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1、普通高等学校招生全国统一考试 课标 II理科数学 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域 内。 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整，笔迹清楚 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在 草稿纸、试卷上答题无效 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一
2、项是符合题目要求的。 1. 3 1 i i （） A12iB12iC2iD2i 【答案】 D 2.设集合1,2,4， 2 40x xxm若1I， 则（） A1, 3B1,0C1,3D1,5 【答案】 C 【解析】由1I得1B， 所以3m，1,3B， 故选 C。 3.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯 三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下 一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（） A1 盏B 3 盏C5 盏D9 盏 【答案】 B 【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2 的等比
3、数列，由 7 12 381 12 x 可得3x， 故选 B。 4.如图， 网格纸上小正方形的边长为1， 学 科粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体 由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（） A90B63C42D36 4.【答案】 B 【解析】由题意，该几何体是由高为6 的圆柱截取一半后的图形加上高为4 的圆柱，故其体 积为 22 1 363463 2 V， 故选 B. 5.设，y满足约束条件 2330 2330 30 xy xy y ， 则2zxy的最小值是（） A15B9CD 【答案】 A 6.安排 3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项， 每项工作由1 人完成，则
4、不同的安排 方式共有（） A12 种B18 种C24 种D 36 种 【答案】 D 【解析】 222 342 36C C A,故选 D。 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2 位优 秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科给丁看甲的成绩看 后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（） A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】 D 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a， 则输出的S（） A2 B 3 C4 D5 【答案】 B 【解析】01234563S
5、,故选 B. 9.若双曲线C: 22 22 1 xy ab （0a，0b）的一条渐近线被圆 2 2 24xy所截得的弦 长为 2， 则C的离心率为（） A2 B3C2D 2 3 3 【答案】 A 【解析】圆心到渐近线0bxay距离为 2 213， 所以 2 322 b cae c ， 故选 A. 10.已知直三棱柱 111 CC中，C120 o， 2， 1 CCC1，则异面 直线 1与1 C所成角的余弦值为（） A 3 2 B 15 5 C 10 5 D 3 3 【答案】 C 11.若2x是函数 21 ( )(1) x f xxaxe的极值点，则( )f x的极小值为（） A. 1 B. 3
6、2eC. 3 5eD.1 【答案】A 【解析】由题可得 12121 ( )(2)(1)(2)1 xxx fxxa exaxexaxae 因为( 2)0f， 所以1a， 21 ( )(1) x f xxxe， 故 21 ( )(2) x fxxxe 令( )0fx， 解得2x或1x， 所以( )f x在(, 2),(1,)单调递增，在( 2,1)单 调递减 所以( )f x极小值(1)f 1 1 (1 1 1)1e， 故选 A。 12.已知ABC是边长为2 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PAPBPC uu u ru uu ruuu r 的最小 值是（） A.2B. 3 2 C.
7、4 3 D.1 【答案】B 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分， 共 20 分。 13.一批产品的二等品率为0.02， 从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次， 表示抽到的二等品件数，则D 【答案】 1.96 【解析】100,0.02XB， 所以1100 0.02 0.981.96DXnpp. 14.函数 23 sin3 cos 4 fxxx（0, 2 x ）的最大值是 【答案】 1 【解析】 22 31 1cos3 coscos3 cos 44 fxxxxx 2 3 cos1 2 x ，0, 2 x ， 那么cos0,1x， 当 3 cos 2 x时，函数取得最 大值 1.
8、 15.等差数列 n a的前项和为 n S， 3 3a， 4 10S， 则 1 1 n k k S 【答案】 2 1 n n 【解析】 设等差数列的首项为 1 a， 公差为d， 所以 1 1 23 4 3 410 2 ad ad ， 解得 1 1 1 a d ， 所 以 1 , 2 nn nn an S， 那么 1211 2 11 n Sn nnn ， 那么 1 11111112 212 1 223111 n kk n Snnnn . 16.已知是抛物线C: 2 8yx的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点 若为 F的中点，则F 【答案】 6 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、解答
9、过程或演算步骤。第 1721 题为必做 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17.（12 分） ABC的内角ABC、 、所对的边分别为, ,a b c， 已知 2 sin()2sin 2 B AC， （ 1）求cosB； （ 2）若6ac，ABC的面积为，求 【答案】（ 1） 15 cos 17 B（2） 【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知ACB，再利用诱导公式化简 sin()AC， 利用降幂公式化简 2 sin 2 B ， 结合 22 sincos1BB求出cosB；利用（ 1）中 结论 0 90B， 利用勾股定理和
10、面积公式求出acac、， 从而求出 试题解析：（1）由题设及 2 sin8sin 2 ABCB得， 故 sin4-cosBB（1） 上式两边平方，整理得 2 17cos B-32cosB+15=0 解得 15 cosB=cosB 17 1（舍去），= （ 2）由 158 cosBsin B 1717 =得， 故 14 a sin 217 ABC ScBac 又 17 =2 2 ABC Sac，则 由余弦定理及a6c得 222 2 b2cos a2(1 cosB) 1715 362(1) 217 4 acacB ac（ +c） 所以 b=2 【点睛】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题
11、的第一题，主要利用三角形的 内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角 关系进行 “边转角”“角转边”， 另外要注意 22 ,ac ac ac三者的关系，这样的题目小而活， 备受老师和学生的欢迎 18.（12 分） 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学| ， 收获时各随机抽取了100 个 网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下： （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件： 旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg, 估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%
12、 的把握认为箱产量与养殖方法有 关： 箱产量 50kg 箱产量 50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01 ） P（）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd （ 2） 50kg50kg 旧养殖法 6238 新养殖法3466 2 200(62663438) 15.70510.828 10010096 104 K 有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。 （ 3）第 50 个网箱落入“5055:”这组； 取平均值52.
13、50即为中位数的估计值。 19.（12 分） 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， o1 ,90 , 2 ABBCADBADABCE是PD的中点 . （1）证明：直线/ /CE平面PAB （2）点M在棱PC 上， 且直线BM与底面ABCD所成锐角为 o 45， 求二面角M-AB-D 的余弦值 （ 2）取AD中点O， 连PO， 由于PAD为正三角形 POAD 又平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD PO平面ABCD， 连OC， 四边形ABCD为正方形。 PO平面POC， 平面POC平面ABCD 而平面POCI平面ABCDOC 过M作MHOG，
14、垂足为 H， MH 平面ABCD MBH为MB与平面ABCD所成角，45MBH MH BH 在PCO中，MHPO， MHCH POCO ， 设ABBCa，2ADa，3POa，COa 3 MHCH aa ， 3MHCH 在RtBCH中， 222 BHBCCH， 222 3CHaCH 2 2 CHa， 6 2 MHa， 2 2 OHaa 以O为 坐 标 原 点 ，OC、OD、OP分 别 为 、 y 、 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 26 (,0,) 22 M aaa，(0,0)Aa，( ,0)B aa， 26 (,) 22 MAaaaa u uu r ，( ,0,0)ABa uuu
15、r 设平面MAB的法向量为(0,1)yn， 6 0 2 MAaya uuu r n， 6 2 y 6 (0,1) 2 n， 而平面ABCD的法向量为(0,0,1)k 设二面角MABD的大角为（为锐角） 110 cos|cos,| | 56 11 4 n k。 21.（12 分） 已知函数 2 lnfxaxaxxx， 且0fx。 (1)求； (2)证明：fx存在唯一的极大值点 0 x， 且 22 0 2efx. 【解析】 （ 1）fx 的定义域为 0， + 设gx= ax - a - lnx， 则fx=xgx , fx0等价于0gx 因为 1 1 =0，0, 故1 =0,而,1 =1, 得1gg
16、 xggxagaa x 若 a=1， 则 1 1gx= x .当 0x1 时， 0,gxgx单调递减； 当 x 1 时，gx 0， gx单调递增 .所以 x=1 是g x的极小值点，故1 =0gxg 综上，a=1 又 21 0,0,10 2 h ehh， 所以 h x 在 1 0, 2 有唯一零点x0， 在 1 ,+ 2 有唯一零点 1， 且当 0 0,xx时，0h x； 当 0,1 xx时，0h x， 当1,+x时，0h x. 因为fxh x， 所以 x=x0是 f(x)的唯一极大值点 由 000000 0得 ln2 (1), 故=(1)fxxxfxxx 由 0 0,1x得 0 1 4 fx
17、 因为 x=x0是 f(x)在（ 0,1）的最大值点， 由 11 0,1 ,0efe得 12 0 fxfee 所以 2-2 0 2efx 20. （12 分） 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 2 2 1 2 x y上， 过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N， 点 P 满足2NPNM uuu ruuuu r . (1) 求点P的轨迹方程； 设点 Q 在直线 x=-3 上，且1OP PQ uuu r u uu r .证明：过点P且垂直于 OQ的直线 l 过 C的左焦点F. 【解析】（ 1）设( , )P x y，(,)M x y，(,0)N x 2NPNM uuu ruuuu r (,
18、 )2(0,)xx yy 即 0 2 2 xx xx y y yy 代入椭圆方程 2 2 1 2 x y， 得到 22 2xy 点P的轨迹方程 22 2xy。 过P与直线OQ垂直的直线为： 11 2 3 yyxx y 当1x时， 11 2 3 1yyx y 1 1 22 33x y yy 1 1 22 33x y yy 121 22 33yyx yy 代入得0y 过P且垂直于OQ的直线过 C的左焦点F。 （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的 第一题计分。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy 中， 以坐标原点为极点
19、，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的 极坐标方程为cos4 （ 1）M 为曲线 1 C上的动点，点 P在线段 OM 上， 且满足| | 16OMOP,求点 P的轨迹 2 C 的直角坐标方程； （ 2）设点 A 的极坐标为(2,) 3 ， 点 B在曲线 2 C上，求OAB面积的最大值 【解析】 （ 2）设点 B的极坐标为 ，0 BB,由题设知 cos=2，=4 B OA ,于是 OAB面积 1 =sin 2 4 cossin 3 3 2 sin2 32 23 B SOAAOBgg g 当=- 12 时，S取得最大值2+ 3 所以 OAB面积的最大值为2+ 3 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知 33 0,0,2abab， 证明： （ 1） 55 ()()4ab ab； （ 2）2ab 【解析】（ 1） 556556 2 333344 2 22 2 4 4 ababaaba bb aba bab ab ab ab （ 2）因为 3 3223 23 33 23+ 3+3+ 2+2 44 abaa babb ab a b a ba b a b 所以 3 +8a b， 因此 a+b2.