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1、学业分层测评 (建议用时： 45 分钟) 学业达标 一、选择题 1已知 O 是坐标原点， F 是椭圆 x2 4 y 2 3 1 的一个焦点，过F 且 与 x 轴垂直的直线与椭圆交于M，N 两点，则 cosMON 的值为() A. 5 13 B 5 13 C.2 13 13 D 2 13 13 【解析】由题意， a24，b 23， 故 ca2b2431. 不妨设 M(1，y0)，N(1，y0)，所以 12 4 y 2 0 3 1， 解得 y0 3 2， 所以|MN|3，|OM|ON|1 2 3 2 2 13 2 . 由 余 弦 定 理 知cos MON |OM| 2|ON|2|MN|2 2|OM
2、|ON| 13 2 2 13 2 2 3 2 2 13 2 13 2 5 13. 【答案】B 2椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心 率为() A.1 2 B.1 3 C.1 4 D. 2 2 【解析】由题意知 a2c，e c a c 2c 1 2. 【答案】A 3曲线 x 2 25 y 2 9 1 与 x 2 9k y 2 25k1(0b0)， 由题意得 |PF2|b 2 a 2c， 即a 2c2 a 2c， 得离心率 e21，故选 B. 【答案】B 2 “m3”是“椭圆 x 2 4 y 2 m1 的离心率为 1 2”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件
3、 D既不充分也不必要条件 【解析】椭圆 x2 4 y 2 m1 的离心率为 1 2 ， 当 04 时， m4 m 1 2，得 m 16 3 ， 即“m3”是“椭圆 x 2 4 y 2 m1 的离心率为 1 2”的充分不必要条件 【答案】A 3(2019 济南历城高二期末 )已知椭圆 x2 a 2 y2 b 21(ab0)的左焦点 为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BFx 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P.若AP 2PB ，则椭圆的离心率是 _ 【解析】由AP 2PB ，得|AO|2|FO|(O 为坐标原点 )，即 a2c， 则离心率 e 1 2. 【答案】 1 2 4已知点 A，B
4、 分别是椭圆 x2 36 y2 201 的左、右顶点，点 F 是椭 圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x 轴上方， PAPF. (1)求点 P 的坐标；【导学号： 18490049】 (2)设M 是椭圆长轴 AB上的一点，且 M到直线 AP的距离等于 |MB|， 求椭圆上的点到点M 的距离 d 的最小值 【解】(1)由已知可得 A(6，0)，B(6，0)，F(4，0)， 设点 P 的坐标是 (x，y)， 则AP (x6，y)，FP (x4，y) 由已知得 x2 36 y2 201， （x6）（x4）y20， 则 2x29x180，解得 x3 2或 x6. 由于 y0，所以只能取 x3 2，于是 y 5 2 3. 所以点 P的坐标是 3 2， 5 2 3 . (2)直线 AP 的方程是 x3y60. 设点 M 的坐标是 (m，0)， 则 M 到直线 AP 的距离是 |m6| 2 ，又 B(6，0)， 于是 |m6| 2 |m6|， 又6m6，解得 m2， 设椭圆上的点 (x，y)到点 M 的距离为 d，有 d2(x2)2y 2x24x4205 9x 2 4 9 x 9 2 215， 由于6x6，所以当 x9 2时，d 取最小值为 15.