下载 第 16 页 22. 【答案】解：原式 = = =2+- =2 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入求解 四、解答题 23. 【答案】解：延长AB交 MN于点 D，由题意知 AD MN ， 设 AB=x ，则 BN= （75x）， 在 RtBDN中，sin BND= ，cosBND=
21、， 即：sin37 = ，cos37= ， BD=45 0.6x ，DN=60 0.8x ， AD=AB+BD=0.4x+45，MD=MNDN=15+0.8x ， 在 RtAMD 中 tanMAD= ，即：tan37= ， 解得，x=37.538， 答：桌面宽 AB的长为 38cm 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】延长AB交 MN于点 D ，设 AB=x ，根据正弦、余弦的概念用x 表示出 BD 、DN ，利用正切的定义计算即可 五、综合题 24. 【答案】（ 1）解：如图所作 DC为所求 学习必备欢迎下载 第 17 页 （2） 解： DBC=60 ，DAB=30 ， BDA= D
22、AB=30 ，DB=AB=140（米） 在 RtDCB 中，C=90 ，sin DBC= ，DC=140sin60=70 （米） 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】（ 1）首先以点 D为圆心，画弧交 AB于两点，再分别以这两点 为圆心画弧，两弧交于一点，连接D与交点，即可求得所作垂线； （2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得 DBC= A+ADB ，则BDA= DAB=30 ，所以DB=AB=140 （米）；在 RtDCB 中，由 DBC 的正弦可得 sin DBC=, 所以 DC=140sin60=70（米）。 25.【答案】（1）解：如图，过点 P
23、作 PD OC于 D，PE OA于 E，则四边形 ODPE 为矩形 在 RtPBD中， BDP=90 ，BPD=26.6 ， BD=PD?tan BPD=PD?tan26.6 ； 在 RtCPD中， CDP=90 ，CPD=31 ， CD=PD?tan CPD=PD?tan31 ； CD BD=BC ， PD?tan31PD?tan26.6=40， 0.60PD0.50PD=40， 解得 PD=400 （米）， P 到 OC的距离为 400 米 （2）解：在 RtPBD中，BD=PD?tan26.6 4000.50=200（米）， OB=240米， PE=OD=OBBD=40米， OE=PD=
24、400 米， AE=OE OA=400 300=100（米）， tan = =0.4， 坡度为 0.4 学习必备欢迎下载 第 18 页 【考点】锐角三角函数的定义，解直角三角形的应用- 仰角俯角问题 【解析】【分析】（ 1）过点 P作 PD OC于 D ，PE OA于 E，则四边形 ODPE 为 矩形，先解 RtPBD ， 得出 BD=PD?tan26.6 ；解 RtCPD ，得出 CD=PD?tan31 ； 再根据 CD BD=BC ，列出方程，求出PD=400即可求得点 P到 OC的距离；（ 2） 利用求得的线段 PD的长求出 PE=40 ，AE=100 ，然后在 APE中利用三角函数的定 义即可求解