07-10昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案.pdf

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1、昆明理工大学数值分析考试题 （07） 一填空（每空3 分，共 30 分） 1 设 A 0.231x 是真值 0.229 T x 的近似值，则 A x 有位有效数字。 2 若 74 ( )631f xxxx，则 017 2 ,2 ,.2 f， 018 2 ,2 ,.2 f。 3 A= 10 31 ,则 1 A= ；A = ； 2 A= 2( ) condA= 。 4 求方程 ( )xf x 根的牛顿迭代格式是。 5设105%x，则求函数( ) n f xx的相对误差限为。 6A= 210 12 02 a a , 为使其可分解为 T L L（L为下三角阵，主对角线元素0） ，a的取值范 围应为。

2、7用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是。 （注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。） 二推导与计算 （一） 对下表构造f(x)的不超过3 次的插值多项式，并建立插值误差公式。（ 12 分） x 0 1 2 ()fx 1 2 3 ()fx 3 （二） 已知( )xx和( )x满足( )x-31。请利用( )x构造一个收敛的简单迭代 函数( )x，使 1 (),0,1, kk xxk收敛。（8 分） （三） 利用复化梯形公式计算 2 1 0 x Iedx，使其误差限为 6 0.510，应将区间0 ， 1 等份。 （8 分） （四） 设 A

3、= 100 10 05 a bb a ，detA 0，推导用 a，b 表示解方程组AX=f 的 Seidel(G-S) 迭 代法收敛的充分必要条件。（10 分） （五） 确定节点及系数，建立如下 GAUSS型求积公式 1 1122 0 ( ) ()() f x dxA f xA f x x 。 （10 分） （六） 对微分方程初值问题 00 ( , ) () yf x y y xy （）用数值积分法推导如下数值算法： 1111 (4) 3 nnnnn h yyfff，其中 (,) iii ff x y ，(1, ,1)inn n。 （8 分） （）试构造形如 1011011 (), nnnnn

4、 ya ya yh b fb f的线形二步显格式差分 格式，其中 111 (,),(,) nnnnnn ff xyff xy。试确定系数 0101 ,aa b b，使 差分格式的阶尽可能高，写出其局部截断误差主项，并指明方法是多少阶。（14 分） （考试时间2小时30分钟） （08） 一、填空（每空3分，共 30 分） 1若开平方查 6 位函数表，则当 x=30 时， 2 1x的误差限为。 2若 01 ( )1,(1), n nnn f xa xa则fx,x ,.x = 。 3若 3 32 ,01 ( ) 1 (1)(1)(1),13 2 xx S x xa xb xcx 是 3 次样条函数，

5、则 a= ，b= ，c= 。 4A= 12 22 , 则A 1= ；A 2= ；Cond2(A)= 。 5考虑用复化梯形公式计算 2 1 0 x edx，要使误差小于 6 0.5 10，那么0 ， 1 应分为个子区间。 6 2 ( )(5)xxa x, 要使迭代法( )xx局部收敛到5x，即在邻 域1|5| x时，则a的取值范围是。 二、计算与推导 1、用追赶法解三对角方程组Axb，其中 2100 1210 0121 0012 A ， 1 0 0 0 b 。（12 分） 2、已知一组试验数据 t 1 2 3 4 5 y 4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 请确定其形如 t y a

6、tb 的拟合函数。（13 分） 3、确定系数，建立如下 GAUSS 型求积公式 1 1122 0 ( ) ()() fx dxA fxA fx x 。 （13 分） 4、证明用 Gauss-seidel迭代法求解下列方程组 1 2 3 3021 0214 2121 x x x 时，对任意的初始向量都收敛；若要求 *()4 10 k xx，需要迭代几次（ 推导时请统一取初始迭代向量 (0) (0 0 0) T x）？（ 13 分） 5、试用数值积分法或Taylor 展开法推导求解初值微分问题 0 (,) ,()yfxyyxa的如下中点公式： 211 2(,) nnnn yyh fxy 及其局部截

7、断误差。（14 分） 6、试推导( , ) bd ac f x y dydx的复化 Simpson数值求积公式。（5 分） （考试时间 2 个半小时） （09） 一、 （填空 ( 每空 3 分, 共 36 分) 1 32 32 ,01 ( ) 21,12 xxx S x xbxcxx 是以 0，1，2 为节点的三次样条函数， 则 b= ，c= 。 2设 3 ( )421f xxx，则差商0,1,2,3f，0,1,2,3,4f。 3函数 32 ( )3245f xxxx在-1，1上的最佳2 次逼近多项式是，最 佳 2 次平方逼近多项式是。 4 12 21 a A ，当 a满足条件时， A 可作L

8、U 分解；当 a 满足 条件时， A 可作 T ALL分解； 5 1111 2222 1111 2222 11 00 22 11 00 22 A ，则A ， 2 ( )cond A。 6求方程cosxx根的 newton 迭代格式是。 7用显式Euler 法求解 80 , (0)1yy y，要使数值计算是稳定的，应使 步长 0h 。 二、计算与推导 一、计算函数 3 ( )sin()f xn x在 * 0.0001x附近的函数值。 当 n=100 时，试计算在相对误 差意义下 * ()f x的条件数，并估计满足 * ( ()0.1% r f x时自变量的相对误差限和绝 对误差限。（12 分）

9、二、有复化梯形，复化simpson 公式求积分 1 0 x e dx的近似值时，需要有多少个节点，才能 保证近似值具有6 位有效数字。 （12 分） 四、确定求解一阶常微分初值问题的如下多步法 1121 1 ()(3) () 2 nnnnnn yyyyh ff中的值，使方法是四阶的。 （12 分） 五、用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合于下列数据（小数点后保留5 位） i x 1.0 2.0 3.0 4.0 i y 0.8 1.5 1.8 2.0 并计算其最小二乘误差。（ 14 分） 六、对下列线性方程组 23 123 123 221 2100.5 231 xx xxx xxx

10、， （ 1）构造一定常迭代数值求解公式，并证 明你构造的迭代格式是收敛的；(2)记精确解向量为 * X，若取初始迭代向量 (0) (000) T X, 要使 *()3 10 K XX ，请估计需要多少次迭代计算。（14 分） （考试时间2个半小时） （10） 一、填空（每空2 分，共 24 分） 1近似数490.00 的有效数字有位，其相对误差限为。 2设 74 ( )431f xxxx，则 017 2 ,2 ,2 f， 018 2 ,2 ,2 f。 3设 4 ( )2, 1,1f xxx，( )f x的三次最佳一致逼近多项式为。 4 12 34 A ， 1 A，A， 2 A。 5 210 1

11、21 012 A，其条件数 2 ()Cond A。 6 210 12 02 Aa a ，为使分解 T ALL成立（ L 是对角线元素为正的下三角阵），a的取 值范围应是。 7给定方程组 121 122 , xaxb a axxb 为实数。当a 满足且02时， SOR 迭代法收 敛。 8对于初值问题 /2 100()2 , (0)1yyxx y，要使用欧拉法求解的数值计算稳定， 应限定步长h 的范围是。 二、推导计算 1应用下列数据表建立不超过3 次的插值多项式并给出误差估计式 x 0 1 2 ( )f x 1 2 9 / ( )fx 3 （15 分） 2用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，

12、使之拟合于下列数据 x 10 2 0 30 40 y 08 1 5 18 20 （小数点后至少保留5 位） 。 （15 分） 3确定高斯型求积公式 1 001101 0 ()()(),( 0 , 1)x fx d xA fxA fxxx 的节点 01 ,xx及积分系数 01 ,A A。 （ 15 分） 书内 三、证明 1.在线性方程组AXb中， 1 1 1 aa Aaa aa 。证明当 1 1 2 a时高斯 -塞德尔法收敛， 而雅可比法只在 11 22 a时才收敛。（10 分） 2.给定初值 0 2 0,x a 以及迭代公式 1 ( 2), (0, 1, 2,0 ) kkk xxa xka 证

13、明该迭代公式是二阶收敛的。（7 分） 3.试证明线性二步法 212 (1)(3)(31) 4 nnnnn h ybybybfbf 当1b时，方法是二阶，当1b时，方法是三阶的。 （14 分） （12） 一、填空题（每空2 分，共 40 分） 1设 * 0.231x是真值0.228x的近似值，则 * x有位有效数字， * x的相对 误差限为。 3. 过点)0,2(),0, 1(和)3 ,1 (的二次拉格朗日插值函数为)( 2 xL= ， 并 计算)0( 2 L。 4 设 32 ( )3245f xxxx在1,1上的最佳二次逼近多项式 为，最佳二次平方逼近多项式为。 5 高 斯 求 积 公 式 )

14、()()( 110 1 0 0 xfAxfAdxxfx 的 系 数 0 A， 1 A，节点 0 x， 1 x。 6方程组bAx，,ULDA建立迭代公式fBxx kk)()1( ，写出雅可比迭代法 和 高 斯 - 赛 德 尔 迭 代 法 的 迭 代 矩 阵 ， Jacobi B， SeidelGauss B。 7 11 0 22 010 11 0 22 A ，其条件数 2 ()Cond A。 8 设 21 13 A， 计算矩阵A的范数， 1 | A= ， 2 | A= 。 9求方程( )xf x根的牛顿迭代格式是。 10对矩阵 513 252 321 A作 LU分解，其 L=_ ， U= _ 二

15、、计算题（每题10 分，共 50 分） 1. 求一个次数不高于4 次的多项式P(x), 使它满 足: 1) 1(,0)0(,0)0( ppp, 1) 1(, p ,1)2(p并写出其余项表达式（要求有推导过程）。 2. 若用复合梯形公式计算积分dxe x 1 0 ，问区间 0, 1应分成多少等分才能使截断误差不 超过 5 10 2 1 ? 若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间0, 1 应该分成多少等份? 由下表数据，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。 x0 0.25 0.5 0.75 1 x e 1 1.28 1.64 2.11 2.71 3. 线性方程组bAx，其中 18.04 .0

16、 8.014 .0 4.04 .01 A， T b 3 ,2, 1， （1）建立雅可比迭代法 和高斯 - 赛德尔迭代法的分量形式。（2）问雅可比迭代法和高斯- 赛德尔迭代法都收敛吗? 4. 已知如下实验数据4 , 1 , 0),(iyx ii , 用最小二乘法求形如xaay 10 的经验公 式，并计算最小二乘法的误差。 i x1 2 3 4 5 i y4 4.5 6 8 8.5 5. 用改进的欧拉公式( 预估 - 校正方法 ) ，解初值问题0)0(,100 22 yyx dx dy ，取步长 ,1 .0h计算到2.0x（保留到小数点后四位）。 三、证明题（共10 分） 1 如果A是对称正定矩阵

17、，则A可唯一地写成 T LLA，其中L是具有正对角元的下三 角阵。 （考试时间 2 个半小时） 07 答案 填空 12 26；0 34；4； 4 1 () 1() nn nn n xfx xx fx 5n005.0 633a 7 13 22 yx 一、 推导与计算 （一）方法 1 先确定 2 次插值( )(0)0,1(0)0,1,2(0)(1)N xffxfxx 再设该 Hermit 插值为 3( ) ( )(0)(1)(3)HxN xk xxx 将导数要求代入即可确定k 值（略） 得： 32 3( ) 2631Hxxxx 方法 2 直接设 32 3( ) Hxaxbxcxd 将插值要求代入得

18、方程组 （略）解得各待定系数 得 32 3( ) 2631Hxxxx 推导余项：根据条件要求 设 余 项 2 3 ( )( )( )( ) (1) (2)R xf xHxK x x xx构 造 关 于t的 辅 助 函 数 2 3 ( )( )( )( ) (1) (2)tf tHtK x t tt 其是充分光滑的，且满足(0)(1)(2)( )0,(1)0x 故 有4 个 零 点反 复 运 用Roll定 理 ， 有 (4)(4) ( )( )( )4fK x ！（0，2） (4) (4) 2 ( ) ( ) 4 ( ) ( )(1) (2),(0, 2)0,1,2 4 f K x f R xx

19、 xxx ！ 故且依赖于和节点 ！ （二） ( )3( )3 1 ( ( )3 ) 2 xxxxxx xxx 由可得 即 - - 故设 1 ( )( ( )3 ) 2 xxx 1 11 ( )31 22 () nn x xx 因(x) 故迭代格式是收敛的 - （三）令 26 10110 ( )10, 122 n Rfh fh n 其中 解得 3 1.736 10 .h-（略）- 1 578hn n 将代入取整即得 故需将区间578 等分。 （四）G-S 迭代阵 2 00 10 10010 0 50050 G a abb Bb a bab 令 23 det()()0 100 G ab IB 迭代

20、收敛的充要条件是需 100 3 )( ab BG 解出既 3 100 ab （五）方法1 01 1 ( )()()0,1xxxxx x 设为上带权的正交多项式 则有 1 0 1 0 1 ( )0 ( )0 x dx x x x dx x 整理得 0101 0101 11 () 35 111 () 357 x xxx x xxx 解出 01 11 (32 6 5),(32 6 5) 77 xx 又该公式应对( )1,f xx准确成立，代入有 01 0011 2 2 3 AA A xA x 解之得 0 1 1 15 6 3 1 15 6 3 A A - 故可构造出Gauss积分公式为。 。 。 。

21、 。 方法 2 直接用代数精度验证法列方程组求解 方程组每个待定系数 积分公式 （六） （1）将 ( , )yf x y两边同时在区间 11 , nn xx 上积分得 1 1 11 ()()( , ) n n x nn x y xy xf x y dx右边用积分的Simpson公式展开得 1 1 ( , ) n n x x f x y dx （略）将() i y x用相应数值值 i y代替 既推出公式 1111 (4) 3 nnnnn h yyfff （2）方法 1 因前提是 11 (),() nnnn yy xyy x 故利用 Tarlor 公式 24 (4) 1 1 ()()()()()(

22、 ) 234 () nnnnn nn hhh y xy xy xhy xyxy xx 10110111 3 21 01101111 44 11 ()()(, ()(, () () ()()()()()(3 )() 23 ( )( ) 43 nnnnnnn nnnn ya y xa y xh b f xy xb f xy x ah aa y xabb hy xb h yxabyx a hbh yy ！ ！ 考察局部截断误差 111 () nnn Ry xy，使 444 (4)4 11 1 ( )( )( )() 443 n a hb hh RyyyO h ！ 可得 01 101 1 1 11 1

23、 1 1 22 31 aa abb a b ab 解之得 0101 111 4,5,4,2 45(42) nnnnn aabb yyyhff 。故所给格式为 444 (4)52 ( )( )( ) 443 hhh yyy其局部截断误差的主项为，其是 3阶方法。 ！ 方法 2 直接套课本中公式，但此时 01100110,2 ,02aabbk而 令 0123 0CCCC列方程组 可解出各系数。 4(4)4(4) 8 ()() 3 nn h yxh yx 4 其局部截断误差的主项为C，其是 3阶方法。 ！ （09） 一、填空 (每空 3 分,共 36 分) 1. b= -2 ，c= 3 。 2. 0

24、,1,2,3f4 ，0,1,2,3,4f0 . 3. 2 7 24 ()5Pxxx, 2 911 255 ()2Pxxx 4. 1a 5. A2 ， 2 ( )cond A1 6. 1 cos 1sin kk kk k xx xx x 7. 0h 1 40 。 二、解 * * * () () () r r r fx Condfx x /3 3 ( ) ( )tan() xfxn x f xn x 取 n=100, 则 6* *10 ()170.3 tan(100) r x Condfx由要求知要求 * 0.1 () 100 r fx时 则自变量的相对误差限 * 5 ()() /() 0.578

25、10 rrr xfxCondfx 绝对误差限 * 9 ()() 0.57810 r xxx 三解(),0,1 x fxeab 用复化梯形时，即要求 2 / /4 1 ()()10 122 n h Rff由此解得应 取214个节点用复化Simpson时,即要求 4 (4)4 1 ()()10 18022 n bah Rff 由此解得应取9 个节点。 四 （该题是课本-清华第 4 版 372 页的例题） 正确展开 1n T 正确合并同阶项为3 项。求出 5 1 9,() n TOh 五解按题意， 所求拟合函数应形如 2 ()p xaxbx其最小二乘拟合误差 平方和为 3 222 0 () iii

26、i axbxy为使其达到最小，应令 2 2 () 0 () 0 a b 。代入数据后得出 3010017.2 10035455 ab ab 。解出 a,b，即得所求 拟合函数为 2 ( )0.949680.112903p xxx。最小二乘拟合误差 2 0.00523或 2 0.0046。 六 （10） 一、填空 ( 每空 2 分) (1)5 0.005 0.0000102; (2)4 0; (3) 21 2 4 x (4)6 7155 5; (5)32 2; (6)(3,3)a; (7)1a; (8)00.02h 二、推导计算 1. 解： ( 待定参数法 ): 根据节点条件及多项式性质, 设所

27、求函数为 ( )(0)0,1(0)0,1,2(0)(1)(0)(1)(2)H xffxfxxA xxx 代入导数条件, 求出 A=1 3 ( )1H xx设余项为 2 ( )( )( )( ) (1) (2)R xf xH xK x x xx当1,2x 且不同于0,1,2时 ,构造关于变量t 的函数 2 ( )( )( )( ) (1) (2)g tf tH tK x t tt- 此函数是充分光滑的, 且有零点 :0,1,2,x(1 是 2 重零点 )- 在 4 个零点的3个区间上反复运用Rolle 定理，可知至少有一倚赖于0，1， 2，x 的点，使 (4) (4)(4) ( ) ( )( )

28、4!( )0( ) 4! f gfK xK x于是 (4) 2( ) ( )( )( )(1) (2),(0,2) 4! f R xf xH xx xx 本题 H(x) 的推出 也可以用 1重节点的差商表方法；2 直接设为3 次多项式一般式，代 入条件建立方程组求出。 2解： 由过原点条件, 可知拟合函数形如: 2 ( )y xaxbx 故需按最小二乘法定义来推导。 设最小二乘拟合误差为 2 3 2 0 () ii i y xy 要使其为极小，必需符合 23 2 0 2 3 22 0 2()0 2()0 iiii i iiii i axbxy x a axbxy x b 可得法方程 30100

29、17.2 10035455 a b - 解之得 a=0.94968,b=-0.112903 2 ( )0.949680.112903y xxx 2 3 2 0 ()0.0052260.0046 ii i y xy或 3解： 设 01 ( )()()xxxxx为区间 0 ， 1 上带权x的正交多项式，于是应有 1 0 1 0 ( )0 ( )0 xx dx xx xdx 积分展开并令 0101 ,xxv x xu解相应方程组得 510 , 219 uv 由韦达定理，知 01 ,x x是方程 2105 0 921 xx的根。 于是可求出 0 1 0.821162 0.289949 x x 再由此积

30、分公式对( )1,( )fxf xx精确成立得 1 01 0 1 0011 0 2 3 2 5 xdxAA x xdxA xA x 解之得 0 1 0.389111 0.277556 A A 本题也可利用Gauss 代数 精度要求展开，直接解一个4 元非线性方程组。 三、证明 1证A是一对称阵 我们令其顺序主子式 2 2 1 10 1 a a a ， 32 3 det1230Aaa联立解之得 1 1 2 a此条件下， A对称正定， G-S 法收敛。 对 Jacbi 法，求出其迭代阵为 0 0 0 aa Jaa aa 令 2 det()() (2 )0IJaa于 是可知，当 ( )21Ja ，即

31、 11 22 a时，雅可比法才收敛。 2 （a）即 1 ( )f xa x ，其牛顿迭代格式为 1 (2),(0,1,2,0) kkk xxaxka (b) 显然，迭代函数为( )(2)xxax 11 () aa 1 ( )x a 即是的不动点。 容易求出： /11 aa （）=0,()=-2a0所以该迭代公式是二阶收敛的 3. 证 此方法的局部截断误差 / 2 (2 )(1) ()()(3)(2 )(31)() 4 nnnnnn h Ty xhby xhby xbyxhbyx 将其各项函数在 n x处泰勒展开并合并同类项得 3/4(4)5 2 137 (1)()()()() 3824 nnn

32、 Tbh yxb h yxO h- 于是，当1b时 3/4 2 1 (1)()() 3 nn Tbh yxO h，方法是2 阶的；当1b时 4(4)5 2 37 ()()() 824 nn Tb h yxO h，方法是3 阶的。 （12） 一填空题（每空2 分，共 40 分） 1. 2 0.025或 0.0216 2. 3 0 3. )2)(1( 2 3 xx， 3 4. 27 5 4 xx 2119 2 55 xx 5. 0.28 0.39 0.29 0.82 6. ULDHULDH SGJ 11 )(),( 7. 1 8. | A | 1 = 3_ ， 2 316299 | 2 A 9.

33、1 () 1() kk kk k xf x xx fx 10. 153 012 001 L， 2400 410 321 U 二、计算题（每空10 分，共 50 分） 1求一个次数不高于4 次的多项式P(x), 使它满足 :P(0) =0，P(0) =0，P(1) =1，P(1) =1，P(2) =1 ，并写出其余项表达式。 解：由题意 P(x) = x 2( ax 2 + b x + c ) ，由插值条件得方程组 1)24(4 1234 1 cba cba cba 求解，得 a =1/4 ，b= 3/2 ，c =9/4 。所以 ) 4 9 2 3 4 1 ()( 22 xxxxP 插值余项为)

34、2()1()( ! 5 1 )( 22)5( xxxfxR 2 若用复合梯形公式计算积分dxe x 1 0 ，问区间 0, 1应分成多少等分才能使截断误差不 超过 5 10 2 1 ？若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间0, 1 应该分成多少等分？ 由下表数据用复合辛普森公式计算该积分。 x0 0.25 0.5 0.75 1 x e 1 1.28 1.64 2.11 2.71 解：由于 x exf)(，则 x exfxf)()( )4( 在区间 0,1上为单调增函数，b-a=1 ， 设区间分成n 等分，则h=1/n., 故对复合梯形公式，要求 |)( 12 |)( 2 fh ab fRT

35、 52 10 2 1 ) 1 ( 12 1 e n ，)1 ,0( 即 52 10 6 e n，85.212n，因此 n=213，即将区间 0,1 分成 213 等分时，用复合梯形 计算，截断误差不超过 5 10 2 1 。 若用复合辛普森公式，则要求 |)( 2180 |)( ()4 2 f hab fRS 54 4 10 2 1 ) 1 ( 2180 1 e n ，)1 ,0( 44 10 144 e n，7066.3n，因此 n=4，即将区间 0,1分成 8 等分时，用复合梯形计算， 截断误差不超过 5 10 2 1 。 14 0 1 2 14 )()(4)( 6 )( k k k k

36、xfxfxf h hS 7125.1)()(4)()()(4)( 6 5.0 432210 xfxfxfxfxfxf 3. 线性方程组bAx，其中 18 .04.0 8.014.0 4.04 .01 A， T b 3, 2, 1 ， （1）建立 Jacobi 迭代 法和 Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）问 Jacobi 迭代和 Gausse-Seidel迭代法都熟收 敛吗？ 解： （1）Jacobi 迭代法的分量形式 ,2 , 1 , 0, )8 .04.03( )8 .04 .02( )4.04. 01 ( )( 2 )( 1 )1( 3 )( 3 )( 1 )1( 2 )

37、( 3 )( 2 )1( 1 k xxx xxx xxx kkk kkk kkk ， )0( x为任意初始值。 Gauss-Seidel迭代法的分量形式 ,2, 1 , 0, )8. 04. 03( )8.04 .02( )4. 04.01( )1( 2 )1( 1 )1( 3 )( 3 )1( 1 )1( 2 )( 3 )( 2 )1( 1 k xxx xxx xxx kkk kkk kkk ， )0( x为任意初始值。 (2) Jacobi 迭代法的迭代矩阵 08.04.0 8 .004.0 4.04 .00 )( 1 ULDBJ )32. 08.0)(8 .0(| 2 J BI 1092

38、8203.1)( J B，故 Jacobi 迭代法不收敛。 Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵 672.0032.00 64.016.00 4.04.00 )( 1U LDB SG 18 .0)( SG B，故 G-S迭代法收敛。 4. 已知实验数据5 ,2, 1),(kyx kk ，如下表， 用最小二乘法求形如xaay 10 的经验 公式，并计算均方误差。 i x 1 2 3 4 5 i y 4 4.5 6 8 8.5 解： 令xaaxS 101 )( , 1 0 , 1 x 故 51),( 4 0 00 i 15),( 4 0 10 i i x 15),( 4 0 01 i i x

39、55),( 4 0 2 11 i i x 31),( 4 0 0i i ff 5.105),( 4 0 1i i i fxf 由法方程得线性方程组 5.1055515 31155 10 10 aa aa 解得25. 1,45.2 10 aa 于是所求拟合曲线为 xxS2429.17143. 3)( 1 2-范数的误差 0.8216675.0)(| 2 4 0 12ii i yxS 5. 用改进的欧拉公式（预估- 校正方法） 解初值问题0)0(,100 22 yyx dx dy ，h为步长， （1） 取步长, 1.0h计算到2.0x（保 留到小数点后四位） 。 解： （1）由改进的欧拉公式 ),

40、(),( 2 ),( 111 1 nnnnnn nnnn yxfyxf h yy yxhfyy 因为, 1. 0h0 0 y， 22 100),(yxyxf 所以2. 0, 1.0, 0 210 xxx ),( 0001 yxhfyy0， ),(),( 2 110001 yxfyxf h yy=0.0005 ),( 1112 yxhfyy0.0015 ),(),( 2 | 221112 .02 yxfyxf h yy x =0.0030 三、证明题（共10分） 1、证明：如果A是对称正定矩阵，则A可唯一地写成 T LLA，其中L是具有正对角元 的下三角阵。 法一： 因为 A对称正定， A的所有

41、顺序主子式不为零。 A 有唯一的 Doolittle分解 ULA 其中 1 1 1 22 2 22 23 11 1 11 13 11 12 22 11 u a u a u a u a u a u u u U n n nn 0 DU D为对角阵， 0 U为单位上三角矩阵。 又因为 A是对角正定矩阵 T AADUL 0 = T T LDU 0 由分解的唯一性 T UL 0，代入分解式子 T LDLA 又 A对称正定知道 ni D D uDu i i ii , 2, 0, 1 111 2 1 2 1 22 11 22 11 22 11 DD u u u u u u u u u D nnnn nn 所以 TT LLDLDLA)( 2 1 2 1 ，其中 2 1 DL为对角元为正的下三角矩阵。