《高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理自主练习苏教版选修1_62.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理自主练习苏教版选修1_62.pdf（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.1.1 合情推理 自主广场 我夯基我达标 1.对命题“对顶角相等”的说法正确的是（） A.前提是对顶角，结论“相等”. B.前提是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”. C.前提是“两个角相等” ，结论是“这两个角是对顶角”. D.前提是“两个角相等” ，结论是“两个角全等”. 思路解析 :把命题“对顶角相等”改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.所以 前提是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”. 答案 :B 2.等差数列1，3，5，（ 2n-1)的前 n 项和为（） A.n 2 B.（n+1) 2 C.（n-1)2D.n(
2、n-1) 思路解析 :令前 n 项的和为Sn，则 S1=1,S2=1+3=4=2 2,S 3=1+3+5=9=3 2,S 4=1+3+5+7=4 2.所以猜 想 Sn=n 2. 答案 :A 3.若 f(n)=n 2+n+41(n N),下列说法中正确的是（ ） A.f(n)可以为偶数B.f(n)一定为奇数 . C.f(n)一定为质数D.f(n)必为合数 . 思路解析 :f(1)=43,f(2)=2 2+2+41=47 ，f(3)=32+3+41=53 ，f(4)=42+4+41=71, 猜想 f(n)一定是奇数 . 答案 :B 4.下列说法中正确的是（） A.合情推理就是正确的推理B.合情推理
3、就是归纳推理 C.归纳推理是从一般到特殊的推理过程D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程 思路解析 :合情推理包括归纳推理和类比推理，而归纳推理是从特殊到一般的推理过程，而 类比推理是从特殊到特殊的推理过程. 答案 :D 5.(2005 年湖南省高考卷)设 f0(x)=sinx,f1(x)=f 0(x)，f2(x)=f 1(x), fn(x)=fn-1(x)， nN ,则 f2 005(x)=( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx 思路解析 :(sinx)=cosx,(cosx) =-sinx, (-sinx)=-cosx,(-cosx)=sinx,由此可知， 其周期
4、为4，故可得 fn+4(x)= =f n(x)故猜测 fn(x) 是以 4 为周期的函数，有f4n+1(x)=f(1)=cosx f4n+2(x)=-sinx f4n+3(x)=-cosx,f4n+4(x)=f(4)=sinx. 答案 :C 6.( 2005年广东高考卷)设平面内有n 条直线（ n3),其中有且仅有两条直线互相平行，任意 三条直线不过同一点，若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数，则 f(4)=_ ， 当 n4 时， f(n)=_.( 用 n 表示） 思路解析 :f(2)=0,f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9, 可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直 线的
5、条数 .所以有 f(3)-f(2)=2 ，f(4)-f(3)=3,f(5)- f(4)=4, 猜测得出f(n)-f(n-1)=n-1, 有 f(n)-f(2)=2+3+4+ +(n-1) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 f(n)= 2 1 (n+1)(n-2) 因此， f(4)=5,f(n)= 2 1 (n+1)(n2) 答案 :f(4)=5 f(n)= 2 1 (n+1)(n-2). 7.已知数列 an 的第 1项 a1=1,且 an+1= n n a a 1 (n=1,2, ),试用归纳法归纳出这个数列的通次公 式. 解： a1=1, 当 n=2 时， a2= 11 1 = 2
6、1 当 n=3 时， a3= 2 1 1 2 1 = 3 1 当 n=4 时， a4= 4 1 3 1 1 3 1 观察可得，数列an的前 4 项都等于相应序号的倒数，由此我们可以猜测，这个数列的通项 公式为 an= n 1 . 8.应用归纳推理猜测 212 22221111 个个nn 的结果 . 解： 当 n=1 时，211=3 当 n=2 时，221111=33 当 n=3 时，222111111=333 当 n=4 时，222211111111=3 333 观察可得 3212 33332222111111 个个个nnn 9.找出圆与球的相似之处，并用圆的下列性质类比球的有关性质. （1）
7、圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦； （2）与圆心距离相等的弦也相等； （3）圆的周长C= d（d 为圆心直径） ； （4）圆的面积S= r2. 解： （1）圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点构成的集合，球面是一空间中到定点的 距离等于定长的所有点构成的集合. （2）圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质： 圆球 （1）圆心与弦（非直径）中点的连线 垂直于弦 球心与截面圆（不过球心的小截面圆）圆心的连线 垂直于截面 （2）与圆心距离相等的弦长相等与球心的距离相等的两个
8、截面圆的面积相等 （3）圆的周长C= d 球的表面积S= d2 (4)圆的面积S= r2 球的体积V= 3 3 4 r （5）圆的面积函数的导数等于圆的周 长函数，即 ( r2)=2 r, 球 的 体 积 函 数 的 导 数 等 于 球 的 表 面 积 函 数.( 3 3 4 r)=4 r 2 我综合我发展 10.(2006年广东高考卷，10)对于任意的两个实数对（a,b)和（ c,d)，规定：（a,b)=（ c,d)，当且 仅当a=c,b=d 时成立；运算“”为： （a,b) (c,d)=(ac-bd,bc+ad),运算“”为 (a,b) (c,d)=(a+c,b+d), 设 p、qR,若（
9、 1， 2）（p、 q)=(5,0),则（ 1， 2）（p、 q）= （） A.（ 4、0）B.（2、 0）C.（0、2）D.（0，-4） 思路解析 :利用类比推理得：由(1,2)(p,q)=(5,0)得 2 1 02 52 q p qp qp 所以 (1,2)(p,q)=(1,2)(1,-2)=(2,0) 答案 :B 11.如图 2-1-2 中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下面3 个三角形中，着色的三角形的个数 依次构成一个数列的前3 项，则这个数列的一个通项公式是_. 图 2-1-2 思路解析 :这 3个三角形中着色三角形的个数依为1，3，9，则所示数列的前3 项都是 3的指 数幂，指数为
10、序号减1，所以数列的一个通项为an=3 n-1 答案 :an=3 n-1 12.(2006年广东高考卷，14)在德国不来梅举行的第48 届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样 的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥” 形的展品， 其中第 1 堆只有一层， 就一个球； 第 2，3，4， 堆最底层（第一层）分别按图2-1-3 所示方式固定摆放.从第二层开始，每层的木球自然垒放 在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球.以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数，则 f(3)=_;f(n)=_.( 答案用 n 表示） 图 2-1-3 思路解析 :f(1)=1,观察图象可知f(2)=4,f(3)=10 ， f(4)=20
11、,下一堆的个数是上一堆的个数加上其 第一层个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，通项公式是 2 )1(nn .f(5)=f(4)+15=35. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案 :10, 6 )2)(1(nnn . 13.类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. 解： （1）两个实数经过加法运算或者乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数. （2）从运算律方面来考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即： a+b=b+aab=ba (a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc) （3）从逆运算的角度来考虑，二者都有逆运算；加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除 法，这就使
12、得方程： a+x=0 ax=1(a0) 都有惟一的解：x=-a,x= a 1 . （4）在加法中，任意实数与0 相加都不改变大小，乘法中的1 与加法中的0 类似，即任意 实数与 1 的积都等于原来的数，即： a+0=a a1=a. 14.观察 1+3=4=2 2 1+3+5=9=3 2 1+3+5+7=16=4 2 1+3+5+7+9=25=5 2 由上述具体事实能得出怎样的结论？ 解： 将上述事实分别叙述为： 前 2 个连续奇数的和等于2 的平方 前 3 个连续奇数的和等于3 的平方 前 4 个连续奇数的和等于4 的平方 前 5 个连续奇数的和等于5 的平方 由此猜想：前n(nN *)个连续奇数的和等于 n 的平方 . 即 1+3+5+ +(2n-1)=n 2. 15.观察下面的“三角阵” 试找出相邻两行数之间的关系. 解： 设第 n 行数的和为Sn. n=1 时， S1=1=2 0, n=2 时 ,S2=2=2 1, n=3 时， S3=4=2 2, n=4 时 ,S4=8=2 3, n=5 时， S5=16=2 4. 观察可得，前5 行的和分别为20， 2 1,22,23，24，由此可以猜测第 n 行的和为Sn=2 n-1.