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1、1 考点 17 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1. （ 2013北京高考文科5）在 ABC中， a=3,b=5,sinA= 1 3 , 则 sinB=( ) A. 1 5 B. 5 9 C. 5 3 D.1 【解题指南】 已知两边及一边的对角利用正弦定理求解。 【解析】 选 B。由正弦定理得 355 ,sin 1 sinsinsin9 3 所以所以 ab B ABB 。 2. （ 2013新课标全国高考文科4）ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c，已 知2b， 6 B， 4 C，则ABC的面积为（） A.2 32 B.31 C.2 32 D.31 【解题指南】 利用正弦定理和
2、三角形的面积公式可得 【解析】 选 B.因为, 64 BC, 所以 7 12 A. 由正弦定理得 sinsin 64 bc ，解得 2 2c。所以三角形的面积为 117 sin2 2 2sin 2212 bcA. 因为 73221231 sinsin()() 12342222222 ， 所以 1231 sin2 2()31 2222 bcA，选 B. 3.（ 2013新课标高考文科10）已知锐角 ABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b， c，02coscos23 2 AA，7a，c=6，则b（） A.10 B.9 C.8 D.5 【解题指南】 由02coscos23 2 AA，利用倍角公式
3、求出Acos的值，然后利用正弦定 理或余弦定理求得 b的值 . 【解析】 选 D.因为02coscos23 2 AA，所以01cos2cos23 22 AA，解得 25 1 cos 2 A， 2 方法一 : 因为 ABC为锐角三角形，所以 5 1 cosA, 5 62 sin A. 由正弦定理 C c A a sinsin 得， Csin 6 5 62 7 . 35 612 sinC， 35 19 cosC. 又)(CAB， 所以CACACABsincoscossin)sin(sin， 175 650 35 612 5 1 35 19 5 62 sin B. 由正弦定理 B b A a sin
4、sin 得, 175 650 5 62 7b ， 解得5b. 方法二 : 由余弦定理Abccbacos2 222 ， 5 1 cosA，则49 5 1 1236 2 bb，解 得5b 4. （ 2013陕西高考文科9） 【备注：（2013陕西高考理科7）与之题干相同】 设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若coscossinbCcBaA, 则ABC的 形状为 ( ) A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定 【解题指南】 在含有边角关系式的三角函数恒等变形中, 利用正弦定理将边的关系式化为角 的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式, 这是判断三
5、角形形状的两个转化方向. 【解析】 选 A.因为bcosC+ccosB=asinA, 所以由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin 2A,所以 sin(B+C)=sin2A, sinA=sin 2A, sinA=1, 所以三角形ABC是直角三角形 . 5. （ 2013安徽高考文科9） 【备注：（2013安徽高考理科12）与之题干相同】 设 ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若 b+c=2a, 则 3sinA=5sinB, 则角 C= ( ) A. 3 B. 2 3 C. 3 4 D. 5 6 【解题指南】根据正弦定理、余弦定理进行解三角形计算。 3 【解
6、析】 选 B.由题设条件可得 5 2 3 357 3 ab bca ab cb ，由余弦定理得 222 222 2 57 ()() 1 33 cos 5 22 2 3 bbb abc C ab b ，所以 2 C = 3 。 6.（2013山东高考文科7）ABC的内角ABC、 、的对边分别是abc、 、，若 2BA，1a，3b，则c（） A. 2 3 B. 2 C.2 D.1 【解析】 选 B.由AB2,则AB2sinsin，由正弦定理知 B b A a sinsin ,即 AAABAcossin2 3 2sin 3 sin 3 sin 1 ,所以 cosA= 2 3 ，所以 A= 6 ， 3
7、 2AB，所 以 2 ABC，所以431 222 bac， c=2. 7. （ 2013湖南高考理科3）在锐角ABC中，角,A B所对的边长分别为,a b. 若 2 sin3 ,aBbA则角等于 （） A 12 B 6 C 4 D 3 【解题指南】 本题先利用正弦定理 B b A a sinsin 化简条件等式， 注意条件 “锐角三角形” . 【解析】 选 D.由 2asinB=3b 得 2sinAsinB=3sinB, 得 sinA= 2 3 , 所以锐角A= 3 . 8.（2013天津高考理科6） 在ABC中, ,2,3, 4 ABBCABC则 sinBAC = ( ) A. 10 10
8、B. 10 5 C. 3 10 10 D. 5 5 【解题指南】 先由余弦定理求AC边长，然后根据正弦定理求值. 【解析】 选 C. 在ABC中，由余弦定理得， 2222 2cos29223 42 ABBACCAB BC 4 5,所以 5,AC由正弦定理得 , ssinin BCA BA C 即 5 sin 4 3 , sin A 所以 3 10 sin 10 BAC. 9.（2013湖南高考文科5） 在锐角ABC中，角 A，B所对的边长分别为a，b. 若 2asinB=3b，则角 A等于（） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【解题指南】 本题先利用正弦定理 B b A a sins
9、in 化简条件等式， 注意条件 “锐角三角形” . 【解析】 选 A.由 2asinB=3b 得 2sinAsinB=3sinB, 得 sinA= 2 3 , 所以锐角A= 3 . 二、填空题 10. (2013 浙江高考理科T16) 在ABC中, C=90,M 是 BC的中点 . 若 1 sin 3 BAM, 则sin BAC= . 【解题指南】 分别在 RtABC和 ABM 中应用勾股定理和正弦定理. 【解析】 设AC=b,AB=c,BC=a,在 ABM 中由正弦定理得 1 2 sinsin a c BAMBMA , 因为sinsin AC BMACMA AM , 又 22 ACbca,
10、222213 44 AMbaca, 所以 22 22 sin 3 4 ca BMA ca . 又由得 22 22 1 2 1 3 3 4 a c ca ca ,两边平方化简得4c 4-12a2c2+9a4=0, 所以 2c2-3a2=0, 所以 6 sin 3 a BAC c . 【答案】 6 3 11. （ 2013上海高考理科T4） 已知 ABC 的内角A,B,C所对应边分别为a,b,c,若 5 3a 2 +2ab+3b 2-3c2=0, 则角 C的大小是 ( 结果用反三角函数值表示). 【解析】3a 2+2ab+3b2-3c2=0? c2=a2+b2+ ab, 故11 cos,arcco
11、s 33 CC 【答案】 1 arccos3 12. （2013上海高考文科T5）已知ABC的内角 A、B、C所对的边分别是a、 b、c. 若 a 2+ab+b2-c2=0，则角 C的大小是 . 【解析】 3 2 2 1 2 - cos0- 222 222 C ab cba Ccbaba 【答案】 3 2 三、解答题 13.（2013大纲版全国卷高考文科18）与（ 2013大纲版全国卷高考理科18） 相同 设ABC的内角A，B，C的对边分别为cba,，accbacba)( （I ）求B; （II ）若 4 13 sinsinCA, 求C. 【解题指南】 （I ）由条件accbacba)(确定求B应采用余弦定理. （II ）应用三角恒等变换求出 CA 及 CA 的值，列出方程组确定 C的值 . 【解析】（I ）因为accbacba)(.所以acbca 222 . 由余弦定理得 2 1 2 cos 222 ac bca B，因此120B. （II ）由（ I ）知 60CA，所以CACACAsinsincoscos)cos( CACAsinsincoscos2sinsin+AC CACAsinsin2)cos( 4 13 2 2 1 2 3 . 故 30CA或30CA，因此15C或45C