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1、沪科版八年级数学下册知识总结 一元二次方程知识点： 1. 一元二次方程的一般形式: a0 时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一 元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c ； 其中 a 、 b, 、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法 : 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法 虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错 误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当 ax 2+b
2、x+c=0 (a0)时，=b2-4ac 叫一元二次方程根的 判别式 . 请注意以下等价命题： 0 有两个不等的实根；=0 有两个相等的实根； 0 无实根；0 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系：当 ax 2+bx+c=0 (a 0) 时，如 0，有下列公式： . a c xx a b xx)2( a2 ac4bb x)1( 2121 2 2, 1 ，； 5. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法（也可以使用因式分解法） 2 (0)xa a解为：xa 2 ()(0)xab b解为：xab 2 ()(0)axbc c解为：axbc 22 ()() ()axbcxdac解为：(
3、)axbcxd （2）因式分解法 ：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 如： 2 0( ,0)()0axbxa bx axb此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为 0 2 90(3)(3)0xxx 2 30(3)0xxx x 3 (21)5(21)0(35)(21)0xxxxx 22 694(3)4xxx 22 41290(23)0xxx 2 4120(6)(2)0xxxx 2 25120(23)(4)0xxxx （3）配方法 二次项的系数为“ 1”的时候：直接将一次项的系数除于2 进行配方，如下 所示： 222 0()()0 22 PP xPxqxq 示例： 222 33 310()
4、( )10 22 xxx 二次项的系数不为“ 1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上： 2222 0 (0)()0 ()()0 22 bbb axbxcaa xxca xac aaa 22 22 2 4 ()() 2424 bbbbac a xcx aaaa 示例： 2222 1111 210(4 )10(2)210 2222 xxxxx （4）公式法： 一元二次方程 2 0 (0)axbxca，用配方法将其变形为： 2 2 2 4 () 24 bbac x aa 当 2 40bac时 ， 右端 是 正 数 因 此 ，方 程 有 两 个不 相 等 的实 根 ： 2 1,2 4 2 bb
5、ac x a 当 2 40bac时，右端是零因此，方程有两个相等的实根： 1,2 2 b x a 当 2 40bac时，右端是负数因此，方程没有实根。 备注：公式法解方程的步骤： 把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式： 2 0 (0)axbxca，并确定出a、b、 c 求出 2 4bac，并判断方程解的情况。 代公式： 2 1,2 4 2 bbac x a （要注意符号） 5 当 ax 2+bx+c=0 (a 0) 时，有以下等价命题： ( 以下等价关系要求会用公式 a c xx a b xx 2121 ，；=b 2 -4ac 分析，不要求背记 ) （1）两根互为相反数 a b = 0 且
6、0 b = 0且0； （2）两根互为倒数 a c =1且0 a = c且0； （3）只有一个零根 a c = 0 且 a b 0 c = 0且 b0； （4）有两个零根 a c = 0 且 a b = 0 c = 0且 b=0； （5）至少有一个零根 a c =0 c=0 ； （6）两根异号 a c 0 a 、c 异号； （7）两根异号， 正根绝对值大于负根绝对值 a c 0 且 a b 0a、c 异号且 a、b 异号； （8）两根异号， 负根绝对值大于正根绝对值 a c 0 且 a b 0a、c 异号且 a、b 同号； （9）有两个正根 a c 0， a b 0 且0 a 、c 同号， a
7、、b 异号且0； （10）有两个负根 a c 0， a b 0 且0 a 、c 同号， a 、b 同号且 0. 6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0 时，二次三项式在实数范围内不能 分解. ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c= a2 ac4bb x a2 ac4bb xa 22 . 7求一元二次方程的公式： x 2 -（x1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8平均增长率问题 -应用题的类型题之一（设增长率为 x） ： (1) 第一年为 a , 第二年为 a(1+x) , 第三年为 a(1+x) 2. （2）常利
8、用以下相等关系列方程：第三年 =第三年或第一年 +第二年 +第三年 =总和. 9分式方程的解法： .0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母 公分母 两边同乘最简 去分母法 .0 . 2分母，值验增根代入原方程每个 换元 凑元，设元， 换元法）（ 10. 二元二次方程组的解法： . 0)3( 0)2( 0)4( 0)1( 0)4( 0)2( 0)3( 0)1( 0)4)(3( 0)2)(1( )3( ;02 ;1 分组为应注意： 的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（ 程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（ 11几个常见转化： ；或 ； )xx(xx4)xx()xx
9、( )xx(xx4)xx()xx( xx2) x 1 x( x 1 x 2) x 1 x( x 1 xxx4)xx()xx(xx2)xx(xx)1 ( 2121 2 21 2 21 2121 2 21 2 21 21 2 2 2 2 2 2 21 2 21 2 2121 2 21 2 2 2 1 222 121212 ()2xxxxx x， 12 1212 11xx xxx x ， 22 121212 ()()4xxxxx x， 2 121212 |()4xxxxx x， 22 12121212 ()x xx xx xxx， 2 21112 121212 22 212 ()4xxxxxxx x
10、 xxx xx x 等 4xx.2 2xx2xx.1 2xx)2( 2 21 2121 21 ）两边平方为（ 和分类为 ； .,)2( 3 4 x x 3 4 x x ) 1( ) 9 16 x x ( 3 4 x x )3( 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 因为增加次数两边平方一般不用 和分类为 或； .0x,0x:.1xx BsinAcos,1AcosAsin,90BABsinx,Asinx)4( 21 2 2 2 1 22 21 注意隐含条件可推出 由公式时且如 .0x,0x:.x,x), ,(,x,x)5( 2121 21 注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式 面积例如几何定
11、理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长 .k ,)6( ”辅助未知元“引入些线段的比，并且 可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直 ., ;,)7( 知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值 少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个 二次根式知识点： 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但 必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如， 等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值
12、范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0 时，有意义，是 二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0 时，没有意 义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示 a 的算术平方根， 也就是说，（）是一个非负数， 即0 （） 。 注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的 算术平方根是 0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（） ，这个性 质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时 应用较多，如若， 则 a=0,b=
13、0； 若， 则 a=0,b=0； 若， 则 a=0,b=0。 知识点四：二次根式（） 的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式 也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数， 若是正数或 0，则等于 a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数 -a, 即； 2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它
14、化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方， 而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数， 0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有 差别的，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而 . 知识点七：二次根式的性质和最简二次根式 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、 3、 a（a0）、 x+y 等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、 9、 a2、（ x+y）2、 x2+2xy+y2 等 （3）最终结果分母不含根号。 知识
15、点八：二次根式的乘法和除法 1. 积的算数平方根的性质 ab=a b（a0，b0） 2. 乘法法则 ab=ab（a0，b0） 二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于 这两个因式积的算术平方根。 3. 除法法则 ab=ab（a0，b0） 二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这 两个数商的算数平方根。 4. 有理化根式。 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化 根式 , 也称有理化因式。 知识点九：二次根式的加法和减法 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就 把
16、这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的 进行合并。 知识点十：二次根式的混合运算 1 确定运算顺序 2 灵活运用运算定律 3 正确使用乘法公式 4 大多数分母有理化要及时 5 在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 知识点十一：分母有理化 分母有理化有两种方法 I. 分母是单项式 如: a/ b=a b/ b b=ab/b II.分母是多项式 要利用平方差公式 如 1/ a b=a b/( a b)( a b)=a b/a b 如图 注意
17、： 1. 根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。 勾股定理知识总结： 一基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方。 （即： a 2+b2c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主 要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，90C，则 22 cab， 22 bca， 22 acb） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长： a、b、c，则有关系 a 2+b2c2，那么这个三角
18、形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数 转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证 c 2 与 a 2+b2 是否具有相等关系，若c 2a2+b2，则 ABC是以C 为直角的直 角三角形 （若 c 2a2+b2，则ABC是以 C为钝角的钝角三角形；若 c 2a2+b2，则ABC为锐角三 角形） 。 （定理中a，b，c及 222 abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边 长a，b，c满足 222 acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三
19、角形，但是b为斜边） 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做 互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一： 4
20、EFGH SSS 正方形正方形 ABCD， 221 4() 2 abbac，化简可证 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 221 42 2 Sabcabc 大正方形面积为 222 ()2Sabaabb所以 222 abc 方法三： 1 () () 2 Sabab 梯形 ， 211 2S2 22 ADEABE SSabc 梯形 ，化简得证 6：勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 222 abc中，a，b，c为 a b c c b a E D C B A 正整数时，称a，b，c为一组勾股数 记住常见
21、的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 用含字母的代数式表示n组勾股数： 22 1,2 ,1nn n（2,nn为正整数）； 22 21,22 ,221nnnnn（n为正整数） 2222 ,2,mnmn mn（,mnm，n为正整数） 二、规律方法指导 1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边 关系的题目。 3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易 犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边
22、长a，b，c 有下列关系： a 2+b2c2，?那么这 个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形 的判定方法 5.? 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主 要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个 叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b 四边形知识点： 一、 关系结构图： 二、知识点讲解： 1平行四边形的性质（重点） ： ABCD 是平行四边形 .5 4
23、 3 2 1 ）邻角互补（ ）对角线互相平分；（ ）两组对角分别相等；（ ）两组对边分别相等；（ ）两组对边分别平行；（ 2. 平行四边形的判定（难点） ： . 3. 矩形的性质： 因为 ABCD 是矩形 .3 ;2 ;1 ）对角线相等（ ）四个角都是直角（ 有通性）具有平行四边形的所（ (4)是轴对称图形，它有两条对称轴 4 矩形的判定： 矩形的判定方法： (1) 有一个角是直角的平行四边形； (2) 有三个角是直角的四边形； (3) 对角线相等的平行四边形； (4) 对角线相等且互相平分的四边形四边形 ABCD 是矩形. 5. 菱形的性质： 因为 ABCD 是菱形 .3 2 1 角）对角线
24、垂直且平分对（ ）四个边都相等；（ 有通性；）具有平行四边形的所（ 6. 菱形的判定： A B D O C AB D O C A D B C A D B C O C D B A O C D A O CD A BAB CD O 边形）对角线垂直的平行四（ ）四个边都相等（ 一组邻边等）平行四边形（ 3 2 1 四边形四边形 ABCD 是菱形 . 7. 正方形的性质： ABCD 是正方形 .3 2 1 分对角）对角线相等垂直且平（ 角都是直角；）四个边都相等，四个（ 有通性；）具有平行四边形的所（ 8. 正方形的判定： 一组邻边等矩形）（ 一个直角）菱形（ 一个直角一组邻边等）平行四边形（ 3 2
25、 1 四边形 ABCD 是正方形 . 名 称 定义性质判定面积 平 行 两组对 边分别 平行的 四边形 对边平行； 对边相等； 对角相等； 邻角互补； 定义； 两组对边分别相等的 四边形； 一组对边平行且相等 S=ah(a 为一 边长， h 为这 条边上的高 ) 四 边 形 叫做平 行四边 形。 对角线互相平分； 是中心对称图形 的四边形； 两组对角分别相等的 四边形； 对角线互相平分的四 边形。 矩 形 有一个 角是直 角的平 行四边 形叫做 矩形 除具有平行四边形的性质 外，还有：四个角都是直 角； 对角线相等； 既是中心对称图形又是 轴对称图形。 有三个角是直角的四 边形是矩形； 对角线
26、相等的平行四 边形是矩形； 定义。 S=ab(a 为一 边长， b 为另 一边长 ) 菱 形 有一组 邻边相 等的平 行四边 形叫做 菱形。 除具有平行四边形的性质 外，还有 四边形相等； 对角线互相垂直，且每一 条对角线平分一组对角； 既是中心对称图形又是 轴对称图形。 四条边相等的四边形 是菱形； 对角线垂直的平行四 边形是菱形； 定义。 S=ah(a 为 一边长， h 为 这条边上的 高)； (b、c 为两 条对角线的 长) 正 方 有一组 邻边相 具有平行四边形、矩形、菱 形的性质：四个角是直 角，四条边相等； 有一组邻边相等的矩 形是正方形； 有一个角是直角的菱 (a 为 形 等且有
27、 一个角 是直角 的平行 四边形 叫做正 方形 对角线相等，互相垂直平 分，每一条对角线平分一组 对角； 既是中心对称图形又是 轴对称图形。 形是正方形； 定义。 边长)； (b 为对角 线长) 数据的集中趋势和离散程度知识点： 知识点 1：表示数据集中趋势的代表 平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同， 其中平均数的应用最为广泛。 知识点 2：表示数据离散程度的代表 极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就 把这样的差叫做极差。 极差=最大值最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。 知识点3：生活中与极差有关的例子
28、 在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高 身高与最矮身高的差。一家公司成员中最高收入与最低收入的差。 知识点4：平均差的定义 在一组数据x1，x2， xn中各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数即 T=叫做这组数据的“平均差” 。 “平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。 知识点5：方差的定义 在一组数据x1，x2， xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即 S 2= 来描述这组数据的离散程度， 并把 S 2叫做这组数据的方 差。 知识点6：标准差 方差的算术平方根， 即用 S=来描述这一组数据的离散 程度，并把它叫做这组数据的标准差。 知识点7：方差与平均数的性质 若 x1，x2，xn的方差是 S 2，平均数是 ，则有 x1+b， x2+bxn+b 的方差为 S 2，平均数是 +b ax1， ax2，axn的方差为 a 2s2，平均数是 a ax1+b， ax2+b，axn+b的方差为 a 2s2，平均数是 a +b