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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 问题导学 一、向量的有关概念 活动与探究1 给出下列结论： (1)若|a| |b| ，则ab或ab； (2)向量的模一定是正数； (3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (4)向量AB uuu r 与CD uuu r 是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上 其中正确结论的序号是_ 迁移与应用 1下列说法中正确的是( ) A所有单位向量相等 B零向量是没有方向的向量 C若a与b是平行向量，则a与b的方向相同或相反 D向量BA uu u r 与向量AB uuu r 的大小相等 2判断下列说法
2、是否正确，并说明理由 (1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； (2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量； (3)数轴是向量； (4)由于零向量0 方向不确定，故0 不能与任一向量平行； (5)若向量a与b同向，且 |a| |b| ，则ab 对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命 题的判断只需举一反例即可 (1)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，它们的方向是任意的因为它们方向 的不确定性，所以在解题过程中要注意 (2)注意 0 与 0 的含义与书写的区别，前一个表示实数，后一个表示向量 (3)平行向量不一定方向相同或相反，因为0 与任一向量
3、平行，0的方向是任意的 二、向量的表示 活动与探究2 对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？ (1)把所有单位向量的起点平移到同一点P； (2)把平行于直线l的所有单位向量的起点平移到直线l上的点P； (3)把平行于直线l的所有向量的起点平移到直线l上的点P 迁移与应用 某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂 回了 100 km 到达B地，然后又改变方向向北偏西40走了 200 km 到达C地，最后又改变 方向，向东突进100 km到达D处，完成了对蓝军的包围 (1)作出向量AB u uu r ，BC uuu r ，CD uuu r ； (2)
4、求|AD uuu r | (1)准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大 小确定向量的终点 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型“数学建模”能力是今后能力 培养的主要方向，需要在日常学习中不断积累经验 三、相等向量与向量共线 活动与探究3 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA uuu r a，OB uuu r b，OC uuu r c (1)与a的模相等的向量有多少个？ (2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a共线的向量有哪些？ (4)请一一列出与a，b，c相等的向量 迁移与应
5、用 给出下列命题： 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等； 若AB uuu r DC uuu r ，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点； 若ab，bc，则ac； 若ab，bc，则ac； 相等向量一定是平行向量 其中不正确命题的个数为( ) A 2 B3 C4 D 5 两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时， 表示向量的有向线段所在的 直线不一定平行，也可能重合若直线m，n，l满足mn，nl，则ml；若向量a，b， c满足ab，bc，而a，c不一定平行 当堂检测 1下列各量中，是向量的是( ) A功B温度 C距离D重力 2如图，在O中，向量OB uuu r ，OC uuu
6、 r ，AO u uu r 是( ) A有相同起点的向量 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 B共线向量 C模相等的向量 D相等的向量 3下列说法中正确的是( ) A若 |a| |b| ，则ab B若 |a| |b| ，则ab C若ab，则ab D若ab，则a与b不是共线向量 4设O是正方形ABCD的中心，则OA u uu r ，BO uuu r ，AC u uu r ，BD uu u r 中，模相等的向量是 _ 5如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形 (1)与向量ED uu u r 相等的向量为_； (2)若|AB uuu r | 3，则向量EC uuu r 的模等于 _
7、提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部 分和基本技能的要领部分写下来并进行识记 答案： 课前预习导学 【预习导引】 1(1)大小方向(2)大小方向 2(1)有向线段起点方向长度(2)有向线段长度|AB uuu r | (3)0 01 个单位 (4)相同或相反ab 预习交流 1(1)提示：不能因为向量既有大小，又有方向 (2)提示：不对零向量的方向是任意的 3(1)长度相等方向相同(2)平行共线向量 预习交流 2(1)提示：不一定，也可以平行，或在一条直线上 (2)提示：相等的向量一定共线，而共线的向量不一定相等 (3)提示：规定零向量与任一向量是共线向量 课堂合作探究 【问题导学】
8、 活动与探究1思路分析：解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量 等概念入手，逐一判断真假 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3) 解析： (1)错误由 |a| |b| 仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系 (2)错误 0 的模 | 0| 0 (3)正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的 (4)错误共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB uuu r ， CD uuu r 必须在同一直线上 迁移与应用1 D 解析：在 D 中向量BA uu u r 与向量AB uuu r 是相反向量， 故|BA uu u r | |AB
9、u uu r | ， 故 D 正确 2解： (1)不正确两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量必相等，反之，两个 向量相等，却不一定有相同的起止点 (2)不正确两向量虽然有公共终点，但方向不一定相同或相反，故不一定是共线向量 (3)不正确数轴是一条具有方向的直线，而没有大小 (4)不正确规定零向量与任一向量平行 (5)不正确因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向， 所以两个向量不能比较大小，故(5)不正确 活动与探究2思路分析：本题可借助于图形帮助解决问题 解： (1)是以P点为圆心，以1 个单位长为半径的圆 (2)是直线l上与点P的距离为1个单位长的两个点 (3)是
10、直线l 迁移与应用解： (1)向量AB uuu r ，BC uuu r ，CD uuu r ，如图所示 (2)由题意，易知AB uuu r 与CD uuu r 方向相反， 故AB uuu r 与CD uuu r 共线 又|AB u uu r | |CD uuu r | ，在四边形ABCD中，ABCD， 四边形ABCD为平行四边形 AD uuu r BC uuu r ， |AD uuu r | |BC uuu r | 200 km 活动与探究3思路分析：抓住向量的两个要素：长度和方向，对图中向量进行一一判 断 解： (1)与a的模相等的向量有23 个 (2)与a的长度相等且方向相反的向量有OD
11、uuu r ，BC uuu r ，AO uuu r ，FE u u u r (3)与a共线的向量有EF uuu r ，BC uuu r ，OD uuu r ，FE uu u r ，CB uu u r ，DO u uu r ，AO uuu r ，DA u uu r ，AD uuu r (4)与a相等的向量有EF uuu r ，DO uuu r ，CB u uu r ；与b相等的向量有DC uuu r ，EO uuu r ，FA uu u r ；与c相 等的向量有FO uuu r ，ED uuu r ，AB uuu r 迁移与应用B 解析： 若两个单位向量平行但方向不一定相同，故不正确；中 A、B
12、、C、D可能落在同一条直线上，故不正确；当b0 时，a与c的方向不确定，故 不正确；显然正确，故选B 【当堂检测】 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1D 解析： 由向量的定义知，重力既有大小又有方向是向量，其他均为数量 2C 解析： 由题知OB uuu r ，OC uu u r ，AO uuu r 对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相 等 3C 解析： 向量不能比较大小， 所以 A 不正确；ab需满足两个条件：a，b同向与 |a| |b| ，所以 B 不正确， C 正确； a与b是共线向量只需方向相同或相反，所以D 不正确 4OA uu u r 与BO uuu r ，AC uu
13、u r 与BD u uu r 解析： 四边形ABCD为正方形，O为正方形的中心， OABO，即 |OA uuu r | |BO uuu r | ，|AC uuu r | |BD u uu r | 5(1)AB uuu r 、DC uuu r (2)6 解析： (1)在平行四边形ABCD和ABDE中， AB uuu r ED uuu r ，AB u uu r DC uuu r ， ED uuu r DC uuu r (2)由(1)知ED u uu r DC u uu r ，E、D、C三点共线， |EC uuu r | |ED uuu r | |DC u uu r | 2|AB u uu r | 6