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1、培优点十四外接球 1正棱柱，长方体的外接球球心是其中心 例 1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为， 则这个球的表面积是（） AB20C24D32 【答案】 C 【解析】16 2h aV， 2a， 2416444 2222 haaR，24S，故选 C 2补形法（补成长方体） c a b 图1 C P A B a b c 图2 P C B A a b c 图3 C B P A a b c 图4 P C O2 B A 例 2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 【答案】 【解析】93334 2 R， 2 49SR 3依据垂直关系找球心 例 3：已知三棱锥P
2、ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足 6BABC ， 2 ABC， 若该三棱锥体积的最大值为3， 则其外接球的体积为（） AB16C 16 3 D 32 3 【答案】 D 【解析】 因为ABC是等腰直角三角形，所以外接球的半径是 1 123 2 r，设外接球 的半径是，球心到该底面的距离，如图，则 1 63 2 ABC S ，3BD，由题设 11 63 36 ABCVShh ， 最大体积对应的高为3SDh，故 22 3Rd，即 2 2 33RR，解之得2R， 所以外接球的体积是 3432 33 R，故答案为D 一、单选题 1棱长分别为2、 、的长方体的外接球的表面积为（） ABC2
3、4D48 【答案】 B 【解析】 设长方体的外接球半径为，由题意可知： 22 2 2 2235R，则： 2 3R， 该长方体的外接球的表面积为 2 44 312SR本题选择B选项 2设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为2 3 ，顶点都在一个球面上，则该球的表 面积为（） A12B 28C44D60 【答案】 B 【解析】 设底面三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得： 23 2 sin60 r，则2r， 设外接球半径为，结合三棱柱的特征可知外接球半径 2 22 327R， 外接球的表面积 2 428SR本题选择B选项 3把边长为3 的正方形 ABCD沿对角线对折，使得平面ABC 平面 ADC
4、，则三棱锥 对点增分集训 DABC的外接 球的表面积为（） A32B27CD 【答案】 C 【解析】 把边长为3 的正方形ABCD沿对角线对折，使得平面ABC平面ADC， 则三棱锥DABC的外接球直径为 3 2AC ，外接球的表面积为 2 418R，故选 C 4某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面 积为（） AB 2 2aC 2 3aD 2 4a 【答案】 C 【解析】 由题可知， 该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a 的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为的正三棱锥，另一个是棱长为2a 的 正四面体，如图所示： 该几何
5、体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对 角线，所以 222 3 23 2 RaaaaRa，所以该几何体外接球面积 2 223 443 2 SRaa ，故选 C 5三棱锥ABCD的所有顶点都在球的表面上，AB平面BCD，2BCBD， 24 3ABCD，则球的表面积为（） AB32C60D64 【答案】 D 【解析】 因为 2BCBD ，2 3CD，所以 2 22 222 3 1 cos 2222 CBD ， 2 3 CBD， 因此三角形BCD外接圆半径为 1 2 2 sin CD CBD ， 设外接球半径为，则 2 22 =2 +41216 2 AB R， 2
6、=464SR，故选 D 6如图 1111 ABCDA B C D 是边长为1 的正方体，SABCD是高为 1 的正四棱锥，若点， ， ， ， 在同一个球面上，则该球的表面积为（） A 9 16 B 25 16 C 49 16 D 81 16 【答案】 D 【解析】 如图所示，连结 11 AC ， 11 B D ，交点为，连结SM， 易知球心在直线SM上，设球的半径ROSx，在 1 RtOMB中，由勾股定理有： 222 11 OMB MB O ，即： 2 2 2 2 2 2 xx ，解得： 9 8 x，则该球的表面积 2 2981 44 816 SR本题选择D选项 7已知球的半径为， ， ，三点
7、在球的球面上，球心到平面ABC的距离为 1 2 R ， 2ABAC， 120BAC，则球的表面积为（） A 16 9 B 16 3 C 64 9 D 64 3 【答案】 D 【解析】 由余弦定理得：44222cos1202 3BC， 设三角 ABC外接圆半径为，由正弦定理可得： 2 3 2 sin120 r ，则2r， 又 221 4 4 RR，解得： 216 3 R，则球的表面积 264 4 3 SR本题选择D选项 8已知正四棱锥PABCD( 底面四边形ABCD是正方形，顶点在底面的射影是底面的中 心) 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10 ，若该正四棱锥的体积为 50 3 ，则此
8、 球的体积为（） AB 8 6C36D 32 3 【答案】 C 【解析】 如图，设正方形ABCD的中点为，正四棱锥PABCD的外接球心为， 底面正方形的边长为10 ，5EA， 正四棱锥的体积为 50 3 ， 2 150 10 33 PABCDVPE ， 则5PE，5OER ， 在AOE中由勾股定理可得： 2 2 55RR，解得3R， 34 36 3 VR 球 ，故选 C 9 如图，在 ABC 中，6ABBC， 90ABC ， 点为的中点， 将ABD沿折起到PBD 的位置，使PCPD，连接，得到三棱锥PBCD若该三棱锥的所有顶点都在同一球面 上， 则该球的表面积是（） ABCD 【答案】 A 【
9、解析】 由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD平面PCD， 设三棱锥PBDC外接球的球心为， PCD外接圆的圆心为，则1OO面PCD，四边形1OO DB 为直角梯形， 由3BD， 1 1O D，及OBOD，得 7 2 OB，外接球半径为 7 2 R， 该球的表面积 27 447 4 SR故选 A 10四面体ABCD中，60ABCABDCBD，3AB，2CBDB，则此四面 体外接球的表面积为（） A 19 2 B 19 38 24 CD 17 17 6 【答案】 A 【解析】 由题意，BCD中，2CBDB，60CBD，可知BCD是等边三角形，3BF， BCD的外接圆半径 2 3 3
10、 rBE ， 3 3 FE， 60ABCABD，可得7ADAC，可得6AF，AFFB，AFBCD， 四面体ABCD高为6AF 设外接球，为球心，OEm，可得： 222 rmR ， 2 22 6EFR 由解得： 19 8 R四面体外接球的表面积： 219 4 2 SR故选 A 11将边长为2 的正ABC沿着高折起， 使120BDC，若折起后ABCD、 、 、四点都在 球的表面上，则球的表面积为（） A 7 2 BC 13 2 D 13 3 【答案】 B 【解析】 BCD 中，1BD， 1CD ， 120BDC ， 底面三角形的底面外接圆圆心为，半径为，由余弦定理得到3BC，再由正弦定理得到 3
11、21 sin120 rr， 见图示： 是球的弦， 3DA ，将底面的圆心平行于竖直向上提起，提起到的高度的一半，即为球心 的位置， 3 2 OM，在直角三角形OMD中，应用勾股定理得到，即为球的半径 球的半径 37 1 42 OD该球的表面积为 2 47OD；故选 B 12在三棱锥 ABCD中，6ABCD ， 5ACBDADBC ，则该三棱锥的外接球 的表面积为（） A 43 43 24 B 43 43 6 C 43 2 D43 【答案】 D 【解析】 分别取，的中点， ，连接相应的线段， ， ， 由条件，4ABCD，5BCACADBD，可知，ABC与ADB，都是等腰三角 形， AB平面ECD
12、，ABEF，同理CDEF，是与的公垂线， 球心在上，推导出AGBCGD，可以证明为中点， 2594DE，3DF，1697EF， 7 2 GF，球半径 743 9 42 DG，外接球的表面积为 2 443SDG 故选 D 二、填空题 13棱长均为6 的直三棱柱的外接球的表面积是_ 【答案】84 【解析】 由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为 1616 2 3 2sin6023 2 r， 则外接球的半径 2 2 32 391221R， 则外接球的表面积为 2 44 2184SR 14已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16 3 ， 则该正四棱锥内切球的表面积为_ 【答案】3216 3 【解析】 设正
13、四棱锥的棱长为，则 2 3 4163 4 a，解得4a 于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN的内切圆， 其中4MN，2 3PMPN2 2PE 设内切圆的半径为，由PFOPEN，得 FOPO ENPN ，即 2 2 2 2 3 rr ， 解得 2 2 62 31 r， 内切球的表面积为 2 2 44623216 3 Sr 15已知三棱柱 111 ABCA B C 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积 为，2AB，1AC，60BAC，则此球的表面积等于_ 【答案】 【解析】 三棱柱 111 ABCA B C 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为， 2AB，1AC， 60BAC， 1
14、1 2 1sin 603 2 AA，12AA， 222 2cos60412BCABACAB AC，3BC， 设ABC外接圆的半径为，则2 sin60 BC R ，1R， 外接球的半径为112 ，球的表面积等于 2 428故答案为 16 在三棱锥ABCD中，ABAC，DBDC，4ABDB，ABBD， 则三棱锥ABCD 外接球的体积的最小值为_ 【答案】 82 3 【解析】 如图所示， 三棱锥ABCD的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体 的体对角线， 设ABACx，那么4DBDCx，ABBD，所以 22 ADABDB由题意，体 积的最小值即为 最小， 2 2 4ADxx，所以当2x时，的最小值为22，所以半径为， 故体积的最小值为 8 2 3