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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 三 圆的切线的性质及判定定理 1切线的性质 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 如图，已知AB切O于A点，则OAAB. (2)推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 (3)推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 (2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线 (3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线 其中 (2)和(3)是由 (1)推出的， (2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的 圆的切线的性质 如图，已知C90，点O
2、在AC上，CD为O的直径，O切AB于点E，若 BC5，AC12.求O的半径 O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到连接OE构造 RtOAE，再利用相 似三角形的性质，求出O的半径 连接OE. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AB与O切于点E， OEAB，即OEA90. C90，AA， RtACBRtAEO， OE BC AO AB. BC5，AC12， AB13， OE 5 12OE 13 ， OE 10 3 ， 即O的半径为 10 3 . 利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点 的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角
3、关系求解，或利用勾 股定理求解，或利用三角形相似求解等 1.如图，已知AD为O的直径，B为AD延长线上一点，BC与O 切于C点，A30. 求证： (1)BDCD. (2)AOCBDC. 证明： (1)因为AD为O的直径，所以ACD90. 又因为A30，OAOCOD， 所以ACO 30，ODCOCD60. 又因为BC与O切于C点， 所以OCB 90. BCD30，B 30， BCDB，BDCD. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)因为AACOBCDB30， 所以ACBC. 在AOC和BDC中， AB， OCDC， ACOBCD， 所以AOCBDC. 2.如图，已知PAB是O的割线，
4、AB为O的直径，PC为 O的切线，C为切点，BD垂直PC交PC的延长线于点D，交O 于点E，PAAOOB1. (1)求P的度数； (2)求DE的长 解： (1)连接OC. C为切点，OCPC， POC为直角三角形 OCOA1，POPAAO2， sin POC PO 1 2. P30. (2)BDPD，在 RtPBD中， 由P30，PBPAAOOB3， 得BD 3 2. 连接AE.则AEB 90，AEPD. EABP30，BEABsin 30 1， DEBDBE 1 2. 圆的切线的判定 已知D是ABC的边AC上的一点，ADDC21， C45， ADB60，求证：AB是BCD的外接圆的切线 连接
5、OB，OC，OD BOD 90 OBCOCB30 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ABO90 结论 . 如图，连接OB，OC，OD， OD交BC于E. DCB是 ? BD 所对的圆周角， BOD是 ? BD 所对的圆心角， BCD45， BOD 90. ADB是BCD的一个外角， DBCADBACB 60 45 15， DOC 2DBC30， 从而BOC 120. OBOC， OBCOCB30. 在OEC中，EOCECO30， OEEC. 在BOE中，BOE 90，EBO 30. BE2OE2EC， CE BE CD DA 1 2， ABOD， ABO90， 故AB是BCD的外接圆的
6、切线 要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外， 还有圆心到直线的 距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是 常用辅助线 3本例中，若将已知改为“ABDC” ，怎样证明：AB是BCD的外接圆的切线 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证明：作直径BE，连接DE， BE是O的直径， BDE90， EDBE90 . CE，ABDC， ABDDBE90. 即ABE90 . AB是BCD的外接圆的切线 4.如图，ABC内接于O，点D在OC的延长线上，sin B 1 2， D 30 . (1)求证：AD是O的切线； (2)若AC6，求AD的
7、长 解： (1)证明：如图，连接OA， sin B 1 2， B30. AOC2B， AOC60. D30， OAD 180DAOC90 . AD是O的切线 (2)OAOC，AOC60， AOC是等边三角形 OAAC6. OAD 90，D30， AD3AO63. 圆的切线的性质和判定的综合考查 如图，AB为O的直径，D是 ? BC 的中点，DEAC交 AC的延长线于点E，O 的切线BF交AD的延长线于点F. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)求证：DE是O的切线； (2)若DE3，O的半径为5，求BF的长 (1)连接OD，证明ODDE； (2)作DGAB. (1)连接OD， D是
8、 ? BC 中点， 1 2. OAOD， 2 3. 1 3.ODAE. DEAE， DEOD，即DE是O的切线 (2)过D作DGAB， 1 2，DGDE3. 在 RtODG中，OG52324，AG45 9. DGAB，FBAB，DGFB. ADGAFB. DG BF AG AB . 3 BF 9 10. BF 10 3 . 对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆 的切线，再利用切线的性质来求解相关结果 5如图，已知两个同心圆O，大圆的直径AB交小圆于C，D两点， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 大圆的弦EF切小圆于点C，ED交小圆于点G，若小圆的
9、半径为2，EF43，试求EG的 长 解：连接GC，则GCED. EF切小圆于点C， EFCD，EC 1 2EF2 3. 又CD4， 在 RtECD中， EDEC2CD2 23 2422 7. 由射影定理可知EC2EGED， EG EC2 ED 23 2 27 67 7 . 6.如图， 正方形ABCD是O的内接正方形，延长BA到E，使AE AB，连接ED. (1)求证：直线ED是O的切线； (2)连接EO交AD于点F，求证：EF2FO. 证明： (1)连接OD. 四边形ABCD为正方形， AEAB， AEABAD， EADDAB90. EDA45，ODA45. ODEADEODA90. 直线ED
10、是O的切线 (2)作OMAB于M. O为正方形的中心， M为AB的中点 AEAB2AM，AFOM. EF FO AE AM 2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 EF2FO. 课时跟踪检测(八) 一、选择题 1.如图，AB切O于点B，延长AO交O于点C，连接BC.若A 40，则C等于 ( ) A 20B25C40D50 解析：选 B 连接OB，因为AB切O于点B， 所以OBAB，即ABO90， 所以AOB 50， 又因为点C在AO的延长线上，且在O上， 所以C 1 2 AOB25. 2如图，AB是O的直径，BC是O的切线，AC交O于D. 若AB6，BC 8，则BD等于 ( ) A 4
11、 B4.8 C5.2 D6 解析：选 B AB是O的直径，BDAC. BC是O的切线，ABBC. AB6，BC8，AC10. BDAB BC AC 4.8. 3如图，AB是O的直径，BC交O于点D，DEAC于点E，要使DE是O的 切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( ) ADEDOBABACCCDDBDACOD 解析：选 A 当ABAC时，如图， 连接AD，因为AB是O的直径， 所以ADBC，所以CDBD. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 因为AOBO， 所以OD是ABC的中位线， 所以ODAC. 因为DEAC，所以DEOD， 所以DE是O的切线 所以选项 B 正确 当C
12、DBD时，AOBO， 同选项 B，所以选项C 正确 当ACOD时，因为DEAC， 所以DEOD. 所以DE是O的切线 所以选项 D 正确 4如图，在O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若 ADDC，则 sin ACO等于 ( ) A. 10 10 B. 2 10 C. 5 5 D. 2 4 解析：选 A 连接BD，则BDAC. ADDC，BABC， BCA45. BC是O的切线，切点为B， OBC90 . sin BCO OB OC OB 5OB 5 5 ， cos BCO BC OC 2OB 5OB 25 5 . sin ACOsin(45BCO) sin 45 c
13、os BCOcos 45 sin BCO 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2 2 25 5 2 2 5 5 10 10 . 二、填空题 5.如图， O的半径为3 cm，B为O外一点，OB交O于点A， ABOA，动点P从点A出发，以 cm/s 的速度在O上按逆时针方 向运动一周回到点A立即停止当点P运动的时间t为_s 时， BP与O相切 解析：连接OP. 当OPPB时，BP与O相切 因为ABOA，OAOP， 所以OB2OP， 又因为OPB 90，所以B30， 所以O60. 因为OA3 cm， 所以AP 60 3 180 ，圆的周长为 6， 所以点P运动的距离为或 6 5； 所以当t1
14、s或 5 s时，BP与O相切 答案： 1 或 5 6已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B 点，PB1.则圆O的半径R_. 解析： 如图，连接AB， 则ABAP2PB 2 3. 由AB2PBBC， BC3，在 RtABC中， ACAB2BC223. 半径R3. 答案：3 7圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则DAC_，DC _. 解析：连接OC. OCOB，OCBOBC. 又DCAACO90， ACOOCB90， DCAOCB. OC
15、3，BC3， OCB是正三角形 OBC60，即DCA 60. DAC30. 在 RtACB中，ACAB2BC 2 3 3， DCACsin 30 3 2 3. 答案： 30 33 2 三、解答题 8如图，已知在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于 D，过D点作O的切线交AC于E. 求证： (1)DEAC； (2)BD2CECA. 证明： (1)连接OD，AD. DE是O的切线，D为切点， ODDE. AB是O的直径， ADBC.又ABAC， BDDC.又O为AB的中点， ODAC.DEAC. (2)ADBC，DEAC， CDECAD. CD CA CE CD. CD2CECA. 积一时
16、之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 又BDDC，BD2CECA. 9.如图，O内切于ABC，切点分别为D，E，F，ABAC，连 接AD交O于H，直线FH交BC的延长线于G. (1)求证：圆心O在AD上； (2)求证：CDCG； (3)若AHAF 34，CG10，求FH的长 解： (1)证明：由题知AEAF， CFCD，BDBE， 又ABAC， CDCFBEBD. D为BC中点 AD是BAC的角平分线 圆心O在AD上 (2)证明：连接DF. O在AD上，DH为直径DFH90. CFCD，CFDFDC. G90FDC90CFDCFG. CGCF.CGCD. (3)AFH 90CFD 90FDCFD
17、A， 又FAD为公共角，则AHFAFD. FH FD AH AF 3 4. 在 RtHFD中，FHFDDH345. HDFDGF， DFGFDG345. DF320 1 512， FH 3 4FD9. 10.如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD，垂 足为E，DA平分BDE. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)求证：AE是O的切线； (2)若DBC 30，DE1 cm，求BD的长 解： (1)证明：连接OA. DA平分BDE， BDAEDA. OAOD， ODAOAD. OADEDA. OACE. AEDE， AEOA. AE是O的切线 (2)BD是直径， BCDBAD90. DBC30，BDC 60. BDE120. DA平分BDE， BDAEDA60. ABDEAD30. 在 RtAED中，AED90，EAD30， AD 2DE. 在 RtABD中，BAD90，ABD30， BD2AD4DE4 (cm)