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1、2012 年春季高二年级模块（选修2-1 2-2 ）修习考试 数学参考答案 （理科 ） 一、选择题 题 号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案B A D C D B C D C B 二、填空题 11. 312. 2 13. 5 53 14. 6 15. 3 32 三、解答题 16.证明：（1）当1n时，左边 = 3 1 31 1 ，右边 = 3 1 112 1 ，等式成立 4 分 （2）假设当kn时等式成立，即 12)12)(12( 1 53 1 31 1 k k kk 则当1kn时， 等式左边 = )32)(12( 1 )12)(12( 1 53 1 31 1 kkkk = )3
2、2)(12( 1)32( )32)(12( 1 12kk kk kkk k = )32)(12( 132 2 kk kk )32)(12( )12)(1( kk kk = 1)1(2 1 32 1 k k k k ，成立 10 分 综合（ 1） （2） ，)( 12)12)(12( 1 53 1 31 1 Nn n n nn 12 分 17.解： （ 1）依题意得121212122,2,42F FF FPFPFPFPFa又=+=， 2 2,1,3acb=，所求椭圆的方程为 22 1 43 xy +=。 6 分 （2）设 P 点坐标为 211 ( , ),120 ,x yF F PPF?癨所在直
3、线的方程为(1) tan120yx=+装， 即 22 8 3(1) 5 3(1),0,0, 3 3 1 43 5 x yx yxxy xy y 解方程组并注意到可得 ? ? ?= - = -+ ? ? ? ? 镲 = -+眄 镲 +=镲 =镲 ? ? ? ? ? ， 12 12 13 33 3 255 PF F SF F D =?。12 分 z y x E P D A C B O FE P D A C B G H 18.解：方法一： （1）如图，取PB 的中点 F，连 EF、FC 则 EF/AB 且ABEF 2 1 ，又 DC/AB 且ABCD 2 1 EF/CD 且 EF=CD 四边形 EF
4、CD 为平行四边形 ED/FC DE/ 平面 PBC 6 分 （2）过 E 作 EG AD于 G,过 G作 GH BD于 H，连 EH 平面 PAD平面 ABCD EG平面 ABCD EHG 即为二面角E-BD-A 的平面角 在 RtEGH 中， EG= 2 3 ，GH= 4 23 ， tanEHG= 3 6 ，cosEHG= 5 15 12 分 方法二、（向量法） 作 PO AD于点 O ，则 O为 AD的中点，且PO 平面 ABCD 过 O作 Oy AD ，以 OA为 x 轴， Oy为 y 轴， OP为 z 轴建立空间直角坐标系。 E) 2 3 ,0 , 2 1 (,B)0 ,2, 1(,
5、D)0, 0, 1(，P)3,0 ,0(,)0, 1 , 1(C (1)设平面 PBC 的法向量为),( 321 tttt )3, 2, 1(PB,)3, 1 , 1(PC 0 0 PCt PBt ,即 03 032 321 321 ttt ttt ， 32 31 3 32 3 3 tt tt 令3 3 t，则 2 1 2 1 t t ，)3, 2, 1(t。 又) 2 3 ,0, 2 3 (ED,0) 2 3 (320) 2 3 (1EDt EDt,又ED平面 PCB， ED/平面 PBC 6 分 （2）依题意平面ABD 的法向量为)3, 0, 0(OPm ) 2 3 ,2, 2 1 (EB
6、,) 2 3 ,0, 2 3 (ED 设平面 EBD 的法向量为 ),(zyxn ，则 0 0 EB n ED n 即 0 2 3 2 3 0 2 3 2 2 1 zx zyx ， xz xy 3 ， 令1x， 则)3, 1, 1(n， 5 15 | ,cos nm nm nm 此时，二面角的平面角的余弦值为 5 15 12 分 19.解： （ 1）当x60 时，从甲地到乙地所用时间 3 10 60 200 t（小时） 此时每小时耗电量25160 20 1 60 480000 14 y 从甲地到乙地要耗电 3 250 25 3 10 （度）6 分 （2）汽车以x千米 /小时的速度匀速行驶时，从
7、甲地到乙地所用时间为 x 200 （小时），设所 要耗电为 W 则10 200 2400 1 )1 20 1 480000 1 ( 20020034 x xxx x y x W 2 2 200 800 1 x xW；令0W，则20x（或用重要不等式） 当200x时， W 关于x是递减函数，当20x时， W 关于x是增函数。 当20x时， W 最小，最小为 10 3 度电。 12 分 20.解： （ 1）函数的定义域为),0( xaxfln)(， 当0a时，令0)(xf，则0ln x，1x 此时，函数)(xf的递减区间为1 ,0，递增区间为, 1 当0a时，令0)(xf，则0ln x，1x 此时
8、，函数)(xf的递减区间为 , 1 ，递增区间为 1 , 0 6 分 （2）当1a时，2ln)(xxxxf 由（ 1）可知，函数)(xf在1 , 0上递减，在, 1上递增， 又, 1 e e x，函数)(xf在区间, 1 e e 的最小值为1) 1(f，最大值为2)() 1 (ef e f 21t，2, 1 maxmin tt 13 分 21 解： （1）解：设),( 11 yxP，),( 22 yxQ 则), 1( 11 yxAP，), 1( 22 yxAQ， 1 3 APAQ， 3 3 2 2 1 2 1 y y x x ， 3 2 4) 3 ( 222xy ，又 2 2 2 4xy，3
9、2 x，32 2 y 直线l的方程为：) 1( 2 3 xy 6 分 （2）假设这样的直线l存在，显然l的斜率存在设直线l的方程为：0),1(kxky， ),( 11 yxP，),( 22 yxQ 联立 ) 1( 4 2 xky xy 得0)2(2 2222 kxkxk，2 4 2 21 k xx，1 21x x 21 2 21 2 21 2 4)(1|1|xxxxkxxkPQ =16 16 4) 2 4 (1 4 2 2 2 kk k 又QP、到抛物线的焦点的距离分别为1, 1 21 xx 2|2 21 xxPQ， 24 4 16 16 2 kk ， 4 4 3 k， 这样的直线存在，且方程为：) 1( 4 3 4 xy14 分 命题人：红安教研室吴学红 红安一中韩晓晴叶信于车清华 审题人：黄冈市教科院丁明忠 黄州区一中杨安胜