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1、一、选择题12（2019长沙）如图，ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是【 】ABCD10【答案】B二、填空题16（2019黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC2，BD8，AB8.点M为AB的中点.若CMD120，则CD的最大值是.【答案】14【解析】将CAM沿CM翻折到CAM，将DBM沿DM翻折至DBM，则AMBM，AMCAMC，DMBDMB，CMD120，AMC+DMBAMC+DMB60，AMB180-（AMC+DMB+AMC+DMB）60，AMB是等边三角形，又AC2，BD8，AB8.点M为AB的中点，ABAMBM
2、AMAB4，CAAC2，DBDB8，又CDCA+AB+DB2+4+814.三、解答题24（2019山东威海，24，12分）如图，在正方形ABCD中，AB10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EFAE，交直线BC于点FE点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒（1）求证：CEEF；（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求BEF面积的最大值【解题过程】（1）证明：过E作MNAB，交AD于M，交BC于N，四边形ABCD是正方形，ADBC，ABAD，MNAD，MNBC
3、，AMEFNE90NFEFEN，AEEF，AEFAEMFEN90，AEMNFE，DBC45，BNE90，BNENAM.AEMEFN（AAS）.AEEF.四边形ABCD是正方形，ADCD，ADECDE，DEDE，ADECDE（SAS），AECEEF.（2）在RtBCD中，由勾股定理得：BD10，0x5.由题意，得BE2x，BNENx.由（1）知：AEMEFN，MEFN，ABMN10，MEFN10x，如图（1），当0x时，BFFNBN10xx102x.yBFEN2x2x（0x）；如图（2），当x时，BFBNFNx（10x）x10，yBFEN2x2x（x）. （1） （2）（3）y2x25x2（x）
4、2，20，当x时，y有最大值是；即BEF面积的最大值是；当x时，y2x2x，此时20，开口向上，对称轴为直线x，对称轴右侧，y随x的增大而增大，当x时，y最大值50.当x时，BEF面积的最大值是50.【知识点】四边形综合运用，二次函数的解析式，二次函数的最值问题，三角形全等的判定.25（2019山东省威海市，题号25，分值12） （1）方法选择如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，连接AC，BD.ABBCAC.求证：BDADCD.小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DMAD，连接AM.小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DNAD请你选择一种方法证明.（2）类比探究【探究1】如图，四边
5、形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD.BC是O的直径，ABAC.试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论.【探究2】如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD.若BC是O的直径，ABC30，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是.（3）拓展猜想如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD.若BC是O0的直径，BC：AC：ABa：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是.【思路分析】（1）选小颖的截长法，如图，在DB上截取DMAD，连接AM，由旋转全等得BMCD，BDMDBMADCD（2）【探究1】数量关系为：BDADCD如图，在DB上截取
6、ADAN，连接AN，可得AND为等腰直角三角形，NDAD，由旋转全等得BNCD，BDNDBNADCD【探究2】数量关系为：BD2ADCD如图，在DB上截取2ADPD，连接AP，可得APD为30的直角三角形，由旋转相似得BPCD，BDPDBP2ADCD（3）拓展猜想数量关系为：BDADCD如图，过A作AQAD交BD于Q，连接AQ，由旋转相似得，BQCD，BQAD，BDPDBPADCD【解题过程】（1）选小颖的截长法，如图，在DB上截取DMAD，连接AM，可得AMD为等边三角形，可证BAMCAD（SAS）得BMCD，BDMDBMADCD（2）【探究1】数量关系为：BDADCD如图，在DB上截取AD
7、AN，连接AN，可得AND为等腰直角三角形，NDAD，BANCAD，可证BANCAD（SAS）得BNCD，BDNDBNADCD【探究2】数量关系为：BD2ADCD如图，在DB上截取2ADPD，连接AP，可得APD为30的直角三角形，BAPCAD，可证BAPCAD得BPCD，BDPDBP2ADCD（3）拓展猜想数量关系为：BDADCD如图，过A作AQAD交BD于Q，连接AQ，可得BAQCAD，ABQACD，ADQACB，BACQADBAPCAD，ADQACB ，BQCD，BQAD，BDPDBPADCD26（2019益阳）如图，在半面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4，BC=6.若不改变
8、矩形ABCD的形状和大小，当形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半上随之上下移动.(1)当OAD=30时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形 OMCD的面积为时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cosOAD的值.第26题图 第26题备用图【解题过程】（1）如图1，过点C作CEy轴，垂足为E.第26题答图1 矩形ABCD中，CDAD，CDE+ADO=90，又OAD+ADO=90，CDE=OAD=30.在RtCED中，CE=CD=2，DE=;在RtOAD中，OAD=30，OD=
9、AD=3.点C的坐标为(2，).(2)M为AD的中点，DM=3，.又，.设OA=x，OD=y，则，即，x=y.将x=y代入得，解得(不合题意，舍去)，OA的长为.（3）OC的最大值为8.理由如下：如图2，第26题答图2 M为AD的中点，OM=3，.OCOM+CM=8,当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8.连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ONAD，垂足为N.CDM=ONM=90，CMD=OMN，CMDOMN，即，解得，.在RtOAN中，.26（2019衡阳）如图，在等边ABC中，AB6cm，动点P从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC
10、延长线方向匀速运动当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动设运动时间为t（s）过点P作PEAC于E，连接PQ交AC边于D以CQ、CE为边作平行四边形CQFE（1）当t为何值时，BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将BPM沿直线PM翻折，得BPM，连接AB，当t为何值时，AB的值最小？并求出最小值解：（1）ABC为等边三角形，B60，BPPQ，2BPBQ即2（6t）6t，解得t2当t为2时，BPQ为直角三角形；（2）存在作射线BF，PEAC，AE0.5t四边形CQFE
11、是平行四边形，FQEC60.5t，BF平分ABC，FBQBQF90BQ2FQ，BQ6t，6t2（60.5t），解得t3 （3）过点P作PGCQ交AC于点G，则APG是等边三角形BPPQ，EGAGPGCQ，PGDQCD，PDGQDC，PGPACGt，PGDQCDGDGCDEAC3（4）连接AM，ABC为等边三角形，点M是BC的中点，BM3由勾股定理，得AM3 由折叠，得BM3当A 、B、M在同一直线上时，AB的值最小，此时AB33.过点B作BHAP于点H，则cos30,即，解得t93t为93时，AB的值最小，最小值为331.（2019重庆A卷）如图，在平面在角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴交
12、与点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MNBD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NHx轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HFFPPC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HFFPPC取得小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度（00)经过点A（-1,0），点M(m,0)是x轴正半轴上的动点，（1） 当b=2时，求抛物线的顶点坐标；（2） 点D(b,yD)在抛物线上，当AM=A
13、D,m=5时，求b的值；（3）点Q(yQ)在抛物线上，当的最小值为时，求b的值.解：(1)抛物线y=x2-bx+c经过点A（-1,0），1+b+c=0，c=-1-b当b=2时，c=-3,抛物线的解析式为y=x2-2x-3，顶点坐标为（1，-4）（2）由(1)知，c=-1-b，点D(b,yD)在抛物线上，yD=-b-1，b0,，-b-15,所以m;当NHHP4,即(m2+6m5)(m5)4,解得,m1,m2,因为m0,所以m.综上所述,要使点A,M,N,Q为顶点的四边形是平行四边形,点N的横坐标为:4或或.第26题答图7.（2019淄博）如图，顶点为M的抛物线yax2bx3与x轴交于A(3，0)
14、，B(1，0)两点，与y轴交于点C(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)问在y轴上是否存在点P，使得PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DAOA，过D作DGx轴于点G，设ADG的内心为I，试求CI的最小值解：(1)将A、B两点坐标代入抛物线表达式,得,解得.yx22x3.(2)假设存在点P，使PAM是直角三角形.当点M为直角顶点，过M作CDy轴，过A作ADx轴，交CD于D，CD交y轴于C，AMP90，CMPAMD90，CMPMAD，又DMPCM，CPMDMA,，PC，P1(0,);当点A为直角顶点，过A作CDx轴，过M
15、作MDy轴交AD于D，过P作PCy轴交CD于C，同上CPADAM，AC，P2(0,);当点P为直角顶点，过M作CMy轴于C，CPMOAP，PC1或3，P3(0,3)，P4(0,1).综上所述，使PAM是直角三角形的点P的是P1(0,)，P2(0,)，P3(0,3)，P4(0,1).(3)（方法1）由(1)得DAOA3，设D(x,y)，ADG的内切圆半径为r，则ADG的内心I为(xr,r),DGy,AG3x由两点距离公式可得由等面积法得r由得，在最小，此时也最小，（方法2）简解：如图，由内心易知：DIA135，DAIOAI，DAIOAI（SAS），DIAOIA135，则I在圆周角OIA135T的
16、圆周上运动，且半径R，圆心T为(,)，CI在CIA中，CICTIT，当C、I、T三点一线时，.8.(2019枣庄)已知抛物线yax2+x+4的对称轴是直线x3，与x轴相交于A、B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；(2)如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合)，是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由.(3)如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN3时，求点M的坐标.解：(1)抛物线yax2+x+4的对称轴为:
17、x3,a,抛物线的解析式为:yx2+x+4,令y0,得x2+x+40,解之,得,x12,x28,点B在点A的右侧,A(2,0),B(8,0);(2)连接BC,在抛物线yx2+x+4中,令x0,得y4,C(0,4),OC4,OB8,SOBC16,B(8,0),C(0,4),设lBC：ykx+b，得08k+b，4b，k,b4,lBC：yx+4,过点P作PDy轴交BC于点D,过点C作CE垂直PD于点E,过点B作BFPD于点F,则SPBCSPCD+SPBDPDCE+PDBFPD(CE+BF)PD(xBxC)PD84PD,点P在抛物线上,设点P(x,x2+x+4),PDy轴,点D在直线BC上,D(x,x
18、+4),点P在B,C间的抛物线上运动,PDyPyDx2+x+4(x+4)x2+2x,SPBC4PD4(x2+2x)x2+8x(x4)2+16，当x4时，SPBC取最大值16，此时S四边形OBPCSOBC+SPBC32;第25题答图(3)MNy轴,设M,N的横坐标为m,点M在抛物线上,设点M(m,n),其中nm2+m+4,点N在直线BC上,N(m,m+4),点M是抛物线上任意一点,点M和点N的上下位置关系不确定,MN|m2+m+4(m+4)|x2+2x|,MN3,|x2+2x|3,即x2+2x3或x2+2x3,解这两个方程,得m12, m26, m34+, m44,n16, n24, n31,
19、n41,M1(2,6), M2(6,4), M3(4+,1), M4(4,1).9.(2019 聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A(2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l,沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点),且分别交抛物线,线段BC以及x轴于点P,D,E.(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC,AP,当直线l运动时,求使得PEA和AOC相似的点P的坐标;(3)作PFBC,垂足为F,当直线l运动时,求RtPFD面积的最大值.第25题图解：(1)由已知,将C(0,8)代入yax2+bx+c,
20、c8,将点A(2,0)和B(4,0)代人yax2+bx+8,得,解得,抛物线的表达式为yx2+2x+8;(2)A(2,0),C(0,8),OA2,OC8,lx轴,PEAAOC90,PAECAO,只有当PAEACO时,PEAAOC.此时,AE4PE.设点P的纵坐标为k,则PEk,AE4k,OE4k2,P点的坐标为(4k2,k),将P(4k2,k)代入yx2+2x+8,得(4k2)2+2(4k2)+8k,解得k10(舍去),k2,当k时,4k2,P点的坐标为(,).(3)在RtPFD中,PFDCOB90,ly轴,PDFOCB,RtPFDRtBOC,SPFD,由B(4,0)知OB4,又OC8,BC,
21、又SBOC16,SPFD,当PD最大时,SPFD最大.由B(4,0),C(0,8)可解得BC所在直线的表达式为y2x+8,设P(m,m2+2m+8),则D(m,2m+8),PD(m2)2+4,当m2时,PD取得最大值4,当PD4时,SPFD,为最大值.10.（2019济宁）如图1，在矩形ABCD中，AB8，AD10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG,DG上的动点（与端点不重合），且DMNDAM，设AMx，DNy写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；是否存在这样的点M，使DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由A N D B C G E F D 图1图2M A B C G E F 解：（1）由折叠可得AFAD10,EFED,矩形ABCD中，B90，AB2BF2AF2,CFBCBFADBF1064设CEx，则EFDECDCEABCE8x，EF2CE2CF2(8x)2x242