2019年全国高考数学一卷总体分析.pdf

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1、1 2019 年全国高考数学一卷总体分析 与 2019 年高考备考建议 株洲县第五中学阳志长 2019 年湖南高考数学使用新课标高考全国数学一卷. 与往年相比， 2019 年高考全国一卷数学试 题，试卷结构保持不变，考查内容基本一致，体现了高考的稳定性与延续性；注重基础知识，体现数 学思想，考查数学运算、应用、创新等能力. 突出对数学抽象、逻辑推理、数据分析等核心素养的重视 和“回归教材”，以及文理合卷等特点. 2019 年高考湖南省阅卷结果：文科数学平均分55 分，比 2019 年湖南省文科数学平均分67.96 分下降 12.96 分；理科数学79.9 ，比去年 78.82 升了 1.08

2、分, 这是预 料中的事情 . 今结合 2019 年高考试题、 在权衡 2019 年上期所做 20192019 年全国高考数学试卷（I ） 总体综合分析 （以下简称分析报告）报告得失的基础上，我们试图为大家提供备考2019 年数学 高考的方略，供一线数学教师参考. 一、考点分布 2019 年全国高考数学一卷考点分布 一级二级主题内容 文科理科 题 号 分 值 题 号 分 值 集合 集合之间的 关系与运算子、交、并、补1 5 1 5 函 数 函数的概念定义域、值域8 5 8 5 函数的性质 单调性8 5 8 5 奇偶性9 5 7 5 周期性6 5 1 2 5 图象与图象变 换 6 5 1 2 5

3、函数与方程函数的零点21 6 1 2+21 5+ 12 基本初等函数指、对、幂函数8+ 9+21 5 +5+12 7 +8+21 5+ 5+12 导数导数的应用7+ 12+21 5 +5+12 7 +21 5+ 12 三角变换三角公式125112 2 三 角 +14 +5 7 三角函数图 象与性质 正弦、余弦函数 图象与性质6 5 1 2 5 解三角形正、余弦定理4 5 1 7 12 向量向量表示与运 算 坐标表示、模、 运算 13 5 1 3 5 立体 几何 空间的几何体正投影与三视 图 7+ 18 5 +12 6 5 空间点、线、 面关系 位置关系与角11 +18 5 +12 1 1+18

4、 5+ 12 数 列 等差数列通项、前n项和17 6 3 5 等比数列通项、前n项和17 6 1 5 5 解 析 几 何 直线直线与圆的位 置关系 15 5 圆直线与圆的位 置关系 15 5 2 0 12 圆锥曲线 椭圆的定义与 性质、直线与椭圆的 关系 5 5 2 0 12 双曲线的标准 方程与性质5 5 定义、直线与抛 物线的位置关系20 1 2 1 0 5 不等 式 不等式的解法绝对值不等式24 1 0 2 4 10 不等式的应用线性规划16 5 1 6 5 复数复数的代数形 式 复数运算、模2 5 2 5 3 排列 组合 二项式定理应用1 4 5 概率 统计 概率 古典概型3 5 几何

5、概型4 5 统计 分布、数字特征 与期望等19 1 2 1 9 12 算法框图框图10 5 9 5 选修 4 1 几何证明选讲与圆有关的角、 线 22 1 0 2 2 10 选修 4 4 坐标系与参数 方程 直线与圆的极 坐标、参数方程23 1 0 2 3 10 选修 4 5 不等式选讲绝对值不等式 的解法、几何意义24 1 0 2 4 10 说明： 1. 未考的考点没有列出，其他考点和课标要求大家可以参考分析报告；2. 所列考点 是按照所考的主要知识点分类、有交汇，分值不能严格区分时、是按照大题分值标注的. 二、考查分析 （一）常考知识点 在分析报告 中，我们列出常考知识点：集合运算、 复数

6、的代数计算、函数基本性质 （单调性、 奇偶性、周期性等）、导数及其运用、三角函数（恒等变换、图像及性质、解三角形）、平面向量的 计算、 数列（等差、 等比的相关知识）、线性规划、 二项式定理 （理） 、程序框图、 概率（古典概型） 、 统计的基本知识、立体几何（空间点、线、面的位置关系）、圆锥曲线（定义、性质）等. 从上面列表 可以看出， 2019 年高考全国一卷基本上覆盖了高中数学的所有重要的知识点，预测是准确的. 2019 年高考数学全国一卷命题的基本思路仍然是：以选择题、填空题“小题”的形式覆盖知识 点，引导高中数学教师落实课程标准的基本要求，做好“保底”工作；以解答题“大题”的形式 着

7、重考查综合素养，提高区分度、强化选拔功能；文理同题（同宗题或姊妹题）略有增加，为高考数 学文理合卷进一步创造条件. （二）板块分析 1. 三角函数 该知识点在整个试卷中理科占有17 分、文科占有20 分，文科以四道小题、理科以一道小题一道 大题的形式呈现. 题目之间互补， 形成纵向 “问题链” ，主要考查三角恒等变换、三角函数图象与性质、 解三角形，估计2019 年不会有大的变化. 4 2. 数列 该知识点在整个试卷中理科占有10 分、文科占有12 分，理科以两道小题，文科以一道大题的形 式呈现 . 以特殊数列（等差数列、等比数列）为载体，考查求解数列的通项公式、前n项和，在解答题 中靠前，属

8、于容易题，在小题中靠后，属于较难题. 与三角“嵌套”，理科在解答题中考查三角、文科 在解答题中考查数列. 考查风格与2019 年相同，估计2019 年也不会有大的变化. 3. 概率统计 该知识点在整个试卷中文理都占有17 分的分值，试题以一大一小的形式呈现. 文科小题考查古典 概型，大题以实际问题为背景，考查函数解析式、频率、数字特征等知识；理科小题考查几何概型， 大题与文科同宗同源，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等知识. 文理均重统计，考查风格与 2019 年基本相同，估计2019 年会有些变化，具体见后面专项分析. 4. 立体几何 该知识点在整个试卷中文理科都占有22 分的分值，试题

9、以一大两小的形式呈现. 小题考查三视 图、空间线、面关系. 大题分两小题设问，文科第1 问证明线段相等，第2 问求体积；理科第1 问证明 面面垂直，第二问求二面角的余弦值. 理科考查风格与2019 年相同，文科考查风格与2019 年有点不同， 大题“正投影”难住了较多考生，2019 年备考还要关注折叠问题. 5. 解析几何 该知识点在整个试卷中文理都占有22 分的分值， 试题以一大两小的形式呈现. 小题考查圆、 圆锥 曲线定义、标准方程、简单几何性质. 大题分两小题设问，文科第1 问考查坐标法，求线段的比值；第 2 问为存在性问题、考查直线与抛物线的位置关系.理科第 1 问为定值问题，求轨迹方

10、程；第2 问考查 直线与圆锥曲线的位置关系，与函数、不等式交汇在一起，属于较难题. 考查风格与2019 年相同，估 计 2019 年不会有大的变化. 6. 函数与导数 该知识点在整个试卷中理科占有22 分，试题以一大两小的形式呈现；文科占有27 分，试题以一 大三小的形式呈现. 与导数相关的知识，小题中有一题也有涉及（理科第7 题、文科第 9 题和 12 题）. 大题分两小题设问，文科第1 问考查定义域、单调性；第2 问考查函数零点的相关知识；理科题考查 函数零点的相关知识；文理科都与不等式等知识交汇在一起，考查分类讨论、综合运用知识的能力， 属于难题 . 文理科此题属于姊妹题，考查风格与20

11、19 年相同，估计2019 年不会有大的变化. 三、热点透视 （一）三角问题 三角为数学的主干知识之一，一般情况下应该得满分. 纵观近 5 年全国卷，不确定因素较多、难 度较大、综合性较强，超出考生的想象. 例1（ 2019 高考全国卷1 文科第14 题）已知是第四象限角，且 3 sin 45 ，则 5 tan_ 4 . 分析 1：由 tantan sincos 4 tan 4sincos 1tantan 4 ，为求tan 4 的值，可从题目条 件出发，求出sincos、sincos的值 . 解法 1：因为 3 sin 45 ，所以 3 2 sincos 5 ，且 7 2s in co s 2

12、5 . 又因为是 第四象限角，所以 sincos0，且 22 sincossincos 32 4sincos 25 ，故 4 2 sincos 5 ，结果填 4 3 . 本题考查三角函数的定义、符号和同角公式、和差角公式等知识，以及化归与转化、平方与开方 等 思 想 方 法 . 考 生 的 思维 障 碍 是 不 知 由sincos的 值 可 以 求 出sincos的 值 ； 错 点是 sincos的符号 . 其实，sincos、sincos、sincos“知一求二”；由单位圆和三 角函数线容易判断sincos或sincos的符号 . 单位圆是三角函数的“原点”，“能力立意” 的基本点是回归“原

13、点”，按照数学家当初建构数学概念那样广开思路，备考时需要重建、理解三角 公式体系：利用单位圆定义三角函数的坐标表示（数）和几何表示（形）；由它的坐标表示可以概括 得到符号规律、特殊角的三角函数值；由它的几何表示可以简单推出同角公式；由单位圆的对称性和 它的坐标表示可以直接得到诱导公式；由向量的数量积和它的坐标表示可以简单推导和差角公式、二 倍角公式的“母公式”coscoscossinsin. 抓住了单位圆，就等于抓住了三角公 式的“命门”：公式记不清时，可以利用单位圆简单推出；符号拿不准时，可以利用单位圆作出判断； 特别是由单位圆推导公式的思路和方法，是解决相关问题的思想武器. 分析 2 ：

14、由() 444 ， 为求tan 4 的值，可从题目条件出发， 求出tan 4 的值 . 解 法2 ： 因 为22 2 kkkZ， 所 以22 444 kk. 又 因 为 3 si n 45 ，所以 4 cos 45 ，且 3 tan 44 . 故tan 4 6 tan 42 tan 24 1 tan 4 ，结果填 4 3 . 这种解法明显优于第一种，更能体现命题者的意图. 课本在章头指出：“三角变换包括变换的对 象，变换的目标，以及变换的依据和方法等要素”. 另解盯住角，从未知与已知关系中寻求突破，用已 知角表示未知角、从中寻求三角变换的依据和方法，获得题目的更优解法. “角”是自变量，是三角

15、变 换的根本所在，因此三角变换思维起点是角：盯住未知与已知角的关系（互余、互补、和、差、倍、 分），以及角的取值范围；三角变换的基本思想是转化与化归思想；三角变换的基本策略是：找“差 异”，立足“化异为同”、消除差异找方法，正用、逆用、变用、联用以至活用公式. 备考时，要结合 具体题目的解答过程，回归课本，把握三角变换的特点和本质，实行方法创新，以“不变”驭“变”. 例 2 （2019 高考全国卷1 理科第 12 题）已知函数sinfxx（0， 2 ）， 4 x为fx的零点， 4 x为yfx图象的对称轴，且fx在 5 , 18 36 单调，则的最 大值为 A.11 B. 9 C. 7 D. 5

16、 分析： 为求的最大值，可从题目条件出发，得到关于、的方程和不等式，再从特殊值、 一个周期内的图象特征出发筛选答案. 解法 1：因为 4 , 42 m m n 、nZ，所以 12 42 nm nm . 由 2 得 10nm. 由0得，0nm且为奇数 . 当0nm即 4 时，取11，这时sin 11 4 fxx ，由 3 11 242 x得， 5 4444 x. 因 为 55 184436 ， 所 以fx在 区 间 5 , 1844 上 是 单 调 递 减 函 数 、 在 区 间 55 , 4436 上是单调递增函数，不合题意.同理，7、 5 不合题意，只有9符合题意 . 当1nm即 4 时，验

17、算知11、9、7 不合题意，只有5符合题意 . 综上所述，的最大值为9，结果选B. 7 解法 2：由题意知： 1 2 + 4 + + 42 k k 则21k，其中kZ . ( )f x 在 5 , 18 36 单调， 5 ,12 3618122 T . 接下来用排除法 若 11, 4 ，此时 ( )sin 11 4 f xx ，( )f x 在 3 , 18 44 递增，在 3 5 , 44 36 递减，不 满足( )f x 在 5 , 18 36 单调； 若 9, 4 ，此时 ( )sin 9 4 f xx，满足( )f x 在 5 , 18 36 单调递减，故选B 本题考查正弦函数图象和零

18、点、对称性、单调性等性质，以及数形结合、函数与方程、化归与转 化等思想方法.考生的思维障碍不是列方程组、求和的表述式，而是处理整数nm、nm，以 及验算fx在 5 , 18 36 上的单调性 . 其实，确定nm的取值后，取的值验算时，为了减少字母 运算带来的不便，可以考查函数在一个周期内的单调增区间或减区间，按照周期进行拓展、作出判断； 作为一个选择题，本题只需对 0nm 取 11、9 和对1nm 取 11三种情况作出判断就 可以作出选择.无论是正弦型函数，还是余弦型、正切型函数，无论是奇偶性、单调性、对称性，还是 求最值、 解方程、 不等式， 都可以按照三角函数曲线、从一个周期出发按照周期进

19、行拓展. 课本是按照 从一个周期出发进行拓展的思路探讨三角函数图象的，但是在后续例题列式、求解中带入了“k”， 备考时，要进行两种解题方式的比照，把握其共性，明确从三角函数图象出发、从一个周期出发思考 解决问题的道理，化解难点，达到必要的复习深度. 理科第 17 题考查三角形的内角和、周长、面积和正弦定理、余弦定理、诱导公式等知识，以及 配方、 函数与方程、 化归与转化等思想方法.属于中低档题，思路不是问题， 影响考生得分主要是表述 规范和隐含条件运用等问题. 其实，在三角形中常隐含了“内角和为”、“两边之和大于第三边”、 “大边对大角” 等条件， 解三角形时要特别注意发掘这些隐含条件，建构相

20、应的 “条件反射” . 备考时， 建议还要关注向量与三角的结合问题，以及建构三角函数模型解决“测量”、“潮汐”等问题 . 不管是 哪一类问题， 最终往往归结为 “化一” 、求三角函数在给定区间的最值问题，而隐含在其中的条件“给 定区间”，测量着备考高度. 8 模拟训练 1. 已知点 33 sin,cos 44 P 是以x轴正半轴为始边的角的终边上一点，且 0,2 ，则 A. 4 B. 3 4 C. 5 4 D. 7 4 2. 要得到函数) 4 2sin(3xy的图象，只需将函数xy2sin3的图象 A.向左平移 4 个单位 B.向右平移 4 个单位 C.向左平移 8 个单位 D.向右平移 8

21、个单位 3. 在ABC中，已知45B，22c， 3 34 b， 则C_. 4. 设当x时，函数( )sin2cosf xxx取得最大值，则 cos_. 5. 如图，平面四边形ABCD中，5AB，2 2AD， 3CD，30CBD，120BCD. 求 （）ADB； （）四边形ABCD的面积S. （二）数学思想 数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过 程中，能够迁移并广泛用于相关学科和社会生活. 因此，对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的 考查结合进行， 通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度. 考查时要从学 科整体意义和思想

22、价值立意，要有明确的目的，加强针对性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地 检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度. 1. 数形结合的思想方法 （1）具体特征 从“形”入手，直观助思；从“数”突破，验证直觉. （2）考题解析 例 3 （2019 高考全国卷1 文理科第11 题）平面过正方体 1111 ABCDA B C D的顶点A， 11 /CB D平面,ABCDm平面， 11 ABB An平面，则m，n所成角的正弦值为 A B D C 9 A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3 解法 1：如图所示：因为/ /平面 11 CB D ，设平面 11 CB D平面

23、1 ABCDm，则 1/ / mm. 又因为平面/ /ABCD平面 1111 A B C D， 平面 11 B D C 平 面 1111 A B CDBD， 所 以 111 / /B Dm，故 11/ / B Dm. 同理， 1/ / CDn. 故m、n的所成角的大小与 11 B D、 1 CD所成角的大小相等，即 11 CD B的大小 而 1111 B CB DCD，因此 11 3 CD B，即 11 3 sin 2 CD B 解法2：如图，在正方体ABCD 1111 A B C D的 下 方 补 两 个 相 同 的 正 方 体 . 因 为 11 / /ARB D， 1 / /AFD C，可

24、得平面ARF/ /平面 11 B CD. 由题设 可知 AR 、AF分别为m、n. 故m、n所成的角即为 1 B C、 11 B D所成的角，其角度为60. 故m、n所 成的角的正弦值为 3 2 . 本题考查线线、线面、面面关系，两异面直线所成角等知识，以及数形结合、化归与转化等思想 方法 . 考生的思维障碍在于根据题意作出图形助思. 显然，解2 的图形更有利于考生思考、解决问题. 求空间角包括求两条异面直线所成角、线面角和面面角，求解的基本路径是：“找（作）说 求” . “找”是关键，没有现成的就需要“作”，作线线角重点是“平移直线”；作线面角重点是“线 面垂直”；作面面角重点也是“线面垂直

25、”. （3）基本类型与学生问题 按照题目问题状态，可以分为“题给图形”和“自构图形”两种基本类型.学生的主要问题是： 一是没有想到数形结合；二是构图马虎，不能达到“助思”效果；三是构图不够“常态”，产生误导. （4）方法分析 数形结合是高中数学的核心思想方法之一. 从“形”入手、 用数形结合的思想方法，是解答选择、 A A1 B B1 D C C1 D1 n m S Q P R HG F E D1 C1 B1 A1 D C B A 10 填空题的重要策略；而由“数”联想到“形”，是一种创造、 创新， 对学生本身是一个“坎”. 建议高 三复习时选用恰当的问题进行数形结合的思想立意；同时，结合距离

26、、斜率等数式的几何意义，创造 机会让学生思“形”，增长数形结合、由“数”思“形”的见识，激活学生的创新思维. （5）模拟训练 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为 ( ) A.72 2 cmB. 48 2 cm C. 2 4812 2 cmD. 2 3512 2 cm 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABD C，则 二面角 ABCD的正切值为_. 函数 22 2548fxxxxx的最小值为 . 已知函数( )yf x是定义域为R的偶函数 . 当0x时， 5 sin()01 42 ( ) 1 ()1 4 x xx f x x ， 若关于的方程 2 ( )( )0f xaf xb （

27、,a bR ）,有且仅有6 个不同实数根，则实数 a的取 值范围是（） A 59 (,) 24 B 9 (, 1) 4 C 59 (,) 24 9 (, 1) 4 D 5 (,1) 2 2.转化与化归的思想方法 （1）具体特征 归是归宿、目标，转化是为了达到目标所调用的一切手段和方法. （2）考题解析 例 4 （2019 年文科 12 题）若函数 1 sin 2sin 3 fxxxax在,上单调递增， 则a 的取值范围是 A.1,1 B. 1 1, 3 C. 1 1 , 3 3 D. 1 1, 3 解法1： 2 1cos2cos 3 fxxax 2 45 coscos0 33 xax在,上恒成

28、立 .令 costx，则 2 45 ,1,1 33 h ttatt，只需h t的最小值不小于0 即可 . 因为抛物线开口向 下， 对称轴为 3 8 ta， 当 3 0 8 a时， 最小值为 1 10 3 ha， 解得 1 0 3 a； 同理可得 1 0 3 a. x 11 综上，a的取值范围是 1 1 , 3 3 . 解法 2：同解法1，因为抛物线yh t开口向下，所以 10 10 h h ，解得 11 33 a，故选 C. 触发点：为求a的取值范围，需要将条件化归为不等式、转化为不等式恒成立问题；为求函 数的导数，需要将sin2x转化为2sincosxx、运用积的导数法则求导；可将问题转化为

29、求函数的 最小值；为求函数yh t的最小值，运用两种手段：分类讨论、各个击破；“同时限制”、转化 为解不等式组.先有化归方向，再有化归方法. （3）基本类型与学生问题 为了将生疏问题化归为熟悉问题，常用转化方法有数形转化法，数列中有并项公式法求和、裂项 相消法求和、错位相减法求和，恒成立、能成立有更替主元法、分离参变法，转化为求函数的最值等 等. 学生的主要问题是：一是缺少积累， 以致常规的转化方法能够达到什么目标不够清晰；二是审题意 识不强，不能预测到目标、找不到方向，转化方法失灵. （4）方法分析 转化与化归也是高中数学的核心思想方法之一. 归根结底，数学解题就是转化与化归，由题目的 初始

30、状态向目标状态转化. 转化与化归的思想方法是解答“小题”的利器，特别是一些较难的“小 题”，常常转化为利用图形直观去考察，即转化与化归思想方法常与其他数学思想方法结合运用. 建议 高三复习时，加强预测、估算方面的训练. （5）模拟训练 已知函数 1 2,1 ( ) tan(),1 3 x x f x x x ，则 1 () (2) f f A .3 B. 3 3 C. 3 3 D. 3 已知各项均为正数的等比数列 na中，465aa，则数列 2 log n a的前10项和为 (A)5 (B)6 (C)10 (D)12 若向量ba,的夹角为 3 ，且1, 1 ba，则向量a与向量ba的夹角为（）

31、 A. 6 B. 3 C. 3 2 D. 6 5 12 由不等式组 10 0 1 x ye yx x 确定的平面区域为 M ， 由不等式组 ey x 0 10 确定的平面区域为 N， 在N内随机的取一点P，则点P落在区域M内的概率为（） A. e2 3 1 B. 2 3 1 e C. e 1 1 D. e 2 1 3.函数与方程的思想方法： （1）具体特征 函数思想集中体现在变量思想、对应与依存关系、运动与变化观点、数形结合观点，函数是特 殊的方程；方程不一定是函数，但是大多数方程问题可以转化为函数问题、利用其图象直观求解. （2）考题解析 例 5 （2019 理科 21 题）已知函数 2 (

32、 )21 x f xxea x有两个零点 . （I ）求a的取值 范围；（ II ）设 12 ,x x是fx的两个零点，证明： 12 2xx. 解析： （）当 1x 时，10fe，所以 1x 不是函数零点 . 当1x时，由( )0f x得 2 2 1 x x e a x . 设 2 2 1 x x e g x x ， 则 2 3 45 1 x exx gx x . 当 1x 时，0gx；当 1x 时，0gx. 故函数g x在,1上单调递增、 在1, 上单调递减 . 在同一坐标系中画出函数yg x、ya的图象可知， 当0a时两函数图象必有两个 交点，故所求a的取值范围为0,. （）设( )11F

33、 xfxfx，则 11 11 xx F xxxexe，且 11xx Fxx ee. 当0x时， 11 0 xx ee，0Fx.故函数F x在0,上单调递增 . 又00F，所以当 0x 时，00F xF，即当 0x 时，11fxfx. 设 12 xx， 由 （I ） 知函数fx的极值点为1， 则有 12 1,1xx. 又20fa， 所以 2 12x. 因为 1222 112fxfxfxfx. 又 12 1,21xx，由（ I）知函数fx的单调 递减区间为,1，所以 12 2xx，即 12 2xx. 触发点：第（ I ）中，在函数与方程思想的导引下，“一分为二”、将一个函数分解为两个函数， 13

34、在同一坐标系中画出函数 yg x 、y a的图象，通过函数图象直观助思，将图形关系转化为数量 关系，得到a的取值范围为0,. 第（ II ）中，由112xx、与所要证明结果结构相似， 构造函数( )11F xfxfx， 按照函数单调性的定义，沟通函数值大小与自变量大小的关系， 实现“方程（不等式）函数图象方程（不等式）”的相互转化. （3）基本类型与学生问题 学生在学习指、对、幂函数的图象和性质的过程中，利用函数的单调性比较相关函数值的大小， 使学生第一次接触到构造函数；在学习“函数与方程”时，为了解决函数零点的相关问题，常需要将 一个复杂函数的零点问题，通过方程转化为两个较简单函数图象交点的

35、问题，或将两个函数交点的问 题，通过方程转化为一个函数的零点问题；在解答恒成立、能成立、最值等问题时，常需要将问题转 化为求函数的最值，函数思想、 运用构造函数的方法将问题转化为考查函数的最值就成为常态的方法. 学生的主要问题：一是缺少函数思想、看不到问题的本质；二是不能把“方程函数不等式” 联系起来，缺少解决相关问题的经验积累；三是转化的方向感不强，有时甚至将问题复杂化. （4）方法分析 函数与方程的思想方法也是高中数学的核心思想方法之一. 既常态又习以为常， 建议高三复习时， 结合具体问题，从易到难，开展小专题研究，对学生进行函数与方程的思想立意，并且与数形结合、 化归与转化等数学思想融会

36、，提高学生运用函数与方程思想的水平. 至于其他的思想方法，教师可以根 据学生的需求、进行合理提升. （5）模拟训练 若函数)()(Rb x b xxf的导函数在区间（1，2）上有零点，则)(xf在下列区间上单调 递增的是 A.1, B. 0 , 1 C. 1 ,0 D. ,2 定义一种新运算：a?b=，已知函数f （x）=（1+ ）?x 2 log，若函数g（x） =f （x） k 恰有两个零点，则k 的取值范围为（） A（ 1，2 B（ 1，2） C（ 0，2） D（ 0，1） 已知函数=,ln24 xaax fxxeg xxe，其中e为自然对数的底数，若存在实数 0 x，使 00 -3fx

37、g x 成立，则实数 a的值为（ ） A. -ln 2 1 B. -1+ln2 C. -ln 2 D. ln 2 已知函数 xeexf x2 )(，方程01)()( 2 axafxf有四个不同的实数根，则a的取 14 值范围为（） A. ) 1 ,( 2 e e B. )1 ,1( 2 e C. ),( 2 e D. )1 ,2( 22 ee （三）应用意识与应用能力 1. 考查情况 2019 年高考数学全国一卷很明显带有注重实际运用的特征. 文理的第16 题线性规划，以生产利 润为模型， 考查线性规划； 文理的第19 题，以成本控制为模型，考查概率统计 （分布列） 和决策问题； 理科的第4

38、题，以乘车上班为模型，考查几何概型. 从 2019 年的全国新课标一卷来看，在数学的应用 问题上，试题体现的应用意识大幅增强，除概率统计问题这个常见的实际问题外，在若干个小题中， 也都能见到它实际应用的这种意识，在很多的问题中多有体现，考查考生的应用意识，这一点也充分 地体现了新课程的理念.另外，对于概率统计的 应用问题，全国新课标一卷着重考核统计方面的 知识，有注重考查学生“用数据说话”的倾向， 这与我们已经进入大数据时代有关. 2. 考题解析 例 6 （2019 高考全国卷1 理科第 19 题）某 公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即 被淘汰 . 机器有一易损零件，在购进机器时，可

39、 以额外购买这种零件作为备件，每个200 元.在 机器使用期间， 如果备件不足再购买， 则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件， 为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得柱状图（如图）. 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表 示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X的分布列； （II ）若要求()0.5P Xn，确定n的最小值； （III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n与20n之中选其一， 应选用 哪个？ 解

40、析：（I ） 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11，记事件 i A为第一台机器3 年内换掉7i 个 零 件1, 2, 3, 4i， 记 事 件 i B为 第 二 台 机 器3 年 内 换 掉7i个 零 件1, 2 , 3, 4i， 由 题 知 15 1341340.2P AP AP AP BP BP B，220.4P AP B. 设 2 台机器共需更换的易损零件数为X，则X的可能的取值为16，17，18， 19，20，21， 22， 且 11 160.20.20.04P XP AP B， 1221 170.20.40.40.20.16P XP A P BP AP B， 132231 1

41、80.20.20.20.20.40.40.24P XP AP BP AP BP AP B， 14233241190.20.20.20.2P XP A P BP AP BP AP BP AP B 0.4 0.20.2 0.40.24， 243342 200.40.20.20.40.20.20.2P XP AP BP AP BP AP B， 3443 210.20.20.20.20.08P XP AP BP AP B， 44220.20.20.04P XP AP B. 所以X的分布列为 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 0.00.10.20.20.00.0 （II ）因为0.

42、040.160.240.5，0.040.160.240.240.5，由()0.5P Xn知n的最 小值为 19. （III）购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不 足时额外购买的费用. 当19n时，费用的期望为192005000.2 1000 0.081500 0.044040； 当20n时，费用的期望为20200500 0.081000 0.044080. 综上所述，应选用19n比较恰当 . 本试题为“概率统计”类型，属于中档试题，考查频率、概率、分布列、数学期望等基础知识， 以及统计思想的应用和数据处理、分析等方面的能力. 本试题背景公平，叙述简明易懂

43、； 情境新颖， 不 落俗套， 由文字语言和 “柱状图” 共同提供数据和信息，考查应用意识和解决实际问题的能力. 本试题 分小题设问， 前问的数据既是解答本问的依据，又是解答后问的依据；密切结合教材， 既在情理之中， 又有意料之外， 考查数学的重点内容，以及基本的数学思想方法.本试题问题所涉及的数学知识和方法 有一定的深度和广度. 对于随机变量X的每个取值，事件可以分解为独立事件的“积事件”，以及互 斥事件的“和事件”，考生的错误在于缺少“基本事件”意识，概率计算公式列错，考查考生提取有 价值数据的意识，以及化繁为简的解题策略；对于费用的期望，考生的错误在于按照思维惯性、列出 费用的分布列后按照

44、通常求期望的方法求解，考查考生挖掘数据价值、按照数学期望的本质含义求解 的创新意识和能力. 本试题立意深刻， 突出数学在解决实际问题时的价值取向和应用价值. 试题中以“现 16 需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更 换的易损零件数，得下面柱状图”诱导考生的数据思维，向他们传递面对实际问题时的基本做法、基 本态度和基本观点，进行“数学育人”；试题中“以频率代替概率”、“以购买易损零件所需费用的 期望值为决策依据”导引考生的价值取向，引导他们按照数据处理的结果展开分析，用 “数学的方式” ， 用数据说话、作出统计推断、进行科学决策. 3. 考

45、纲解读 应用意识体现在：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、 生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类， 将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地 表达和说明 . 象前面的题目一样，核心在“建模”、“说明”上. 应用能力不但强调“建模”、“说明”，而且强调“解模”：如湖南2019 年理科第20 题“L 路径”问题，建立的函数模型含有多个绝对值，对考生分类整合、解模能力要求相当高，令绝大多数 考生望而止步 . 4. 备考建议： （1）顺应心理诉求，建构数据相关知识. 近年

46、来，随着互联网、云计算、手持及移动技术等现 代信息技术的飞速发展及应用，人类进入大数据时代. 数学高考按照“数学考试的内容和形式都应当 有利于中学数学课程改革”的命题思路，2019 年高考数学全国新课标试卷加大了“数据分析”的考查 力度 . 上述试题， 300 多个字符，另加“柱状图”，要求考生能够从给定的大量信息材料中提取有用、 有价值的数据， 运算求解， 分类整合， 分析概括一些结论，并能将其应用于解决问题或做出新的判断. “数据分析”是我国高中数学课程标准在修订中提出的六大核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建 模、数学运算、直观想象、数据分析）之一，它包括“数据获取、数据分析、知识建构”

47、三个维度. “数据”不仅指数字，而且指事实或观察的结果，是信息的表现形式和载体，可以是符号、文字、数 字、语音、图像、视频等；数据和信息是不可分离的，数据是信息的表达，信息是数据的内涵.“大数 据”是从信息量考虑的，具有规模大 ( 大量： Volume) 、类型多 ( 多样： Variety)、速度快 ( 高速： Velocity)、价值密度低 ( 价值： Value) 的“ 4V”特征 . 尽管新授课关注不够，但在高考复习中，教师 还是应该顺应大数据时代学生的心理诉求，关注象上述试题那样“背景新颖、信息量大”的试题或模 考题，让学生有机会经历“从大量数据中抽取对研究问题有用的信息”的全过程，

48、建构数据的相关知 识. （2）搭建互动平台，培养数据分析能力. 数据分析能力集中体现在会收集、整理、分析数据， 能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并做出判断等方面. 其中收集、存储数据是基础，抽取、 17 整理数据是保障，分析、运用数据是目标. 解答上述试题，考生需要从“柱状图”中提取数据，得到各 “更换易损零件数”的频数和频率；需要进一步从文字语言表述中提取数据，运用“数学的方式”， 计算、整理，挖掘数据在回答各个小问题中的价值；需要分析频率与概率、分布列与期望、样本与总 体、变量X与n等内在联系，结合当前数据处理的结果，做出选择、判断. 理解、抽取数据、计算方 法、分析方式不同， 都

49、直接影响选择和判断，体现出不同层次的数据分析能力和应用水平. 针对当前学 生“数据分析”方面的差异，在高三复习备考中，教师应当选择适量的、象上述试题那样的、“依据 统计或统计案例中的方法对数据进行整理和分析”的实际问题，先让学生独立思考、建构基本的活动 经验，再让更多学生展示陈述、搭建互动平台，以在交互、对话中释放数据能量，构创更多学生的数 据分析见识和能力，提高整体水平和“满分”比例. （3）开展变式探究，提高数据创新能力. 大数据的意义是由人类日益普及的网络行为所伴生的， 蕴涵着数据生产者的真实意图、个人喜好、价值取向等方面的信息，方便相关部门、企业个人等按需 获取、存储、分析、运用. 高考试题是众多课程、命题专家集体智慧的结晶，凝聚着他们的价值取向、 真实意图 . 解答好上述试题，考生需要“去情境”、透过众多数据、进入命题者的角色，理解好题意； 需要“建模型”、组织数据、按照命题者的