《高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义学案新人教A版必修50.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义学案新人教A版必修50.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律.(难点 ) 2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算.(重点 ) 3.数的加法与向量的加法的联系与区别.(易混点 ) 基础初探 教材整理1 向量加法的定义及其运算法则 阅读教材P80 P81“例 1”以上内容，完成下列问题. 1.向量加法的定义 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 对于零向量与任一向量a，规定0aa0a. 2.向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作A B a，B C b，则向量 A C 叫
2、做 a与b的和，记作ab，即abA B BC A C 平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作A B a，AD b，以 A B ，AD为邻边作 ?ABCD， 则对角线上的向量A C ab. 对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为BC 的是 _. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)BA AD DC ；(2)BD DA AC ； (3)AB BD DC . 【解析】在(1)中，BA AD DC BD DC BC ；在 (2)中，BD DA AC BA AC BC ；在 (3)中，AB BD DC AD DC AC . 【答案】(3) 教材整理2 向量加法的运算律 阅读教材
3、P82 P83例 2 以上内容，完成下列问题. 交换律结合律 abba(ab)ca(bc) 判断 (正确的打“” ，错误的打“”) (1)a0a.( ) (2)abba.( ) (3)a(bc)(ab)c.( ) (4)AB BA 2AB .( ) 【解析】根据运算律知，(1)(2)(3)显然正确，对于(4)，应为AB BA 0.故(4)错误 . 【答案】(1)(2)(3)(4) 小组合作型 向量加法运算法则的应用 (1)如图 2-2-1，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长 线上一点，DEBC，ABCF，连接CD，那么 (在横线上只填上一个向量)： 积一时之跬步臻千里之
4、遥程 马鸣风萧萧整理 图 2-2-1 AB DF _； AD FC _； AD BC FC _. (2)若正方形ABCD的边长为1，AB a，AD b，AC c.试作出向量abc，并求出其 模的大小 . 【精彩点拨】利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图. 【自主解答】(1)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法 则可知： AB DF AB BC AC . AD FC AD DB AB . AD BC FC AD DF FC AC . 【答案】(1)AC AB AC (2)根据平行四边形法则可知，abAB AD AC . 根据三角形法则，延长AC，在AC的延
5、长线上作CE AC ，则abcAC AC AC CE AE (如图所示 ). 所以 |abc|AE | 2121222. 1.向量求和的注意点： (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用. (2)两个向量的和向量仍是一个向量. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用. 2.利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的 向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量. 再练一题 1.如图 2-2-2所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量： 图 2-2-2 (1)OA OC
6、 ； (2)BC FE . 【解】(1)由图可知， 四边形OABC为平行四边形 .由向量加法的平行四边形法则，得OA OC OB . (2)由图可知，BC FE OD AO ， BC FE AO OD AD . 向量加法运算律的应用 (1)下列等式不正确的是( ) a(bc)(ac)b；AB BA 0；AC DC AB BD . A.B. C.D. (2)设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简： AB CD BC ； DB AC BD CA . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【精彩点拨】可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法 则求和 . 【自主解答】(1)
7、由向量的加法满足结合律知正确；因为AB BA 0，故不正确； DC AB BD AB BD DC AC 成立，故正确. 【答案】B (2)AB CD BC (AB BC )CD AC CD AD . DB AC BD CA (DB BD )(AC CA )000. 向量加法运算律的意义和应用原则： (1)意义： 向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目 的. 实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的 次序、任意的组合来进行. (2)应用原则： 利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量 “首尾相连” ，通过向量加法的结合律
8、调 整向量相加的顺序. 再练一题 2.化简： (1)(MA BN )(AC CB )； (2)AB (BD CA )DC . 【解】(1)(MA BN )(AC CB ) (MA AC )(CB BN ) MC CN MN . (2)AB (BD CA )DC AB BD DC CA 0. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 向量加法的实际应用 如图 2-2-3 所示， 一架飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km 到达B地接 到受伤人员，然后又从B地按南偏东55的方向飞行800 km 送往C地医院，求这架飞机飞 行的路程及两次位移的和. 【导学号： 00680036】 图 2-2-
9、3 【精彩点拨】解答本题先明确飞行路程与两次位移和的含义，再解 RtABC， 求出 |AC | 和BAC，最后结合图形作答. 【自主解答】设AB ，BC 分别表示飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km，从B 地按南偏东55的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是|AB | |BC | ； 两次飞行的位移的和指的是AB BC AC . 依题意，有 |AB | |BC | 8008001 600(km)， 又35，55，ABC35 55 90， 所以 |AC | |AB | 2| BC | 2 800 28002800 2(km). 其中BAC45，所以方向为北偏东35 45 80.
10、从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为8002 km，方向为北偏 东 80. 向量加法的实际问题的解题步骤如下： 1用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量； 2利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和； 3利用直角三角形知识解决问题. 再练一题 3.为了调运急需物资，如图 2-2-4所示， 一艘船从江南岸A点出发， 以 53 km/h 的速度 向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 图 2-2-4 (1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小与方向.(用与江水的速
11、度方向间的夹角表示) 【解】(1)如图所示，AD 表示船速，AB 表示水速 . 易知ADAB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD， 则AC 表示船实际航行的速度. (2)在 RtABC中， |AB | 5，|BC | 53， 所以 |AC | |AB | 2| BC | 2 5253 2 10010. 因为 tanCAB |BC | |AB | 3，所以CAB60. 因此，船实际航行的速度大小为10 km/h ，方向与江水的速度方向间的夹角为60. 探究共研型 向量加法的多边形法则 探究 1 在ABC中，若AB a，BC b，CA c，那么abc0 一定成立吗？ 【提示】一定成立 .因为在ABC
12、中，由向量加法的三角形法则AB BC AC ，所以AB BC CA 0，那么abc0. 探究 2 如果任意三个向量a，b，c满足条件abc0，那么表示它们的有向线段是 否一定构成三角形？ 【提示】若任意三个向量a，b，c满足abc0，则表示它们的有向线段不一定构 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足abc0，此时，表示它们 的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量a，b，c满足abc0时，表示它们 的有向线段不一定构成三角形. 探究 3 设A1，A2，A3， ，An(nN， 且n3)是平面内的点， 则一般情况下，A1An A1A
13、2 A2A3 A3A4 An 1An .当A1与An重合时，A1A2 A2A3 A3A4 An 1An 满足什么关 系？ 【提示】当A1与An重合时，有A1A2 A2A3 A3A4 An 1An 0. 如图 2-2-5，正六边形ABCDEF中，BA CD EF ( ) 【导学号： 70512024 】 图 2-2-5 A.0 B.BE C.AD D.CF 【精彩点拨】用向量加法的运算律可以实现简化运算的目的，将BA CD EF 变形为 CD DE EF 就可以利用向量加法的多边形法则求和向量. 【自主解答】因为ABCDEF是正六边形，所以BADE，BADE，所以BA DE ， 所以BA CD
14、EF DE CD EF CD DE EF CF . 【答案】D 三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向 量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量. 再练一题 4.如图 2-2-6，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下 列各式： 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 图 2-2-6 (1)DG EA CB ； (2)EG CG DA EB . 【解】(1)DG EA CB GC BE CB GC CB BE GB BE GE . (2)EG CG DA EB EG GD DA AE ED DA AE EA AE 0.
15、1.化简OP PQ PS SP 的结果等于 ( ) A.QP B.OQ C.SP D.SQ 【解析】OP PQ PS SP OQ 0OQ . 【答案】B 2.下列命题中正确的个数为( )【导学号： 00680037】 (1)如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么(ab)a； (2)在平行四边形ABCD中，必有BC AD ； (3)若BC AD ，则A，B，C，D为平行四边形的四个顶点； (4)若a，b均为非零向量，则|ab| |a| |b|. A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】(1)正确； (2)在平行四边形ABCD中，BCAD，且BCAD，所以BC AD ， 正确； (3)A，B，C
16、，D可能共线，所以错误；(4)为向量的三角不等式，所以正确. 【答案】D 3.在四边形ABCD中，AC AB AD ，则一定有 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A.四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形 C.四边形ABCD是正方形 D.四边形ABCD是平行四边形 【解析】由AC AB AD 得AD BC ，即ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD 一组对边平行且相等，故为平行四边形. 【答案】D 4.若a表示“向东走8 km” ，b表示“向北走8 km” ，则 |ab| _，ab的方向 是_. 【解析】如图所示，作OA a，AB b， 则abOA AB OB . 所以 |ab| |OB | 82 82 82(km)， 因为AOB45， 所以ab的方向是东北方向. 【答案】82 km 东北方向 5.已知向量a，b，c，如图 2-2-7，求作abc. 图 2-2-7 【解】在平面内任取一点O，作OA a，AB b，BC c，如图， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则由向量加法的三角形法则，得OB ab，OC abc， OC 即为所作向量 .