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1、二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x为自变量的二次函数2)2( 22 mmxmy的图像经过原点，则m的值是 2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的 图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数bkxy的图像在第一、二、三象限内，那么函数 1 2 bxkxy的图像大致是（） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合 题，如：已知一条抛物线经
2、过(0,3) ，(4,6) 两点，对称轴为 3 5 x，求这条抛物线的解析式。 4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线 2 yaxbxc（ a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是 3 2 （1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 例 1 （1）二次函数 2 yaxbxc 的图像如图1，则点),( a c bM在（） A第一象限 B第二象限 C 第三象限 D 第四象限 （ 2）已
3、知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图2 所示， ?则下列结论： a、b 同号；当x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时， x 的值只能取0. 其中正确的个数是（） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键 例 2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 (-2 ，O)、(x1，0) ，且 1O ；4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D 4 个 答案： D 会用待定系数法求二次函数解析式 例 3.已知：关于x 的一元二次方程ax
4、2+bx+c=3 的一个根为 x=-2 ，且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛 物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3 ， 2) 答案： C 例 4、 （2006 年烟台市）如图（单位：m ） ，等腰三角形ABC以 2 米/ 秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到AB与 CD重合设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积 为 ym 2 （1）写出 y 与 x 的关系式； （2）当 x=2，3.5 时， y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴. 例 5、已知抛物线y
5、= 1 2 x 2+x-5 2 （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴 （2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A、B，求线段AB的长 【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系 例 6.已知：二次函数y=ax 2-(b+1)x-3a 的图象经过点P(4，10) ，交 x 轴于)0 ,( 1 xA，)0 ,( 2 xB两点)( 21 xx，交 y 轴负半轴于C点，且满足3AO=OB (1) 求二次函数的解析式；(2) 在二次函数的图象上是否存在点M ，使锐角 MCO ACO? 若存在，请你求出M点的横坐 标的取值范围；若不存在，请你说明理由 (
6、1) 解：如图抛物线交x 轴于点 A(x1，0) ， B(x2，O)，则 x1x2=3O，x1 ACO 例 7、 “已知函数cbxxy 2 2 1 的图象经过点A（c， 2） ， 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 （ 1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次 函数图象；若不能，请说明理由。 （ 2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评：对于第（ 1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图
7、 象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c， 2） ” ，就可以列出两个方程了，而解析式中只 有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解 析式是第（ 1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个 任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 解答 （1）根据cbxxy 2 2 1 的图象经过点A（c， 2） ，图象的对称轴是x=3， 得 ,3 2 1 2 ,2 2 12 b cbcc 解得 .2 , 3 c b 所以所求二次函数解析式为.23 2
8、12 xxy图象如图所示。 （ 2）在解析式中令y=0，得023 2 1 2 xx，解得.53,53 21 xx 所以可以填“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是（3+)0,5”或“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是).0,53( 令 x=3 代入解析式，得, 2 5 y 所以抛物线23 2 12 xxy的顶点坐标为), 2 5 ,3( 所以也可以填抛物线的顶点坐标为) 2 5 , 3(等等。 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为 “变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题
9、 例 1 已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中 AF=2，BF=1 试在 AB上求一点P，使矩形 PNDM 有最大面积 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应 用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间 例 2 某产品每件成本10 元，试销阶段每件产品的销售价x（元） ?与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： x（元）15 20 30 y（件）25 20 10 若日销售量y 是销售价x 的一次函数 （ 1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （ 2）要使每日的销售利润最大，
10、每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？ 【解析】 （1） 设此一次函数表达式为y=kx+b 则 1 52 5 , 22 0 kb kb 解得 k=-1 ， b=40， ?即一次函数表达式为y=-x+40 （ 2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w元 w=（ x-10 ） （ 40-x ）=-x 2+50x-400=- （x-25 ）2+225 产品的销售价应定为25 元，此时每日获得最大销售利润为225 元 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何 值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中， ?“某某
11、”要设为自变量，“什么”要设为函数； （2）?问的求解依靠配 方法或最值公式，而不是解方程 例 3.你知道吗 ?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛 物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m ，距地面均 为 1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 、25 m处绳子在甩 到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m，则学生丁的 身高为 ( 建立的平面直角坐标系如右图所示) ( ) A1 5 m B1625 m C 166 m D1 67 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案： B 1. （2011 湖南湘潭市， 25，10 分）（本题满分
12、10 分） 如图，直线33xy交x轴于 A点，交y轴于 B点，过 A、 B两点的抛物线交x轴于另一点C （3,0 ）. 求抛物线的解析式; 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使 ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合 条件的 Q点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】解： （1）设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c。 直线33xy交x轴于 A点，交y轴于 B点， A点坐标为（ -1,0 ） 、B点坐标为（ 0,3 ）. 又抛物线经过A、B、C三点， 0 930 3 abc abc c ，解得： 1 2 3 a b c ， 抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3 （2） y=-x 2+2x
13、+3= 2 (1)4x，该抛物线的对称轴为x=1 设 Q点坐标为（ 1，m ） ，则 22 4,1(3)AQmBQm，又10AB. 当 AB=AQ 时， 2 410m，解得：6m，Q点坐标为（ 1，6）或（ 1，6） ； 当 AB=BQ 时， 2 101(3)m，解得： 12 0,6mm，Q点坐标为（ 1，0）或（ 1，6） ； 当 AQ=BQ 时， 22 41(3)mm，解得：1m，Q点坐标为（ 1，1） 抛物线的对称轴上是存在着点Q （1，6） 、 （1，6） 、 （1，0） 、 （1，6） 、 （1，1） ，使 ABQ是等腰三角形 2. （2011 贵州安顺， 27， 12 分）如图，抛
14、物线y= 2 1 x 2+bx 2 与 x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一 1， 0） 求抛物线的解析式及顶点D的坐标； 判断ABC的形状，证明你的结论； 点M(m， 0) 是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值 【答案】（ 1）点 A（-1，0）在抛物线y= 2 1 x 2 + bx-2 上， 2 1 (-1 ) 2 + b (-1) 2 = 0 ，解得b = 2 3 抛物线的解析式为y= 2 1 x 2- 2 3 x-2. 第 27 题图 y xO C B A y= 2 1 x 2- 2 3 x-2 = 2 1 ( x 2 -3 x- 4 ) = 2 1 (x- 2
15、 3 ) 2- 8 25 , 顶点 D的坐标为 ( 2 3 , - 8 25 ). （2）当x = 0 时y = -2, C（0，-2 ） ，OC = 2 。 当y = 0 时， 2 1 x 2- 2 3 x-2 = 0 ，x1 = -1, x2 = 4, B (4,0) OA = 1, OB = 4, AB = 5. AB 2 = 25, AC 2 = OA 2 + OC 2 = 5, BC 2 = OC 2 + OB 2 = 20, AC 2 +BC 2 = AB 2. ABC是直角三角形 . （3）作出点C关于x轴的对称点C，则C（ 0，2） ，OC =2，连接C D交x轴于点M，根据轴
16、对称性 及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。 解法：设 直线C D的解析式为y = kx + n , 则 8 25 2 3 2 nk n ，解得n = 2, 12 41 k . 2 12 41 xy . 当y = 0 时，02 12 41 x， 41 24 x. 41 24 m. 3. 已知：关于x 的方程012)31( 2 axaax （1）当 a 取何值时，二次函数12)31( 2 axaaxy的对称轴是x= -2； （2）求证： a 取任何实数时，方程012)31( 2 axaax总有实数根 . 【答案 】 (1)解：二次函数12)31 ( 2 axaaxy的对称轴是x= -2 2 2 )31( a a 解得 a= -1 经检验 a= -1 是原分式方程的解. 所以 a=-1 时，二次函数12)31( 2 axaaxy的对称轴是x=-2； （2） 1）当 a=0 时，原方程变为-x-1=0 ，方程的解为x= -1； 2）当 a0 时，原方程为一元二次方程，012)31( 2 axaax， 当时，04 2 acb方程总有实数根， 0) 12(4a31 2 aa 整理得，012 2 aa 0)1( 2 aa0 时0)1( 2 a总成立 所以 a 取任何实数时，方程012)31( 2 axaax总有实数根 .