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1、实用标准文档 精彩文案 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似. （SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反 A”型与“反X”型 . 示意图结论 E D C B A 反A型： 如图，已知ABC， ADE=C， 则ADEACB （AA） ，AEAC=ADAB. 若连CD、BE，进而能证明ACDABE(SAS) O DC B A 反 X型
2、： 如图，已知角BAO=CDO，则AOBDOC（AA） ， OAOC=ODOB. 若连AD，BC，进而能证明AOD BOC. “类射影”与射影模型 示意图结论 A BC D 类射影： 如图，已知ABC， ABD=C， 则ABDACB （AA） ， 2 AB =ADAC. C A B H 射影定理 如图，已知ACB=90，CHAB于H，则 222 ,ACAHAB BCBHBA HCHA HB 相似三角形 6 大证明技巧第 2 讲 相似三角形证明方法模块一 14 “旋转相似”与“一线三等角” 示意图结论 A B C D E 旋转相似： 如图，已知ABCADE，则 ABAD ACAE ， BAC=D
3、AE，BAD=CAE， BADCAE（SAS） C B A E D 一线三等角： 如图，已知A=C=DBE，则DABBCE（AA ） 巩固练习 反 A型与反 X型 已知 ABC中， AEF= ACB ，求证：（1）AEABAFAC（2） BEO= CFO ， EBO= FCO （3） OEF= OBC ， OFE= OCB O F E C B A 类射影 如图，已知 2 ABACAD ，求证： BDAB BCAC A BC D 射影定理 已知ABC， ACB=90，CHAB于H， 求证： 2 ACAHAB， 2 BCBHBA， 2 HCHA HB 实用标准文档 精彩文案 通过前面的学习，我们知
4、道， 比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A型，X型，线束型）， 也离不开上述的6 种“相似模型” . 但是，王老师认为， “模型”只是工具，怎样选择工具， 怎样使用工具，怎样用好工具， 取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为 解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算 【例 1】 如图，平行四边形 ABCD 中，E是AB延长线上的一点，DE 交BC于F，求证： DCCF AEAD A B C F D E 【例
5、 2】 如图，ABC中，90BAC，M为BC的中点，DMBC交CA的延长线于 D，交AB于E求证： 2 AMMD ME CB A E D M 【例 3】如图，在 RtABC 中， AD 是斜边 BC上的高，ABC 的平分线BE交 AC 于E， 交 AD 于F求证： BFAB BEBC D B A C F E 比例式的证明方法模块二 技巧一：三点定型 16 悄悄地替换比例式中的某条线段 【例 4】如图，在 ABC ，AD平分 BAC ，AD的垂直平分线交AD于 E，交 BC的延长线于F， 求证： 2 FDFB FC A B CD E F 【例 5】如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点E在边B
6、A的延长线上， CE交 AD 于 F， ECAD 求证： ACBECEAD C BA D E F 【例 6】如图，ACB 为等腰直角三角形，AB=AC ， BAC=90 ， DAE=45 ，求证： 2 ABBE CD A BC DE 【例 7】如图，ABC中，ABAC， AD 是中线， P是 AD 上一点，过 C作CFAB， 延长BP交 AC 于E，交CF于F求证： 2 BPPE PF C B A D P E F 技巧二：等线段代换 实用标准文档 精彩文案 【例 8】如图，平行四边形ABCD中，过 B作直线AC、 AD 于O，E、交CD的延长线 于F，求证： 2 OBOE OF O F E D
7、 C B A 【例 9】如图，在ABC中，已知90A时，ADBC于D，E为直角边 AC 的中点， 过D、E作直线交AB的延长线于F求证： ABAFACDF E F C A B D 【例 10】 如图，在ABC中（ABAC）的边AB上取一点D，在边 AC 上取一点E，使 ADAE，直线 DE 和BC的延长线交于点P求证： BP CECPBD E C D B A P 技巧三：等比代换 18 P M N D A B C 【例 11】 如图，ABC中，BD、CE是高，EHBC于 H 、交BD于 G 、交CA的延长 线于M求证： 2 HEHG MH A B C D E H G M 【例 12】 如图，在
8、ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F，连EF， 求证：AEF=C F E D C B A 【例 13】 如图，在ABC中，90BAC，D为 AC 中点，AEBD，E为垂足，求证： CBDECD CB A D E 【例 14】 在 RtABC中，ADBC，P为AD中点，MNBC，求证 2 MNANNC 技巧四：等积代换 实用标准文档 精彩文案 【例 15】 已知，平行四边形ABCD中，E、F分别在直线AD、CD上，EF/AC，BE、BF分别交 AC于M、N. ，求证：AM=CN. F M N E D CB A 【例 16】 已知如图AB=AC，BD/AC，AB/CE，过A点的直线分
9、别交BD、CE于D、E. 求证： AM=NC，MN/DE. D C B A E M N 【例 17】 如图，ABC为等腰直角三角形，点P为AB上任意一点，PFBC，PEAC，AF 交PE于N，BE交PF于M. ，求证：PM=PN，MN/AB. C B A P E F N M 技巧五：证等量先证等比 20 【例 18】 如图，正方形BFDE内接于ABC，CE与DF交于点N，AF交ED于点M，CE与AF 交于点P. 求证： （1）MN/AC； （2）EM=DN. P N M E F D A BC 【例 19】 （）设E、F分别为AC、AB的中点，D为BC上一点，P在BF上，DP/CF，Q在 CE上
10、，DQ/BE，PQ交BE于R，交CF于S，求证： 1 3 RSPQ C B A D P Q S E F G R 实用标准文档 精彩文案 【例 20】 （）如图，梯形ABCD的底边AB上任取一点M，过M作MK/BD，MN/AC，分别 交AD、BC于K、N，连KN，分别交对角线AC、BD于P、Q，求证：KP=QN. Q N S P R K M O DC B A 【例 21】 （ 2016 年四月调考）如图，在ABC中，ACAB，AD是角平分线，AE是中线，BF AD于G，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H. （1）求证：AH=BH， （2）若 BAC=60，求 FG DG 的值 . H M F G ED CB A 技巧六：几何计算 22 【例 22】 （ 2016 七一华源）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD 上， 1 2 3. 求证：（1）EFEGAE（2）求证：CECGAF