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1、第 1 页 共 13 页 绝密启封并使用完毕前 普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1 至 3 页，第卷 4 至 6 页。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴 的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第卷必须用0.5 毫米黑色签字笔书写作答. 若在试题 卷上作答，答案无效。 3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回
2、。 第卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）已知集合A=x|x=3n+2,n N,B=6,8,12,14,则集合 A B中元素的个数为 （A） 5 （B）4 （ C）3 （D）2 （2）已知点A（0,1 ） ， B （3,2 ） ，向量AC uuu r =（-4 ， -3） ，则向量BC uuu r = （A） （-7， -4）（B ） （7,4 ）（C） （ -1,4 ）（D） （ 1， 4 ） （3）已知复数z 满足（ z-1 ）i=i+1 ，则 z= （A）-2-I （B） -2+I （C） 2-I （D）2+i
3、（4）如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从 1， 2， 3 ， 4 ， 5中任取 3 个不同的数，则 3 个数构成一组勾股数的概率为 （A） 10 3 （B ） 1 5 （C） 1 10 （D） 1 20 （5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为 1 2 ， E 的右焦点与抛物线C：y2=8x 的焦点重合， A， B 是 C的准线与E的两个焦点，则 |AB|= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 第 2 页 共 13 页 （6） 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角， 下周八尺，高五尺。问 :积及为
4、米几何?”其意思为 :“在屋内墙角处堆放米( 如图，米堆为一个 圆锥的四分之一) ，米堆底部的弧度为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各 为多少 ?”已知 1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14 斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 （7）已知是公差为1 的等差数列，则=4，= （A）（ B）（C）10 （D）12 （8）函数 f(x)=的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为 （A） （k-, k-）,k （A） （2k-, 2k-）,k 第 3 页 共 13 页 （A） （k-, k-）,k （A） （2k-, 2k-）,k
5、 （9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01 ，则输出的n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （10）已知函数，且 f （a）=-3 ，则 f （6-a ）= （A）- 7 4 （ B ）- 5 4 （C）- 3 4 （D）- 1 4 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的 正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20，则 r= 第 4 页 共 13 页 （A）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 （12）设函数y=f （x）的图像关于直线y=-x 对称，且 f （-2 ）+f （-4 ）=1，则 a= （A）-1 （
6、B）1 （C） 2 （D）4 第卷 注意事项： 第卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答，答案无效。 本卷包括必考题和选考题两部分。第13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第 22 题 第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二. 填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分 （13）在数列 an中， a 1=2,an+1=2an, Sn为an 的前 n 项和。若 -Sn=126，则 n=. （14）已知函数f(x)=ax 3+x+1 的图像在点（ 1， f(1)）处的切线过点（2,7 ） ，则 a= . （15）x,y 满足约束条件，则 z=3x+y 的最
7、大值为 . （16）已知 F 是双曲线C：x 2- 8 2 y =1 的右焦点， P 是 C的左支上一点， A （0,66）. 当 APF 周长最小是，该三角形的面积为 第 5 页 共 13 页 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17） （本小题满分12 分） 已知 a， b ， c分别为 ABC内角 A， B ， C 的对边， sin 2B=2sinAsinC （）若a=b，求 cosB； （）设B=90，且 a=2，求 ABC的面积 （18） （本小题满分12 分） 如图，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC与 BD的交点， BE 平面 ABCD. （）证明：平面
8、AEC 平面 BED ； （）若 ABC=120 ， AE EC ，三棱锥 ACD的体积为 3 6 ，求该三棱锥的侧面积 （19） （本小题满分12 分） 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售 量 y （单位：t） 和年利润 z （单位： 千元）的影响，对近 8 年的年宣传费和年销售量（i=1,2 ， ， 8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 第 6 页 共 13 页 x r y u r w u r 8 2 1 () i i xx 8 2 1 () i i ww 8 1 ()() ii i xxyy 8 1 ()() ii i w
9、wyy 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 w1 =x1, ， w u r = 1 8 8 1i w 1 （）根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （）以知这种产品的年利率z 与 x、 y 的关系为z=0.2y-x 。根据（）的结果回答下列问题： （i ） 年宣传费x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1）, （u
10、2 v2） （un vn）, 其回归线v=u 的斜率和截距的 最小二乘估计分别为： 第 7 页 共 13 页 （20） （本小题满分12 分） 已知过点A(0,1) 且斜率为k 的直线 l 与圆 C(x-2) 2+(y-3)2=1 交于 M,N两点 . （1）求 K的取值范围； （2）若OM uuuu r ON uuu r =12 ，其中 0 为坐标原点，求 MN . （21）. （本小题满分12 分） 设函数x。 （）讨论( )f x的导函数( )fx零点的个数； （）证明：当0a时， 2 ( )2lnf xaa a 。 请考生在第22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一
11、题计分。作答时 请写清题号。 （22） （本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲 如图， AB 是O的直径， AC 是O的切线， BC 交O于点 E。 （）若 D为 AC的中点，证明： DE是O的切线； （）若 CA=3CE ，求 ACB的大小。 第 8 页 共 13 页 （23） （本小题满分10 分）选修4-4 ；坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中。直线 1 C:2x，圆 2 C： 22 121xy, 以坐标原点 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （I ）求 1 C， 2 C的极坐标方程； （II ） 若直线 3 C的极坐标方程为 4 R， 设2C与3C的交点为M,N
12、, 求2C MNV 的面积 （24） （本小题满分10 分）选修4-5 ：不等式选讲 已知函数( )|1|2 |,0f xxxaa. （）当1a时，求不等式( )1f x的解集； （）若( )f x的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 第 9 页 共 13 页 2015 年文科数学参考答案 一选择题 （1） D （2）A （ 3）C （4）C （5）B （6）B （7） B （8）D （ 9）C （10）A （11） B （12）C 二填空题 （13）6 （14）1 （ 15）4 （16）12 6 三解答题 （17）解： （）由题设及正弦定理可得 2 2bac 又ab，可得2 ,
13、2bc ac 由余弦定理可得 222 1 cos 24 acb B ac 6 分 （）由（）知 2 2bac 因为90B o， 由勾股定理得 222 acb 故 22 2acac，得2ca 所以ABCV的面积为112 分 （18）解： （）因为四边形ABCD 为菱形，所以ACBD 因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED 又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED5 分 （）设ABx，在菱形ABCD中，由120ABC o ，可得 3 , 22 x AGGCx GBGD 因为AE EC， 所以在 Rt AECV 中，可得 3 2 EGx 第 10 页 共 13 页 由BE平面ABCD
14、，知 EBGV 为直角三角形，可得 2 2 BEx 由已知得，三棱锥EACD的体积 31166 32243 EACD VAC GD BExgg 故2x9 分 从而可得6AEECED 所以EACV的面积为3，EADV的面积与ECDV的面积均为5 故三棱锥EACD的侧面积为32 512 分 （19）解： （）由散点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程 类型2 分 （）令wx，先建立y关于w的线性回归方程，由于 8 1 8 2 1 ()() 108.8 68 1.6 () ii i i i wwyy d ww 563686.8100.6cyd w 所以y关于w的线性回归方程
15、为 100.668yw，因此y关于x的线性回归方程 100.668yx6 分 （）（）由（）知，当49x时，年销售量y的预报值 100.66849576.6y 年利润z的预报值 576.6 0.24966.32z9 分 （）根据（）的结果知，年利润z的预报值 0.2(100.668)13.620.12zxxxx 第 11 页 共 13 页 所以，当 13.6 6.8 2 x，即46.24x时， z取得最大值， 故年宣传费为46.24 千元时，年利润的预报值最大12 分 （20）解： （）由题设，可知直线l的方程为1ykx 因为l与C交于两点，所以 2 | 231| 1 1 k k 解得 474
16、7 33 k 所以k的取值范围为 4747 (,) 33 5 分 （）设 1122 (,),(,)M xyN xy 将1ykx代入方程 22 (2)(3)1xy，整理得 22 (1)4(1)70kxk x 所以 121222 4(1)7 , 11 k xxx x kk 7 分 1212 OM ONx xy y u uuu r uu u r g 2 1212 (1)()1kx xk xx 2 4 (1) 8 1 kk k 由题设可得 2 4 (1) 812 1 kk k ，解得 1k ，所以l的方程为1yx 故圆心C在l上，所以|2MN12 分 （21）解： （）( )f x的定义域为(0,)，
17、 2 ( )2(0) x a fxex x 当0a时，( )0fx，( )fx没有零点； 当0a时，因为 2x e单调递增， a x 单调递增，所以( )fx在(0,)单调递增，又 第 12 页 共 13 页 ( )0fa，当b满足0 4 a b且 1 4 b时，( )0fb，故当0a时，( )fx存在唯一 零点 6 分 （）由（） ，可设( )fx在(0,)的唯一零点为 0 x，当 0 (0,)xx时，( )0fx；当 0 (,)xx时，( )0fx 故( )f x在 0 (0,)x单调递减，在 0 (,)x单调递增，所以当 0 xx时，( )f x取得最 小值，最小值为 0 ()f x 由
18、于 0 2 0 20 xa e x ，所以 00 0 22 ()2ln2ln 2 a f xaxaaa xaa 故当0a时， 2 ( )2lnf xaa a 12 分 （22）解： （）连结AE，由已知得，,AEBC ACAB 在 Rt AECV 中 ，由 已 知 得 ， DEDC ，故 DECDCE 连结OE，则OBEOEB 又90ACBABC o ，所以90DECOEB o， 故90OED o ， DE是Oe的切线5 分 （）设1,CEAEx，由已知得 2 2 3,12ABBEx 由射影定理可得， 2 AECE BEg，所以 22 12xx，即 42 120xx 可得3x，所以60ACB
19、o 10 分 （24）解： （）当 1a 时，( )1f x化为|1|2 |1|10xx 当1x时，不等式化为40x，无解； 当11x时，不等式化为320x，解得 2 1 3 x； 当1x时，不等式化为20x，解得12x 第 13 页 共 13 页 所以( )1f x的解集为 2 |2 3 xx5 分 （）由题设可得， 12 ,1, ( )312 , 1, 12 ,. xa x f xxaxa xa xa 所 以 函 数( )f x的 图 像 与x轴 围 成 的 三 角 形 的 三 个 顶 点 分 别 为 21 (,0) 3 a A， (21,0)Ba，( ,1)C a a，ABCV的面积为 2 2 (1) 3 a 由题设得 2 2 (1)6 3 a，故2a 所以a的取值范围为(2,)10 分 （23）解： （）因为cos ,sinxy，所以 1 C的极坐标方程为cos2， 2 C的极坐 标方程为 2 2cos4sin405 分 （）将 4 代入 2 2cos4sin40，得 2 3 240，解得 12 2 2,2，故 12 2，即|2MN 由于 2 C的半径为1，所以 2 C MNV的面积为 1 2 10 分