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1、河南省实验中学2018-2019学年下期期中试卷 高二数学（文） （时间： 120 分钟，满分： 150 分） 一. 选择题：本大题共12小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1已知复数 z满足，则 |z|（） ABC3D4 2下列导数运算正确的是（） A （x 1） B （2 x） x2x1 C （cos x）sinxD （lnx+x） 1 3用反证法证明“ a，b，c三个实数中最多只有一个是正数” ，下列假设中正确的是（） A有两个数是正数B这三个数都是正数 C至少有两个数是负数D至少有两个数是正数 4下列推理是归纳推理的是（） AA，B 为定点，动
2、点 P 满足|PA|+|PB|2a|AB|，得 P 的轨迹为椭圆 B由 a1a，an3n1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和 Sn的表达式 C由圆 x 2+y2r2 的面积 r 2，猜想出椭圆 的面积 S ab D科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 5下列关于回归分析的说法中错误的有（）个 （1）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 （2）回归直线一定过样本中心（，） （3）两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 （4）甲、乙两个模型的R2分别约为 0.88和 0.80，则模型乙的拟合效果更好 A4 B3 C2D1 6 周髀算经是我国古代的天文学和数
3、学著作其中一个问题的大 意为：一年有二十四个节气（如图） ，每个节气晷长损益相同（即物体 在太阳的照射下影子长度的增加量和减少量相同） 若冬至晷长一丈三 尺五寸，夏至晷长一尺五寸 （注：一丈等于十尺， 一尺等于十寸），则立冬节气的晷长为 （） A九尺五寸B一丈五寸 C一丈一尺五寸D一丈六尺五寸 7利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查 200 名高中生 是否爱好某项运动，利用22 列联表，由计算可得K27.245，参照下表：得到的正确结论 是（） P（K 2k 0）0.010.050.0250.0100.0050.001 k02.7063.8415.0246.63
4、57.87910.828 A有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” B有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” C在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 8在下面的图示中，是结构图的为（） A BCD 9已知函数 f（x）x 25x+2lnx，则函数 f（x）的单调递减区间是（ ） AB（0，1）和（ 2，+） C （，2）D和（2，+） 10已知函数 f（x）sinx+cos x，若 f1（x）f（x） ，fn+1（x）fn（x） （n N +） ，则 f 2019 （
5、）（） ABCD 11在正整数数列中，由1 开始依次按如下规则，将某些整数染成红色先染1；再染 3 个偶 数 2，4，6；再染 6 后面最邻近的 5 个连续奇数 7，9，11，13，15；再染 15 后面最邻近的 7 个连续偶数 16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9 个连续奇数 29，31， 45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16， 则在这个红色子数列中，由1 开始的第 2019个数是（） A3972B3974C3991D3993 12设函数 f（x）是定义在（， 0）上的可导函数，其导函数为f（x） ，且有 2f（x
6、）+xf （x）x 2，则不等式（ x+2019）2f（x+2019）4f（2） 0的解集为（ ） A （2019，2017）B （2019，2018） C （2021，2019）D （2020， 2019） 二. 填空题 : 本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13曲线 1 y x 在点 1 2 （2，）处的切线方程为 14已知三个月球探测器 ， ，共发回三张月球照片A，B，C，每个探测器仅发回一张照片 甲说：照片 A 是 发回的；乙说： 发回的照片不是A 就是 B；丙说：照片 C 不是 发回 的 若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则照片B 是探测器发回的 15在等比数
7、列 an中，若 a91，则有等式 a1a2ana1a2a17n， （n17，n N *）成立类 比上述性质，相应的在等差数列bn中，若 b90，则有等式成立 16.若函数 f(x)3xx 3 在区间 (a212，a)上有最小值，则实数a 的取值范围是 三. 解答题 : 本大题共 6 个小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本题满分 10 分）已知复数 z， （m R，i 是虚数单位） （1）若 z是纯虚数，求 m 的值； （2）设是 z的共轭复数，在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围 18 （本题满分 12 分）已知函数 f（x）x 3+ax2+bx
8、+a2（a、b R） （1）若函数 f（x）在 x1 处有极值 10，求 f（x）的解析式； （2）当 a2 时，若函数 f（x）在2，+）上是单调增函数，求b的取值范围 19 （本题满分 12 分）某幼儿园雏鹰班的生活老师统计2018 年上半年每个月的20 日的昼夜温 差（xC，x3）和患感冒的小朋友人数（y/人）的数据如下： 温差 xCx1x2x3x4x5x6 患感冒人 数 y 81114202326 其中， （）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合y 与 x 的关系； （）建立 y关于 x 的回归方程（精确到0.01） ，预测当昼夜温差升高4C 时患感冒的小朋 友的人数会有什么变
9、化？（人数精确到整数） 参考数据：参考公式：相关系数：，回归直线方 程是， 20 （本题满分 12 分）下面图形都是由小正三角形构成的，设第n个图形中的黑点总数为f（n） （1）求 f（2） ，f（3） ，f（4） ，f（5）出的值； （2）找出 f（n）与 f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式 21 （本题满分 12 分）已知 a R，f（x）2xalnx （）讨论 f（x）的单调性； （）当 x1 时，xf（x）x 2+1 恒成立，求实数 a 的取值范围 选作题：共 12 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. 选修 4-4：坐标系与参
10、数方程（ 12 分） 已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2a（a0） （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）已知点 P（0，4） ，直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，且 |PM|?|PN|14，求 a 的值 23. 选修 4-5：不等式选讲（ 12 分） 已知函数 f（x）|3x2a|+|2x2|（a R） （）当 a时，解不等式 f（x）6； （）若对任意x0 R，不等式 f（x0）+3x04+|2x02|都成立，求 a 的取值范围 河南省实验中学 2018-2019学年下期期中试卷 高二文
11、科数学参考答案 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共计60 分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A D D B C B B B C A D C 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计20 分） 13. x4y4014 15 16 （ 1，2 三、解答题 17解： z （1）若 z 是纯虚数，则，即 m2；-5分 （2）， 由在复平面上对应的点在第四象限，得，即 2m2-10 分 18 （1）因为 f（ x） x 3+ax2+bx+a2，所以 f（x） 3x2+2ax+b， 由已知条件，得即 解得或 -4分 下面分别检验： 当 a4，b 11
12、 时， f（x） x3+4x211x+16，f（ x） 3x 2 +8x11， 令 f（ x） 0，即3x2+8x110，解得 ，x21， 列表： x1（1，+） f（ x）+00+ f（x）增函数极大值减函数极小值 10增函数 由上表可知， f（x）在 x1 处取极小值10，符合题意 当 a 3，b 3 时， f（x） x33x2+3x+9，f（ x） 3x26x+33（x22x+1） 3（x1） 20， f（x）为增函数，不合题意，舍去 所以当 a4， b 11 时， f（ x） x3+4x211x+16 为所求函数的解析式 综上所述，所求函数的解析式为f（x） x3+4x211x+16
13、-6分 （2）当 a 2 时， f（x） x32x2+bx+4，f（x） 3x24x+b， 此导函数是二次函数，二次项系数大于0，且对称轴为，- -8 分 因为函数f（x）在 2，+）上单调递增，所以f （x） 0 在2，+）上恒成立， 也就是 f（2） 0， 即 32242+b0，解得 b 4， 所以， b 的取值范围是 4，+） -12分 19解： （）， （ 1417） 2+（20 17）2+（2317）2+（2617）2252 故 r 可用线性回归模型拟合y 与 x的关系； -6分 （）， ， y 关于 x 的回归方程为-10分 当 x 4 时， y 2.61410 预测当昼夜温差升高
14、4C 时患感冒的小朋友的人数会增加10 人 -12 分 20 【解答】 解： （1）由题意有f（1） 3， f（2） f（1）+3+3 212， f（3） f（2）+3+3 427， f（4） f（3）+3+3 648， f（5） f（4）+3+3 875（ 6 分） （2）由题意及（）知，f（n+1） f（n）+3+32nf（n）+6n+3， 即 f（n+1） f（n） 6n+3，（ 8 分） 故 f（2） f（1） 61+3， f（3） f（2） 62+3，f（4） f（3） 63+3， f（n） f（n1） 6（ n1）+3，n2（ 10 分） 将上面（ n1）个式子相加，得： ， 又
15、f（1） 3，所以 f（n） 3n2， n2， 而当 n1 时， f（1） 3 也满足上式， 故 f（n） 3n2，n N * （ 12 分） 21解： （） f（x）的定义域是（0，+） ， f（ x） 2（x） ， 当 a 0 时， f（ x） 0，f（x）在（ 0，+）递增， 当 a 0 时，在（ 0，）上， f（ x） 0，f（x）递减， 在（，+）上， f（ x） 0，f（x）递增， 综上，当a0 时， f（x）在（ 0，+）递增， a0 时， f（x）在（ 0，）递减，在（， +）递增； -6分 （） xf（x） x2+1 恒成立，即 xf（x）（ x 2+1） 0恒成立， 设 g
16、（ x） xf（x）（ x2+1） ，则 g（x） x2axlnx1， g（ x） 2xa（1+lnx） ，g（ x）的单调性和f（x）相同， 当 a 0 时， g（ x）在 1， +）递增， g（ x） g（ 1） 2a0，-8 分 故 g（ x）在 1，+）递增， g（ x） g（1） 0， 当 a 0 时， g（ x）在（ 0，）递减，在（，+）递增， -9分 当 0 a2 时，1，g（ x）在 1，+）递增， -10分 g（ x） g（ 1） 2 a0， 故 g（ x）是增函数，故g（x） g（1） 0， 当 a 2 时，在区间（ 1，）上， g（ x）递减， 故 g（ x） g（ 1
17、） 2a0， 故 g（ x）递减，故g（x） g（1） 0，不合题意， 综上， a 的范围是（，2-12分 22 解： （1）由 2a 两边平方得 2（a2sin2 +4cos2 ） 4a2， 又 sin y， cos x， a2y2+4x2 4a2（a0） ， 即曲线 C 的直角坐标方程为：4x2+a2y24a2 -6分 （2）消去参数t 得直线 l 的普通方程为：yx+4，易知 P（0， 4）在直线l 上， 所以直线l 的斜率为，倾斜角为60， 所以直线l 的参摄方程可设为：（t 为参数）， 将以上参数方程代入曲线C 的直角坐标方程并整理得：（1+a 2）t2 +4a 2t+12a20 设 M，N 两点对应的参数分别为t1，t2， 则 t1t2，-11分 所以 |PM|PN|t1|t2| |t1t2| 14，解得： a-12 分 23解： （） a时， |3x1|+|2x2|6， 故或或， 解得： x或 x， 故不等式的解集是（，）（，+） ； -6分 （）若对任意x0 R，不等式 f（ x0）+3x04+|2x02|都成立， 则|3x02a|+3x04 恒成立， 故 x0a 时， 6x02a+4 恒成立， 故 6a2a+4，解得： a2， x0 a 时， 2a4，解得： a2， 综上， a （2，+） -12分