初中数学命题的方法和技巧.pdf

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1、初中数学命题的方法和技巧 概论 新课程改革，更新了教师们的教育理念，提升了实践能力，课堂教学发生了较为理性 的变化，数学教学的评价也发生了一些可喜的变化。近几年来，宁波市教研室及各县市区 教研室也组织了数学命题比赛，一定程度上促进了教师命题能力的提高。但数学问题的编 制仍是极大部分教师的软肋，大家应该能切身的体会到，但凡各级各类优质课比赛和展示 的优秀课例中，无不展示出这些教师具有优秀理念和超凡创意的数学问题设计。我们的极 大部分教师仍以现成的资料以题海战术的形式训练学生，给学生带来过重的负担，从而导 致缺乏编制问题最基本的能力，包括选题（根据什么目的？选择什么形式？等等）、改题 （课本中的例

2、习题改编，一改即错）、编题（想考查某一方面的知识和能力，但就是编不 出好题来。 要实现 “减负提质 “，一线教师必须在提升自己教学基本功上下功夫，特别是命题能 力。 初中数学命题一般有以下几种类型：（1）课堂小测验（练习）；（2）单元测验； （3）期中期末试卷；（4）中考（模拟）试卷；（5）竞赛试卷。 今天我就试卷命题谈四个方面的问题。 一、考试命题的几个主要的原则 考试命题是一件科学性和技术性很强的工作，为了提高试卷试卷质量，必须遵循下列 主要原则： 1科学性原则 （1）试卷内容科学、无差错，无知识性、科学性错误 例 1：已知，求的值。01 2 xx 2 21 x x 例 2：已知是实数，且

3、，设，则，ba,1ab 11b b a a M 1 1 1 1 ba NM 的大小关系为（）N A B C D不确定NMNMNM 例 3：已知，求的值。01442, 0634zyxzyx 222 222 75 632 zyx zyx 例 4：06 年绍兴 23我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定 全等那么在什么情况下，它们会全等? (1)阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略 ) 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下： 已知： ABC 、A 1B1C1均为锐角三角形， AB=A1

4、B1，BC=B 1Cl，C= Cl 求证： ABC A 1B1C1 ( 请你将下列证明过程补充完整) 证明：分别过点B，B1作 BD CA于 D， B 1 D1C1 A1于 D1. 则BDC= B1D1C1=900， BC=B1C1，C= C1， BCD B 1C1D1， BD=B 1D1 (2) 归纳与叙述： 由(1) 可得到一个正确结论，请你写出这个结论 （2）试题表述正确，用词规范、图文匹配，设问明确，没有歧义。 例 5：已知等腰三角形的边长是方程的根，求它的周长。（九年级数a)3(3)3( 2 xx 学教与学） 例 6：11如图，用邻边长分别为，（）的矩形硬纸板裁出以为直径的两个半ab

5、baa 圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧 面， 小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则与满足的关ab 系 式是 （A）（B）（C）（D）ab3ab 2 15 ab 2 5 ab2 点评： 本题是根据考试说明中的试题改编而成的试题，是对一道PISA 原题的重新挖掘和再 创造，它完全具备PISA 题的三个明显特征：情景、运用、思维。强调真实的社会生活或生 产活动的情景；强调运用已学到的知识进行解释或解决问题；强调进行有效分析、推论、 交流等思维能力。问题的解决需要严谨的逻辑推理能力和较强的运算能力，是一道融几何 与代数结合的综合

6、题。 例 7：如图要从一块等腰直角三角形白铁皮零料上裁出一块长方形白铁皮。已知 AB=AC=20cm ，要求裁出的长方形白铁皮的面积为75cm2,应怎样裁？ 例 8：（ 09 年宁波中考卷）20如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是-4， ，且点 A、 B到原点的距离相等，求x 的值 22 35 x x （3）关注不同学生的不同理解 例 9易拉罐装的某种饮料一箱24 瓶（易拉罐可视作圆柱）小明设计了两种形式的长方 体包装箱，如图是箱子底部的摆放形式 方案 1: 如图 1，底部横行放6 瓶，直列放4 瓶，共放一层； 方案 2: 如图 2，底部横行放4 瓶，直列放3 瓶，共放二层； 若易拉罐

7、总体积与纸箱容积的比叫做纸箱空间的利用率，设方案1 和方案 2 的纸箱空 间的利用率分别为,，则ab （ A）（B）（C）（ D）,大小不确bababaab 定 （4）试题简略，编排合理，梯度明显 试卷不仅要有好题，而且题目不能过繁、冗长。 例 10：（ 09 年嘉兴卷）如图，已知A、B是线段MN上的两点， 4MN，1MA，1MB以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点 N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC，设xAB （1）求x的取值范围； （2）若ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：ABC的最大面积？ 2适标性原则 （1）试题内容及要求不超过课标、教材（或考试说明）的范围

8、和要求； 如期末试卷就不能超过本册教材的要求，与以前知识的综合也要适度，又如课堂测验题的 命制更应明确想考查学生什么知识点或技能，尽可能单一。而中考试卷应按照考试说明 的内容范围、题型要求、分值分布等。 当然有些会引发一些争议。 例 11：（ 10 年嘉兴卷）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以 AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角ACD和BCE，连结AE交CD于M，连结BD 交CE于N给出以下三个结论： ；ABMN / BCACMN 111 ABMN 4 1 从初高中数学知识的衔接点考察学生后续学习能力的培养，当然要避免高中知识简单下放 例 12：（ 12 年宁波卷

9、） 26（本题 12 分）如图，二次函数的图象交cbxaxy 2 轴于A（，0），B（2， 0），交轴于C（0，），过A，C画直线x1y2 图 1 图 2 （第 11 题图） （ 1）求二次函数的解析式； （ 2）点P在轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；x （ 3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H 若M在轴右侧，且CHMAOC（点C与点A对应），求点M的坐标；y 若M的半径为，求点M的坐标5 5 4 （2012 义乌市）如图1，已知直线y=kx 与抛物线y=交于点 A（ 3，6） （1）求直线y=kx 的解析式和线段OA 的长度； （2）点 P 为抛物线第一象限

10、内的动点，过点P 作直线 PM，交 x 轴于点 M（点 M、O 不重合），交直线OA 于点 Q，再过点Q 作直线 PM 的垂线，交y 轴于点 N试探究： 线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明 理由； （3）如图 2，若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段 OA 上（与点O、A 不 重合） ，点 D（m，0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足 BAE= BED= AOD继续探究： m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1 个、 2 个？ 设直线 AF 为 y=kx+b（k0 ）把点 A（3，6） ，点 F（， 0）代入得 k=， b

11、=10， ， （第 26 题） AB C O y x （备用图） AB C O y x ， （舍去）， B（ 6，2） ， AB=5（ 8分） （2012 嘉兴）在平面直角坐标系xOy 中，点 P 是抛物线： y=x2上的动点（点在第一象限内） 连接OP，过点 0 作 OP 的垂线交抛物线于另一点Q连接 PQ，交 y 轴于点 M作 PA 丄 x 轴于点 A，QB 丄 x 轴于点 B设点 P 的横坐标为m （1）如图 1，当 m=时， 求线段 OP 的长和 tan POM 的值； 在 y 轴上找一点C，使 OCQ 是以 OQ 为腰的等腰三角形，求点C 的坐标； （2）如图 2，连接 AM、BM，

12、分别与 OP、OQ 相交于点D、E 用含 m 的代数式表示点Q 的坐标； 求证：四边形ODME 是矩形 考点： 二次函数综合题。 设直线 PO 的解析式为： y=kx+b，把 P（m，m2） 、Q（ ，）代入，得： 解得 b=1， M（ 0，1） ， QBO= MOA=90 ， QBO MOA MAO= QOB， QO MA 同理可证： EM OD 又 EOD=90 ， 四边形 ODME 是矩形 （2）要尽量体现新课程的理念、体现导向性。 如体现过程与方法，贴近时代，切忌背景陈旧。 例 13：21. 如图 1，有一张菱形纸片ABCD，AC=8，BD=6. (1)请沿着AC剪一刀，把它分成两部分

13、，把剪开的两部分拼成一 个平行四边形，在图2 中用实线画出你所拼成的平行四边形；若 沿着BD剪开，请在图3 中用实线画出拼成的平行四边形.并直接 写出这两个平行四边形的周长. (2)沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形， 请在图 4 中用实线画出拼成的平行四边形. (注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等) 点评：本题是一道操作性的好题，通过剪、拼等活动，既考查了特殊四边形的性质，又让 人深刻体会到数学课堂中活动性的意义。它以简约的造形体现了丰富的数学内涵，第二问 的开放性既能考查学生的开拓思维能力又体现了数学的灵活性和和谐性 3、有效性原则 （1）试卷中的每一道题都必须有

14、自己明确有效的考试目标 对试题所要考查的内容，包括知识技能、过程方法要达到哪一层次的水平，中考试题 要求知识具有较好的代表性，覆盖面要广，重点突出（初三内容为主）、学科能力考查全 面、恰当，能力的层面要充分考察数学思维水平的状况。 例 14：23（本题8 分）如图，在ABC中，BE是它的角平分线，C=，D在AB边上， 90 以DB为直径的 半圆O经过点E，交BC于点F （1）求证：AC是O的切线； （2）已知，O的半径为4，求图中阴影部分的面积 2 1 sin A 点评： 本题是立足课本，创新改编而成的一道融推理与计算于 ( 第 21 题) ( 图 2)( 图 3) ( 图 4) 周长为周长为

15、 ( 图 1) A BA CA DA EA F OA （第 23 题） 一体的试题，涉及九年级数学中的直线与圆的位置关系、三角 函数等核心知识，具有较强的综合性，重点考查学生的逻辑推 理能力和计算能力. （2）内容颁布和难度分布合理，知识复盖面大，知识点不重复 1332.670.940.89 1432.611.010.87 1532.80.750.93 1632.571.060.86 1731.11.440.37 1830.591.190.2 1965.012.150.84 2065.181.50.86 2164.32.120.72 2286.72.060.84 2385.533.170.69

16、 24105.844.340.58 25(1)42.391.470.6 25(2)61.591.560.26 26(1)32.221.260.74 26(2)21.090.980.54 26(3)70.270.860.04 25 题 0.4 26题 0.3 （3）基础与提高并重，关注学科本质，有适度的综合、探索、应用与开放；鼓 励学生个性发展和创造性发挥 例 15：是否存在三边为连续自然数的三角形，使得： (1) 最大角是最小角的两倍； (2) 最大角是最小角的三倍； 若存在，求出该三角形三边长；若不存在，请说明理由（下列各图供探索用） （4）试题设计新颖，情景合理公平，素材真实 例 16：2

17、4（本题10 分）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计 费下表是该市居民“一户一表 ” 生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格污水处理价格 每户每月用水量单价：元 / 吨单价：元 / 吨 17 吨及以下a 0.80 AB C （图 1） A B C （图 2） 超过 17 吨但不超过30 吨的部分b 0.80 超过 30 吨的部分 6.000.80 （说明：每户产生的污水量等于该户自来水用水量；水费=自来水费用 +污水处理 费） 已知小王家2012 年 4 月份用水 20 吨，交水费66 元； 5 月份用水25 吨，交水费91 元 （1）求，的值；ab （2）随着

18、夏天的到来，用水将增加为了节省开支，小王计划把6 月份的水费控制在 不超过家庭月收入的2% 若小王家的月收入为9200 元，则小王家6 月份最多能用水多少 吨? 素材真实，并不能照搬照抄 4、创新性原则 （1）近年试卷中出现较多的PISA 命题的思想，注重考查学生的思维过程，强调把知识放 在 具体的生活情景中加以考查重视学生创造运用知识的能力。PISA 的显著特点：情景、运用、 思维。 例 17：10如图是老年活动中心门口放着的一个招牌，这个招牌是由三个特大号的骰子摞 在一起而成的每个骰子的六个面的点数分别是1 到 6其中可看见个面，其余个面711 是看不见的，则看不见的面上的点数总和是 （）

19、 41（） 40（） 39（） 38 点评： 本题将概率学习中常用的骰子为素材，它具有PISA 题的三个明显特征：情景、运用、 思维。通过对实际问题的解决，考查学生的数学分析能力与数学基本素养，其中蕴含了初 中数学中两种重要的数学思想整体思想和方程思想，是融PISA 理念和初中数学思想于一 体的经典范例。 （2）彰显学科特色，注重学科基本素养和能力 侧重考查理解基础上的运用，注重学科思想方法的考查；注重对数学应用意识和用数学观 点分析问题、解决问题能力的考查（发现问题、提出问题的能力） ；注重实践能力、探究能力、阅读能力以及即时学习能力的考查。 例 18：25（本题10 分）邻边不相等的平行四

20、边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边 形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形， 称为第二次操作； 依次类推，若第次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形如nn 图 1，ABCD中，若AB=1，BC=2，则ABCD为 1 阶准菱形 （第 25 题） B A C D （图 1） A C D E F ( 图 2) B （第 10 题） （1）判断与推理： 邻边长分别为2 和 3 的平行四边形是阶准菱形； 小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把ABCD沿BE折叠（点E在AD 上）， 使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE请证明四边形ABFE是

21、菱形 （2）操作、探究与计算： 若ABCD的邻边长分别为1，（），且是3 阶准菱形，请画出ABCD及裁a1a 剪线的示意图，并在图形下方写出的值a 已知ABCD的邻边长分别为，（），满足，请写出abbarba6rb5 ABCD是几阶准菱形 点评： 此题是一道新定义形式的试题，又是课题学习型的一个创新型试题。 试题以平行四边形、菱形、一元一次方程等核心知识为载体，要求学生通过阅读理解、 判断推理、操作计算、抽象概括等方式进行即时的学习和研究，倡导了以学生自主学习为 主体的新课程理念，很好地引导师生转变教与学的方式。问题的设置简洁而内涵丰实，试 题呈现方式新颖独特，很清晰地展示了开展一类课题学习的

22、研究模式：定义问题 推理 判断 操作探究 抽象概括。试题以能力立意，要求学生灵活运用分类讨论等数学思想， 以及从具体到抽象、从特殊到一般、正逆向并存的思维方式。 此题属于一道原创题，很好地体现命题的公平性原则，问题的设置起点低、梯度明显， 有利于不同层次学生的正常发挥，是考查学生数学素养和潜能的好题。试题设计灵活开放， 有助于学生拓宽思维空间，引导培养学生的创新意识和能力。本题特别重视学生对新知识 的理解和应用能力，彰显了新课标中“由知识立意向能力立意”过渡的要求，是坚持学生 “可持续发展 ”理念的体现。学习型试题能有效承载数学中考考查学生阅读理解能力、应 用数学知识解决实际问题的能力及学习习

23、惯与能力培养的任务，已逐渐成为中考命题探索 的焦点问题。 5、适度性原则 指试卷的题量、长度合适；难度恰当。 全大市平均分，我市分，报省难度系数为，5.8395.8470.0 期末考试理想的考试难度是以上。70.0 考后的难度分析是一件很容易的事（在当今信息时代），但在命题时且是一件难事，因为 只能凭经验估计。试卷难度有意义的是相对难度，即相对于不同学生的水平。这就需要一 个常模，如我们依据上一年度宁波中考每一题的难度来对照估计新编拟的试卷的难度。 三、 试题编制的流程 1、制定命题计划 明确考试性质、试卷编制依据、内容范围、试卷结构（题型及分值分配）、难易比例 2、制定双向细目表（命题计划具

24、体化） 命题规划表 内容分布 数与代数空间与图形统计与概率课题学习 题号分值 ABCDABCDABCD 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 123 133 143 153 163 173 183 196 206 216 228 238 2410 25106 2612 合计 1205146176 注： A 了解 B 理解 C 掌握 D 灵活运用 3、编制试题（构思 成题（毛坯） 磨题 定稿） 4、解答、分析试卷难度、调整 命题评价表 内容分布 数与代数空间与图形统计与概率课题学习 题号分值 ABCDABCDABCD 估计 得分 130.95 230.95 330

25、.95 430.92 530.90 630.92 730.86 24 4 4 6 6 830.80 930.78 1030.70 1130.62 1230.45 1330.92 1430.83 1530.80 1630.80 1730.65 1830.18 1960.85 2060.80 2160.80 2280.86 2380.68 24100.72 251060.48 26120.40 合计 12051461760.715 注： A 了解 B 理解 C 掌握 D 灵活运用 5、编排答题卷、制订评分标准 6、拟制试卷设计说明 四、命题的方法和技巧 命题的主要方法有三种：选题、改题、编题 1、

26、选题 选用某些现成的题目作为试题，但并不等于“ 抄题 ” 选题原则：有代表性（目标明确）、题目形式完美、内容丰富且具有思考性、成题不宜过 多选用 选题方法：题型调整、数字参数改变、条件结论互换 2、改题 主要是由一个题出发，经过修改而得到另一个适用的试题。 与选题不同：不要求保持原型题的风格，不要求保持原有难度，也不要求保持原有的解题 方法。这时原型题的作用仅给出一个编制试题的思路、框架。 改题的方法： 24 4 4 6 4 6 （1）增加参数；（2）逆向改编；（3）改变解题方法 3、编题 命题的根本手段是编题 确定编题目标：编多少道题目，分哪几个类型（选择、填空、解答），考查哪些知识点， 解

27、题方法，难度布局如何等。 编题的方法 选择题的命题规律 （1）题干中，要把题设陈述清楚，力求精练，通常是一个不完全的陈述语句 （2）选项表述必须明确清楚，与题干连起来应当通顺，成为一个完整的语句或判断 （3）题设与结论之间的关联词、提问的指导语，既要合乎逻辑，无歧义，又要十分考究 选择题命制防止下列现象： （1）条件过剩 （2）选项具有包含关系 （3）选项明显虚设 （4）题干与选项不连贯 填空题的命题规律 填空题命题的关键是材料的取舍及空位的设置 （1）取材合理，内容不宜过多，考查中心应突出 （2）合理安排填空位置，发问明确 （3）陈述简洁，条件不能过剩或矛盾 解答题的命题规律 解答题编制重点

28、在立意（中心） （1）知识点 （2）能力 点评：本题是以信息迁移的方法构制的课题型试题，创作的灵感源自于“勾股定理 ”。通 过“ 新定义 ”及“ 新问题与新定义之间的转化距离”两个维度调控试题挑战性的程度。试 题呈现方式新颖独特，内涵丰富深远。试题巧妙地将等边三角形、直角三角形、圆等初中 数学的核心内容融合起来，同时设计的探究内容遵循“由特殊到一般 ”的规律。第（ 1）小 题的门槛低，有利于学生上手，同时又为第（2）、（ 3）小题的解答做了思维上的铺垫， 后面两小题的解答，要求学生经过探究能提炼出图形运动过程中所蕴藏的不变的数量关系。 本题特别重视学生对新知识的理解和应用能力，彰显了新课标中“

29、由知识立意向能力立意” 过渡的要求，是坚持学生“可持续发展 ” 理念的体现 . 正确理解原创 启示 灵感 构思（脱胎换骨） 编制 20长为 1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形1 2 1 a 宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于 此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去若在第n此操作后，剩 下的矩形为正方形，则操作终止当n=3 时，a的值为 _ 北京 2011 的一个好题 模拟它的成题过程 在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。 （1）在图 1 中证明；CECF （2）若，G是EF的中

30、点（如图2），直接写出BDG的度数；90ABC （3）若，FGCE，分别连结DB、DG（如图 3），求BDG的度120ABCFGCE 数。 原素材（三个基本图形）+先进的理念 原有知识、测量、猜想、验证 途径 条件、结论恰当的组合改变或隐没 磨题 第一次操作第二次操作 第 20 题 MF M 构思 模胚 反复推敲 修改 放弃（或重构） 文字斟酌 各种解法形成 修改围绕两个方面：（1）内容；（ 2）难度 25一组邻边不等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作， 在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作， 依次 类推，若第次操作后余下的四边形仍是

31、菱形，则称原平行四边形为“阶准菱形 ” nn （1）操作、判断和推理： 一组邻边长分别为1 和 2 的平行四边形是阶准菱形； 小明是如下操作的：如图，把ABCD 沿 BE折叠，使点A落 在 BC上，剪去四边形ABFE ，小明认为这个四边形是菱形，你认为 对吗？请给出证明 （2）探究与计算： 若ABCD的邻边长分别为，（）且满足abba ，（为正整数，），则ABCD为几阶准菱形？rnbamrbnm,br ABCD 的邻边长分别为1、（），且是三阶准菱形，求的值；a1aa 调节难度的方法： （1）改变提问方式 A BC D E F （第 25 题） （3）改变综合程度 分步设问试题的命题规律 两类

32、（ 1）所提问题是并列的，彼此独立，切忌堆砌； （ 2）所提问题是递进的。 分步设问的主要优点： （1）化整为零 （2）提高区分度与信度 26如图，二次函数交轴于 A（，0）， B（2，0），交轴于cbxaxy 2 x1y C（0，），作直线AC 2 （1）求该二次函数的解析式，并直接写出直线AC的解析式； （2）点 P是轴右侧该函数图像上的点，过P作 PH AC于 H，若 P，C，H为顶点的三角y 形与 AOC相似，求点P的坐标； （3）M是直线 AC上方该函数图像上的点，以M为圆心，以为半径的圆与直线AC相切，5 直接写出点P的坐标 学会命题从以下几个方面去努力： （1）要从精编课堂练习、例题做起，能编出达到自己目的的题目； （2）研究中考试卷，解剖分析中考试卷，学会分析试题； 请你对下面一个中考题进行点评（包括考查的知识点、数学思想及能力指向、设计亮点或 其它观点等） （3）计算机使用能力影响命题的水平 18如图，ABC中，BAC=60 ，ABC=45 ，AB=，D是线段BC上的一个动点，22 以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为 （4）只有会解（难）题，才能会编题；要孜孜不倦地去做题。 x y O A B C 1 （第 26 题图） x y O A B C 1 备用图 C A B D E F . O （第 18 题）