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1、学业分层测评 (建议用时： 45 分钟) 学业达标 一、选择题 1 如图 3-2-28， 在空间直角坐标系Dxyz中， 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 为长方体， AA1AB2AD，点 E，F 分别为 C1D1，A1B 的中点，则二 面角 B1-A1B- E 的余弦值为 () 【导学号： 18490121】 图 3-2-28 A 3 3 B 3 2 C. 3 3 D. 3 2 【解析】设 AD1，则 A1(1，0，2)，B(1，2，0)，因为E，F 分别为 C1D1，A1B 的中点，所以 E(0，1，2)，F(1，1，1)，所以A1E (1，1，0)，A1B (0，2，2)，设 m(x，y
2、，z)是平面 A1BE 的法向 量，则 A1E m0， A1B m0， 所以 xy0， 2y2z0， 所以 yx， yz， 取 x1，则 yz 1， 所以平面 A1BE 的一个法向量为 m(1， 1， 1)， 又 DA平面 A1B1B， 所以DA (1，0，0)是平面 A1B1B 的一个法向量，所以cosm，DA m DA |m|DA | 1 3 3 3 ，又二面角 B1-A1B-E 为锐二面角，所以二面角B1 - A1B- E 的余弦值为 3 3 ，故选 C. 【答案】C 2已知 A(0，1，1)，B(2，1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)， 则直线 AB与直线 CD 所成角的余弦
3、值为 () A.5 22 66 B 5 22 66 C.5 22 22 D 5 22 22 【解析】AB (2，2，1)，CD (2，3，3)， cosAB ，CD AB CD |AB |CD | 5 322 5 22 66 ， 直线 AB，CD 所成角的余弦值为 5 22 66 . 【答案】A 3正方形 ABCD 所在平面外一点P，PA平面 ABCD，若 PA AB，则平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为 () A30B45 C60D90 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系， 设 PAAB1.则 A(0， 0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)于是 AD (0，1，0) 取 PD
4、中点为 E， 则 E 0，1 2， 1 2 ，AE 0，1 2， 1 2 ， 易知AD 是平面 PAB 的法向量， AE 是平面 PCD 的法向量， cos AD ，AE 2 2 ， 平面 PAB与平面 PCD 的夹角为 45. 【答案】B 4若异面直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角为150，则 l1与 l2所成的角为 () A30B150 C30或 150D以上均不对 【解析】l1与 l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异 面直线所成角的范围为0， 2 .应选 A. 【答案】A 5.如图 3-2-29，空间正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是 CD， CC1
5、的中点，则异面直线A1M 与 DN 所成角的大小是 () 图 3-2-29 A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【解析】以 D 为原点， DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系， 则A1M 1， 1 2，1 ，DN 0，1，1 2 ， cosA1M ，DN A1M DN |A1M |DN | 0. A1M ，DN 2 . 【答案】D 二、填空题 6在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别为 A1B1， BB1的中点，则异面直线AM 与 CN 所成角的余弦值是 _ 【解析】依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1，0，0)， M 1， 1 2，1 ，C(0，1，0)，
6、N 1，1， 1 2 ， AM 0， 1 2，1 ， CN 1，0，1 2 ， cosAM ，CN 1 2 5 2 5 2 2 5， 故异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 2 5. 【答案】 2 5 7在空间直角坐标系Oxyz中，已知 A(1，2，0)，B(2，1， 6)， 则向量AB 与平面 xOz的法向量的夹角的正弦值为_ 【解析】设平面 xOz的法向量为 n(0，t，0)(t0)，AB (1， 3, 6)，所以 cosn，AB n AB |n| |AB | 3t 4|t| ，因为 n，AB 0， 所以 sinn，AB 1 3t 4|t| 2 7 4 . 【答案】 7 4 8已知点
7、 E，F 分别在正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 BB1，CC1上， 且 B1E2EB，CF2FC1，则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正 切值等于 _ 【解析】如图，建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为1，平面 ABC 的法向量为 n1(0，0，1)，平面 AEF 的法向量为 n2(x，y，z) 所以 A(1，0，0)，E 1，1，1 3 ，F 0，1， 2 3 ， 所以AE 0，1，1 3 ，EF 1，0，1 3 ， 则 n2AE 0， n2EF 0， 即 y 1 3z0， x1 3z0. 取 x1，则 y1，z3.故 n2(1， 1，3) 所以 cosn1，n2 n1n
8、2 |n1|n2| 3 11 11 . 所以平面 AEF与平面 ABC所成的二面角的平面角 满足 cos 3 11 11 ，sin 22 11 ，所以 tan 2 3 . 【答案】 2 3 三、解答题 9.如图 3-2-30 所示，在四面体 ABCD 中，O，E 分别是 BD，BC 的 中点，CACBCDBD2，ABAD2. 【导学号： 18490119 】 图 3-2-30 (1)求证：AO平面 BCD； (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值 【解】(1)证明：连接 OC， 由题意知 BODO，ABAD， AOBD. 又 BODO，BCCD，COBD. 在AOC 中，由已知可得A
9、O1，CO3， 又 AC2，AO2CO2AC 2， AOC90，即 AOOC. BDOCO，AO平面 BCD. (2)以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则 B(1，0，0)，D(1，0，0)，C(0, 3，0)，A(0，0，1)， E 1 2， 3 2 ，0 ， BA (1，0，1)，CD (1，3，0)， cosBA ，CD BA CD |BA | |CD | 2 4 . 异面直线 AB与 CD 所成角的余弦值为 2 4 . 10四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形， PD底面 ABCD，点 E 在 棱 PB 上 (1)求证：平面 AEC平面 PDB； (2)当 PD 2AB 且 E
10、为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的 角的大小 【解】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设 ABa， PDh，则 A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0，0，0)，P(0，0，h)， (1)AC (a，a，0)，DP (0，0，h)，DB (a，a，0)， AC DP 0，AC DB 0， ACDP，ACDB，又 DPDBD， AC平面 PDB， 又 AC? 平面 AEC，平面 AEC平面 PDB. (2)当 PD2AB 且E 为PB 的中点 时 ，P(0，0，2a)， E 1 2a， 1 2a， 2 2 a ， 设 ACBDO，O a 2，
11、 a 2，0 ，连接 OE，由(1)知 AC平面 PDB 于 O， AEO 为 AE与平面 PDB 所成的角， EA 1 2a， 1 2a， 2 2 a ，EO 0，0， 2 2 a ， cosAEO EA EO |EA |EO | 2 2 ， AEO45，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45. 能力提升 1已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E 是 侧棱 BB1的中点，则直线AE与平面 A1ED1所成角的大小为 () A60B90 C45D以上都不对 【解析】以点 D 为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系，
12、如图 由题意知， A1(1，0，2)，E(1，1，1)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)， 所以A1E (0，1，1)，D1E (1，1，1)，EA (0，1，1) 设平面 A1ED1的一个法向量为n(x，y，z)， 则 n A1E 0， n D1E 0， 得 yz0， xyz0. 令 z1，得 y1，x0，所以 n(0，1，1)， cosn，EA n EA |n|EA | 2 221. 所以n，EA 180. 所以直线 AE 与平面 A1ED1所成的角为 90. 【答案】B 2.在三棱柱 ABC-A1B1C1中，CACC12CB，则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为 () 图 3-
13、2-31 A. 5 5 B. 5 3 C.2 5 5 D. 3 5 【解析】不妨设 CACC12CB2， 则AB1 (2，2，1)，C1B (0，2，1)， 所以 cosAB1 ，C1B AB1 C1B |AB1 |C1B | （2）02（2）11 95 5 5 . 因为直线 BC1与直线 AB1的夹角为锐角，所以所求角的余弦值为 5 5 . 【答案】A 3在空间中，已知平面 过(3，0，0)和(0，4，0)及 z轴上一点 (0， 0，a)(a0)，如果平面 与平面 xOy 的夹角为 45，则 a_ 【解析】平面 xOy 的法向量为 n(0，0，1)，设平面 的法向 量为 u(x，y，z)，则
14、 3x4y0， 3xaz0， 即 3x4yaz，取 z1，则 u a 3， a 4，1 . 而 cosn，u 1 a2 9 a 2 161 2 2 ， 又a0，a12 5 . 【答案】 12 5 4.如图 3-2-32，在直三棱柱 A1B1C1- ABC 中，ABAC，ABAC 2，A1A4，点 D 是 BC 的中点 图 3-2-32 (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值； (2)求平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值 . 【导学号： 18490120】 【解】(1)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，
15、C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0， 4) ，C1(0，2，4)， 所以A1B (2，0，4)，C1D (1，1，4). 因为 cosA1B ，C1D A1B C1D |A1B |C1D | 18 2018 3 10 10 ， 所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 3 10 10 . (2)设平面 ADC1的法向量为 n1(x，y，z)，因为 AD (1，1，0)， AC1 (0，2，4)，所以 n1AD 0，n1AC1 0，即 xy0 且 y2z 0，取 z1，得 x2，y2，所以 n1(2，2，1)是平面 ADC1 的一个法向量取平面AA1B 的一个法向量为n2(0，1，0)，设平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的大小为 . 由|cos | n1n2 |n1|n2| 2 91 2 3， 得 sin 5 3 . 因此，平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值为 5 3 .