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1、精品文档 . 分式方程的解法及应用（基础） 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程 2. 会列出分式方程解简单的应用问题 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未 知数 . （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字 母系数） . 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数 的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分
2、式方程转化为整式方程. 转化方法是方程两边都乘以最简 公分母，去掉分母. 在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根 叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式 时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式 方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能
3、产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式 子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义， 所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的. 根据方程的同解原 理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0 的数，所得方程是原方 程的同解方程 . 如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方 程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方 程过程中是否有错误，而是检验是
4、否出现增根，它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案 . 精品文档 . 【典型例题】 类型一、判别分式方程 1、下列方程中，是分式方程的是（） A 321 4312 xx B 124 111 xx xxx C 2 1 30 5 xx D xa x ab ， （a，b为非零常数）
5、 【答案】 B； 【解析】 A、C两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D项中的方程尽管含有分母，但 分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有 B项中的方程符合 分式方程的定义 【总结升华】 要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知 数 类型二、解分式方程 2、 解分式方程（1） 105 2 2112xx ； 精品文档 . （2） 22 51 0 3xxxx 【答案与解析】 解： （1） 105 2 2112xx ， 将方程两边同乘(21)x，得 10( 5)2(21)x 解方程，得 7 4 x 检验：将 7 4 x代入21x，得 5 210 2
6、x 7 4 x是原方程的解 （2） 22 51 0 3xxxx ， 方程两边同乘以(3)(1)x xx，得5(1)(3)0xx 解这个方程，得 2x 检验：把2x代入最简公分母，得2 51100 原方程的解是2x 【总结升华】 将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要 漏乘常数项特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根 举一反三： 【变式】解方程： 21 2 33 x xx 【答案】 解： 21 2 33 x xx ， 方程两边都乘3x，得212(3)xx， 解这个方程，得 3x ， 检验：当3x时，30x， 3x是增根， 原方程无解 类型三、分式方程的增根 【高
7、清课堂分式方程的解法及应用例 3（1） 】 精品文档 . 3 、m为 何 值 时 ， 关 于x的 方 程 2 23 242 mx xxx 会产生增根？ 【思路点拨】 若分式方程产生增根，则(2)(2)0xx， 即2x或2x， 然后把2x 代入由分式方程转化得的整式方程求出m的值 【答案与解析】 解：方程两边同乘(2)(2)xx约去分母， 得2(2)3(2)xmxx整理得(1)10mx 原方程有增根，(2)(2)0xx，即2x或2x 把2x代入(1)10mx，解得4m 把 2x 代入(1)10mx，解得 6m 所以当4m或6m时，方程会产生增根 【总结升华】 处理这类问题时，通常先将分式方程转化
8、为整式方程，再将求出的增根代入整 式方程，即可求解 举一反三： 【变式】如果方程 11 3 22 x xx 有增根，那么增根是_ 【答案】 2x ； 提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母20x或20x可得 2x所以增根是2x 类型四、分式方程的应用 精品文档 . 4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已 知乙班每小时比甲班多种2 棵树，甲班种 60 棵树所用的时间与乙班种66 棵树所用 的时间相等求甲、乙两班每小时各种多少棵树? 【思路点拨】 本题的等量关系为：甲班种 60 棵树所用的时间与乙班种66 棵树所用的时间相 等 【答案与解析】 解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种2x棵树
9、 由题意可得 6066 2xx ，解这个方程，得 20x 经检验 20x 是原方程的根且符合题意 所以222x( 棵) 答：甲班每小时种20 棵树，乙班每小时种22 棵树 【总结升华】 解此题的关键是设出未知数后，用含x的分式表示甲、 乙两班种树所用的时间 举一反三： 【变式】 两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工1 个月完成总工程的 1 3 ，这时增 加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成哪个队的施工速度快? 【答案】 解：设乙队单独施工1 个月能完成工程的 1 x ，总工程量为1 根据工程的实际进度，得 111 1 362x 方程两边同时乘以 6x，得236xxx 解这个
10、方程得1x 检验：当 1x 时，6x60， 所以1x是原分式方程的解 由上可知，若乙队单独工作1 个月可以完成全部任务，对比甲队1 个月完成任务的 1 3 ， 可知乙队施工速度快 精品文档 . 答：乙队施工速度快 【巩固练习】 一. 选择题 1下列关于x的方程中，不是分式方程的是（） A1 1 x x B4 1 3 2 x x C 5 2 4 3 3 xx D 6 5 16x x 2解分式方程 1 2 1 1 2 xx ，可得结果 ( ) A.1xB.1xC.3xD.无解 3要使 5 4 x x 的值和 x x 4 24 的值互为倒数，则x的值为 ( ) A.0 B.1 C. 2 1 D.1
11、4已知 4 3 2 1 y y x x ，若用含x的代数式表示y，则以下结果正确的是( ) A. 3 10x yB.2yxC. 3 10x yD.72yx 5若关于x的方程 x k x1 1 1 3 有增根，则k的值为 ( ) A.3 B.1 C.0 D.1 6完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，则两人合作完成这项工作的80， 所需要的时间是( ) A.)( 5 4 ba小时B.) 11 ( 5 4 ba 小时 C. )(5 4 ba ab 小时D. ba ab 小时 二. 填空题 7. 当x_时，分式 3 x 与 2 6x 的值互为相反数 8仓库贮存水果a吨，原计划每天供应市场m吨
12、，若每天多供应2 吨，则要少供应_ 天 9x_时，两分式 4 4 x 与 1 3 x 的值相等 10当a_时，关于x的方程 4 532 xa ax 的根是 1 11若方程1 1 4 1 1 2 xx x 有增根，则增根是_ 12关于x的方程1 1x a 的解是负数，则a的取值范围为_ 三. 解答题 精品文档 . 13. 解下列分式方程： （1） 11 3 22 x xx ； （ 2） 2 5723 3212 x xxxx ； （ 3） 2 21 0 121 x xxx 14. 甲、乙两地相距50km，A骑自行车， B 乘汽车，同时从甲城出发去乙城已知汽车的 速度是自行车速度的2.5 倍，B中途
13、休息了0.5 小时还比A早到 2 小时，求自行车和汽 车的速度 15. 有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余 数是 2，求这个两位数 【答案与解析】 一. 选择题 1. 【答案】 C； 【解析】 C选项中分母不含有未知数，故不是分式方程. 2. 【答案】 D； 【解析】1x是原方程的增根. 3. 【答案】 B； 【解析】由题意 442 1 54 xx xx ，化简得： 24 1 5 x x 解得1x. 4. 【答案】 C； 【解析】由题意1423xyxy，化简得：310yx，所以选 C. 5. 【答案】 A； 【解析】将 1x 代入3 1xk，得3k
14、. 6. 【答案】 C； 【解析】由题意 4114 () 55 ab abab ，所以选C. 二. 填空题 7. 【答案】 18； 【解析】 32 0 6xx ，解得18x. 8. 【答案】 2 2 2 a mm ； 【解析】原计划能供应 a m 天，现在能供应 2 a m 天，则少供应 2 2 2 a mm 天. 9. 【答案】 8； 【解析】 43 41xx ，解得8x. 10. 【答案】 17 3 ； 【解析】将 1x 代入原方程，得 85512aa ，解得 17 3 a. 精品文档 . 11. 【答案】1x； 【解析】原方程化为： 2 2 141xx，解得1x，经检验1x是增根 . 1
15、2. 【答案】1a且 a 0； 【解析】原方程化为 110axxa， ，解得 1a .x -1 ，解得 a0. 三. 解答题 13. 【解析】 解： (1) 方程的两边都乘2x，得113(2)xx 解这个整式方程，得x2 检验：当x2 时，x20，所以 2 是增根，所以原方程无解 (2) 方程两边同乘(2)(1)xx约去分母，得572(2)3(1)xxx 整理，得5757xx这个式子为恒等式. 检验：当 1x ， 2x 时，(2)(1)0xx， 所以1x和2x是增根 因此，原方程的解是1x且2x的任何实数 (3) 方程两边同乘(2)(1)(1)xxx， 得(2)2(1)(1)(2)(1)0x
16、xxxxx 解此方程，得 4 5 x 检验：把 4 5 x代入(2)(1)(1)xxx 得 444 2110 555 ， 所以原方程的解是 4 5 x 14. 【解析】 解：设自行车的速度为 /xkm h，汽车的速度为2.5/xkm h， 由题意， 5050 0.52 2.5xx ， 解方程得：125506.25x 12x 经检验， 12x 是原方程的根， 2.530x. 所以自行车的速度为12/km h，汽车的速度是30/km h. 答：自行车的速度为12 /km h，汽车的速度是 30 /km h. 15. 【解析】 解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为1x， 则： 10(1)2 8 1 xx x 精品文档 . 解方程得：3x 经检验：3x是原方程的根 所以个位上的数字为： 1x 3 14 所以这个两位数是：310434 答：这个两位数是34