高中数学第一章学案含解析新人教A版选修29.pdf

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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 分类加法计数原理 一名游客从沈阳出发去长沙游玩，已知从沈阳到长沙每天有7 个航班、 6 列火车 问题 1：该游客从沈阳到长沙的方案可分几类？ 提示：两类，即乘飞机、坐火车 问题 2：这几类方案中各有几种方法？ 提示：第 1 类方案 (乘飞机 )有 7 种方法，第2 类方案 (坐火车 )有 6 种方法 问题 3：该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法？ 提示：共有7613 种不同的方法 1完成一件事有两类不同的方案，在第1 类方案中有m种不同的方法，在第2 类方案 中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn

2、种不同的方法 2完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第 2 类方案 中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N m1m2mn种不同的方法 1分类加法计数原理中各类办法相互独立，各类办法中的各种方法也相互独立，用任 何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事 2要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中 具体所指的是什么 3分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在这个标准下进行分类. 分步乘法计数原理 一名游客从沈阳出发去长沙游玩，但需在北京停留， 已知从沈阳到北京每天有7 个航班， 从北京到长

3、沙每天有6 列火车 问题 1：该游客从沈阳到长沙需要经历几个步骤？ 提示：两个，即先乘飞机到北京，再坐火车到长沙 问题 2：完成每一步各有几种方法？ 提示：第 1 个步骤有7 种方法，第2 个步骤有6 种方法 问题 3：该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法？ 提示：共有7642 种不同的方法 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1完成一件事需要两个步骤，做第1 步有m种不同的方法，做第2 步有n种不同的方 法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法 2完成一件事需要n个步骤，做第1 步有m1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的 方法， ， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N

4、m1m2mn种不同 的方法 1分步乘法计数原理是完成一件事要分成若干步，各个步骤相互依存，完不成其中任 何的一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件 2要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中 具体所指的是什么 3分步时，首先要根据问题特点确定一个可行的分步标准，标准不同，分的步骤数也 会不同 分类加法计数原理 某校高三共有三个班，各班人数如下表. 男生数女生数总数 高三 (1)班302050 高三 (2)班303060 高三 (3)班352055 (1)从三个班中选1 名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三 (1)班、 (

5、2)班男生中或从高三(3)班女生中选1 名学生任学生会生活部部长，有 多少种不同的选法？ (1)从三个班中选1 名学生任学生会主席，共有三类不同的方案： 第 1 类，从高三 (1)班中选出1 名学生，有50种不同的选法； 第 2 类，从高三 (2)班中选出1 名学生，有60种不同的选法； 第 3 类，从高三 (3)班中选出1 名学生，有55种不同的选法 根据分类加法计数原理知，从三个班中选1 名学生任学生会主席，共有 50 6055165 种不同的选法 从高三 (1)班、 (2)班男生中或从高三(3)班女生中选1 名学生任学生会生活部部长，共有 三类不同的方案： 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣

6、风萧萧整理 (2)第 1 类，从高三 (1)班男生中选出1 名学生，有30种不同的选法； 第 2 类，从高三 (2)班男生中选出1 名学生，有30 种不同的选法； 第 3 类，从高三 (3)班女生中选出1 名学生，有20 种不同的选法 根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、 (2)班男生中或从高三(3)班女生中选1 名学生 任学生会生活部部长，共有30 302080 种不同的选法 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 若x，yN *，且 xy6，试求有序自然数对(x，y)的个数 解：按x的取值进行分类： x1 时，y1,2,3,4,5 ，共构成5个有序自然数对； x2 时，y1,2,3,4，

7、共构成4 个有序自然数对； x5 时，y1，共构成 1 个有序自然数对 根据分类加法计数原理，共有N5 432 115 个有序自然数对. 分步乘法计数原理 从 1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数； (2)三位偶数 (1)三位数有三个数位： 百位十位个位 故可分三个步骤完成： 第 1 步，排个位，从1,2,3,4中选 1 个数字，有4 种方法； 第 2 步，排十位，从剩下的3个数字中选1 个，有 3 种方法； 第 3 步，排百位，从剩下的2个数字中选1 个，有 2 种方法 根据分步乘法计数原理，共有43224个满足要求的三位数 (2)分三

8、个步骤完成： 第 1 步，排个位，从2,4中选 1 个，有 2 种方法； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 2 步，排十位，从余下的3个数字中选1 个，有 3 种方法； 第 3 步，排百位，只能从余下的2 个数字中选1 个，有 2 种方法 根据分步乘法计数原理，共有23212个满足要求的三位偶数 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 一个口袋里有5 封信，另一个口袋里有4 封信，各封信内容均不相同 (1)从两个口袋里各取1 封信，有多少种不同的取法？ (2)把这两个口袋里的9 封信，分别投入4 个邮筒，有多少种不同的投法？ 解：(1)各取 1封信， 不论从哪个口袋里取，都不能算完成

9、了这件事，因此应分两个步骤 完成，由分步乘法计数原理知，共有5 420 种不同的取法 (2)若从每封信投入邮筒的可能性考虑，第1封信投入邮筒有4种可能，第2 封信仍有4 种可能第9 封信还有4 种可能，所以共有49种不同的投法. 两个计数原理的综合应用 王华同学有课外参考书若干本，其中有5 本不同的外语书，4 本不同的数学书，3 本 不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读 (1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有多少种不同的带法？ (2)若带外语、数学、物理参考书各1 本，则有多少种不同的带法？ (3)若从这些参考书中选2 本不同学科的参考书带到图书馆，则有多少种不同的带法？ (1)完成的

10、事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成， 从而确定应用分类加法计数原理，结果为54 312(种) (2)完成的事情是带3 本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1 本后， 才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为54360(种) (3)选 1 本外语书和选1 本数学书应用分步乘法计数原理，有5 420 种选法；同样， 选外语书、物理书各1 本，有 5315 种选法；选数学书、物理书各1 本，有 4312 种 选法即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为2015 1247(种) 在用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚

11、“分 类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重”“不漏”的原则，在“分步”时 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性 有一项活动，需在3 名老师、 8名男同学和5 名女同学中选部分人员参加 (1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？ (2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？ (3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法？ 解： (1)有三类： 3 名老师中选一人，有3 种方法； 8 名男同学中选一人，有8 种方法； 5 名女同学中选一人，有5 种方法 由分类加法计数原理知，有38516种选法 (

12、2)分三步：第1 步选老师，有3种方法；第2 步选男同学，有8 种方法；第3 步选女同 学，有 5 种方法 由分步乘法计数原理知，共有385120种选法 (3)可分两类，每一类又分两步 第 1 类，选一名老师再选一名男同学，有3824种选法； 第 2 类，选一名老师再选一名女同学，共有3515 种选法 由分类加法计数原理知，共有241539 种选法 . 1.计数时出现的“遗漏” 有红、黄、蓝旗各3 面，每次升1 面、 2 面或 3面旗纵向排列在某一旗杆上，表示不 同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？ 每次升 1 面旗可组成3 种不同的信号；每次升2 面旗可组成339

13、 种不同的信号； 每次升3 面旗可组成33 327 种不同的信号根据分类加法计数原理，共可组成39 2739 种不同的信号 1求解时，易忽略信号可分为每次升1 面、每次升2面、每次升3 面这三类 2解决此类问题一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止 重复和遗漏，分步时要注意步与步之间的连续性 某外语小组有9 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7 人会英语， 3 人会日语， 从中选出会英语和日语的各一人组成一个二人活动小组，有多少种不同的选法？ 解：共分三类：第1 类，当既会英语又会日语的人被当作会英语的人时，选出只会日语 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 的一

14、人即可，有2 种选法；第2 类，既会英语又会日语的人被当作会日语的人时，选出只会 英语的一人即可，有6 种选法；第3 类，既会英语又会日语的人都不参加该二人组时，则需 从只会日语和只会英语的人中各选一人，有 2612 种方法，故共有 261220 种选法 1现有 4 件不同款式的上衣和3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一 套，则不同的配法种数为( ) A 7 B12 C64 D 81 解析：选 B 要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第1 步，选上衣，从4 件上衣中任 选一件，有4 种不同选法；第2 步，选长裤，从3 条长裤中任选一条，有3 种不同选法故 共有 4 312 种不同的

15、配法 2已知集合M 2,1,3，N4,5,6,7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标， 则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( ) A 18 B17 C16 D 10 解析：选 B 分两类：第1 类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3 39 个在第一、二象限内的点；第2 类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则 有 4 28 个在第一、二象限内的点由分类加法计数原理，共有9817 个点在第一、 二象限内 3从集合 0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数有 _个 解析：第 1 步取b的数，有 6 种方法；第2

16、步取a的数，也有6 种方法根据分步乘法 计数原理，共有6636 个虚数 答案： 36 4一学习小组有4 名男生、 3 名女生，任选一名学生当数学课代表，共有_种 不同选法；若选男、女生各一名当组长，共有_种不同选法 解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从 女生中选，有3 种选法根据分类加法计数原理，共有437 种不同选法 若选男、女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4 种选法；第2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 步，从女生中选一名，有3 种选法根据分步乘法计数原理，共有4312 种不同选法 答案： 7 12 5有不同的红球8

17、个，不同的白球7 个 (1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？ (2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？ 解： (1)由分类加法计数原理得， 从中任取一个球共有87 15 种取法 (2)由分步乘法计数原理得， 从中任取两个不同颜色的球共有8 756 种取法 一、选择题 1若x1,2,3 ，y5,7,9 ，则xy的不同值个数是( ) A 2 B6 C9 D 8 解析：选 C 求积xy需分两步取值：第1 步，x的取值有3种；第 2 步，y的取值有 3 种，故有339 个不同的值 2已知两条异面直线a，b上分别有5 个点和 8 个点，则这13 个点可以确定不同的平 面个数为 (

18、 ) A 40 B16 C13 D 10 解析：选 C 分两类：第1 类，直线a与直线b上 8 个点可以确定8 个不同的平面；第 2 类，直线b与直线a上 5个点可以确定5个不同的平面 故可以确定8513 个不同的平 面 3从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4 种蔬菜品种中选出3 种，分别种在不同土质的三块土 地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( ) A 24种B18 种 C12 种D 6种 解析：选 B 法一 (直接法 )：若黄瓜种在第一块土地上，则有3 216 种不同的种植 方法同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3 216 种不同的种植方法故共有 6318 种不同的种植方法 法二 (间接法

19、 )：从 4 种蔬菜中选出3种种在三块地上，有43 224 种方法，其中不 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 种黄瓜有32 16 种方法，故共有24 618 种不同的种植方法 4设集合A 1,0,1，集合B0,1,2,3 ，定义A*B(x，y)|xAB，yAB， 则A*B中元素个数是( ) A 7 B10 C25 D 52 解析：选B AB0,1 ，AB 1,0,1,2,3，x有 2 种取法，y有 5 种取法由分 步乘法计数原理得2510. 5用 1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相 邻出现，这样的四位数有( ) A 36个B18 个 C9 个D

20、 6个 解析：选 B 分三步完成， 1,2,3这三个数中必有某一个数字被重复使用2 次 第 1 步，确定哪一个数字被重复使用2 次，有 3 种方法； 第 2 步，把这2 个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3 种方法； 第 3 步，将余下的2 个数字排在四位数余下的两个位置上，有2 种方法 故有 33 218 个不同的四位数 二、填空题 6加工某个零件分三道工序第一道工序有5 人，第二道工序有6 人，第三道工序有 4 人，从中选3 人每人做一道工序，则选法有_种 解析：从第一、第二、第三道工序中各选一人的方法数依次为5,6,4，由分步乘法计数 原理知，选法总数为N5 64120. 答案：

21、 120 7如图，从AC有_种不同的走法 解析：分为两类， 不过B点有 2种走法， 过B点有 224 种走法， 共有 42 6种走 法 答案： 6 8.如图所示，由电键组A，B组成的串联电路中，合上两个电键使电灯 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 发光的方法有 _种 解析：只有在合上A组两个电键中的任意一个之后，再合上B组三个电键中的任意一 个，才能使电灯发光根据分步乘法计数原理共有236 种不同的方法接通电源，使电灯 发光 答案： 6 三、解答题 9若直线方程AxBy0 中的A，B可以从 0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数 字，则方程所表示的不同直线共有多少条？ 解：分两

22、类完成： 第 1 类，当A或B中有一个为0 时，表示的直线为x0 或y0，共 2 条 第 2 类，当A，B不为 0 时，直线AxBy 0被确定需分两步完成： 第 1 步，确定A的值，有4种不同的方法； 第 2 步，确定B的值，有3种不同的方法 由分步乘法计数原理知，共可确定4312 条直线 由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有21214 条 10设有 5 幅不同的国画，2 幅不同的油画，7 幅不同的水彩画 (1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (2)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？ 解： (1)分三步完成：第一步选国画有5

23、 种；第二步选油画有2种；第三步选水彩画有7 种根据分步乘法计数原理得，共有5 2770 种不同的选法 (2)分三类：第一类，选国画和油画共有5210 种；第二类，选国画和水彩画共有5 735 种；第三类，选油画和水彩画共有2714 种根据分类加法计数原理共有10 35 1459种不同的选法 11.如图所示，要给“三”“维”“设”“计”四个区域分别涂上3 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须 涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？ 解： “三” “维” “设”“计”四个区域依次涂色，分四步完成： 第 1 步，涂“三”区域，有3种选择； 第 2 步，涂“维”区域，有2种选择； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 3 步，涂“设”区域，由于它与“三”“维”区域颜色不同，有1种选择； 第 4 步，涂“计”区域，由于它与“维”“设”区域颜色不同，有1种选择 所以根据分步乘法计数原理，共有3211 6种不同的涂色方法