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1、1 勾股定理的逆定理 一、选择题 1. 下列各组数中，是勾股数的是（） A. 14,36,39 B. 8,24,25 C. 8,15,17 D. 10,20,26 2. 下列定理中，有逆定理的个数是（） 有两边相等的三角形是等腰三角形; 若三角形的三边长a，b，c 满足 a 2+b2=c2, 则该三角形是 直角三角形 ;全等三角形的对应角相等; 若 a=b, a 2 =b2. A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 3下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( ) A.1 12 B.134 C.925 26 D.25144169 4.( 易错题 ) 在 AB
2、C中， A， B ， C的对边分别是 a ，b，c，那么下面不能判定ABC是直 角三角形的是（） A. B=C- A B.a 2 = (b+c) (b-c) C. A： B： C=5 ：4 ：3 D.a : b : c=5 : 4 : 3 5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成各选项所示的两个直角三角 形，其中正确的是（） 二、填空题 6在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个 命题的题设，那么这两个命题叫做_；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命 题叫做它的 _ 7在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边， 若
3、a 2 b 2 c 2，则 c为_； 2 若a 2 b 2 c 2，则 c为_； 若a 2 b 2 c 2，则 c为_ 8若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数 ) ，则以a2、a、a2 为边的三角 形的面积为 _ 9 ABC的两边a，b分别为 5，12， 另一边c为奇数， 且abc是 3 的倍数，则c应为 _， 此三角形为 _ 10. 如图， D为 ABC的边 BC上一点，已知 AB = 13 ，AD = 12 ， AC =15，BD=5 ，则 BC的长为 . 三、解答题 11. 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1) 如果 a=0, 那么 ab=0; (2)
4、 如果 x=4, 那么 x 2=16; (3) 面积相等的三角形是全等三角形； (4) 如果三角形有一个内角是钝角，那么其余两个角是锐角； (5) 在一个三角形中，等角对等边. 12已知：如图，四边形ABCD中，ABBC，AB1，BC2，CD2，AD3，求四边形ABCD的 面积 13在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8 海里的速度前进，乙船沿 南偏东某个角度以每小时15 海里的速度前进，2 小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗? 14已知a、b、c是ABC的三边，且a 2c2 b 2c2 a 4 b 4，试判断三角形的形状 3
5、15. (教材习题变式）如图所示，在四边形 ABCD 中， B= 90， AB=4 ，BC=3,CD=12 ，AD=13 ， 求四边形ABCD 的面积 . 16. 观察下列各组勾股数的组成特点，你能求出第7 组勾股数a，b，c 各是多少吗？第n 组呢？ 第 1 组:3=2X1+1，4=2X1X(1+1),5=2X1X(1 + 1)+1； 第 2 组:5=2X2+1，12=2X2X(2+1),13=2X2X(2+1) + 1； 第 3 组:7=2X3+1，24=2X3X(3+1),25=2X3X(3+1) + 1； 第 4 组:9=2X4+1，40=2X4X(4+1),41=2X4X(4+1)
6、+ 1； ； 第7 组:a ，b，c. 4 参考答案 1. C 解析14 2+362=1492.392 =15211492， A项不是勾股数； 8 2+242=640，252=625640 ， B项不是勾股数； 8 2+152=289，172=289， C项是勾股数； 10 2+202=500， 262=676500， D项不是勾股数 . 点拨：一组数是勾股数，必须符合两个条件：（1）三个数必须是正整数. （2）两个较小数的平 方和等于最大数的平方. 2. B 解析的逆命题是“等腰三角形有两边相等”，是真命题；的逆命题是“若直角三角 形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则三边长a，b，c
7、 满足 a 2+b2=c2”，是真命题；对应 角相等的两个三角形不一定全等；若a 2=b2，则 a 与 b 不一定相等，所以的逆命题是假命题， 没有逆等理 . 3C 4. C 解析 A 选项， B= C-A， A+B+ C= A+C-A+C=18 0， C=90 ， ABC是直角三角形；B 选项， a 2=（b+c） （b-c ） ，即 a2+c2=b2， ABC为直角三角形； C 选项， A： B： C=5：4： 3，则最大角 A=180 5 12 =75，则 ABC为锐角三角形；D选项， a： b： c=5：4：3，则 a 2=b2+c2，则 ABC为直角三角形，故选 C. 5. C 解析
8、因为 7 2+242 =25 2，152+202=252，所以用长度为 7， 24，25 和 15，20， 25 的小木棒能 分别摆成直角三角形，故选C. 6互逆命题，逆命题 7锐角；直角；钝角 824提示： 7a9，a8 913，直角三角形提示：7c17 10. 14 解析由 AD 2+BD2=AB2 可知 ABC为直角三角形， 则 AD为 ABC 的 BC边上的高，在 RtACD 中， CD 2=AC2-AD2=152-122=81，所以 CD=9 ，BC=BD+CD=5+9=14. 11. 解： （ 1）的逆命题是如果ab=0，那么 a=0. 不成立 . （2）的逆命题是如果x 2=16
9、，那么 x=4. 不成立 .（3）的逆命题是全等三角形的面积相等. 成立 .（ 4）的逆命题是如果三角形有两个内角是锐 角，那么另一个内角是钝角. 不成立 . （5）的逆命题是在一个三角形中，等边对等角. 成立 . 点拨：要确定一个命题的逆命题，只要将原命题的题设与结论互换即可. 5 12.51 13南偏东30 14等腰三角形或直角三角形提示：原式可变形为(a 2b2)( a 2 b 2 c 2) 0 15. 解：如图所示，连接AC. B=90， ABC是直角三角形. 依据勾股定理的AC 2=AB2+BC2=42+32=25=52， AC=5. 在 ACD中， AD 2=132=169，CD2
10、+AC2 =12 2+52=169， AD2=AC2+CD2. ACD是直角三角形， ACD=90 . S四边形 ABCD=SABC+S ACD= 1 2 AB?BC+ 1 2 AC?CD= 1 2 43+ 1 2 512=6+30=36. 四边形ABCD的面积为36. 方法：要求不规则四边形ABCD的面积，可把四边形分割成几个三角形，这是常用的方法. 此题 是先利用勾股定理求出AC 的长，再利用勾股定理的逆定理判断ACD为直角三角形，即原四边形 ABCD 可分割成两个直角三角形. 16. 分析：观察已知勾股数的特点，找出规律. 解：第 7 组：a=27+1=15，b=27（7+1）=112，c=27（ 7+1）+1=113. 第 n 组： a=2n+1，b=2n（n+1） ， c=2n（n+1）+1.