《高中数学人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.3.2Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.3.2Word版含答案.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、学业分层测评 (建议用时： 45 分钟) 学业达标 一、选择题 1若实数 k 满足 00，16k0，故方程 x2 16 y2 5k1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4， 虚半轴的长为5k， 焦距 2c221k，离心率 e 21k 4 ；同理方程 x 2 16k y2 5 1 也表示 焦点在 x 轴上的双曲线，实半轴的长为16k，虚半轴的长为5，焦 距 2c221k，离心率 e 21k 16k.可知两曲线的焦距相等，故选 D. 【答案】D 2已知双曲线方程为x2y 2 4 1，过 P(1，0)的直线 l 与双曲线只 有一个公共点，则共有l() A4 条B3 条 C2 条D1 条 【
2、解析】因为双曲线方程为x2 y2 4 1，所以 P(1，0)是双曲线的 右顶点，所以过P(1，0)并且和 x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线， 与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1，0)分别和两条 渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3 条，故选 B. 【答案】B 3双曲线 C： x2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的离心率为 2，焦点到渐近线 的距离为3，则双曲线 C 的焦距等于 () 【导学号： 18490063 】 A2B2 2 C4D4 2 【解析】由已知得 ec a2，所以 a 1 2c，故 b c2a2 3 2 c， 从而双曲线的渐近线方程为y b ax 3x
3、， 由焦点到渐近线的距离为 3，得 3 2 c3，解得 c2，故 2c4，故选 C. 【答案】C 4等轴双曲线的一个焦点是F1(6，0)，则它的标准方程是 () A. y2 18 x 2 181 B. x2 18 y2 181 C.x 2 8 y2 8 1 D. y 2 8 x 2 8 1 【解析】设等轴双曲线方程为 x 2 a2 y 2 a21(a0)， a2a262，a218，故双曲线方程为 x 2 18 y 2 181. 【答案】B 5双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为() A2 B.3 C. 2 D. 3 2 【解析】双曲线为等轴双曲线， 两条渐近线方程为y x， 即 b a
4、1，ec a 2. 【答案】C 二、填空题 6在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 x2 m y2 m 241 的离心率为 5，则 m 的值为_ 【解析】c2mm 24， e2 c 2 a 2mm 24 m 5， m 24m40，m2. 【答案】2 7 已知 F 为双曲线 C： x2 9 y2 161 的左焦点，P， Q 为 C 上的点若 PQ 的长等于虚轴长的2 倍，点 A(5，0)在线段 PQ 上，则 PQF 的周 长为_ 【解析】由双曲线方程知， b4，a3，c5，则虚轴长为 8， 则|PQ|16.由左焦点F(5，0)，且 A(5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点， 则 P，Q
5、 都在双曲线的右支上 由双曲线的定义可 知|PF|PA|2a， |QF|QA|2a， 两式相加得，|PF|QF|(|PA|QA|) 4a，则|PF|QF|4a|PQ|431628，故PQF 的周长为 28 1644. 【答案】44 8设直线 x3ym0(m0)与双曲线 x 2 a 2y 2 b 21(a0，b0)的两 条渐近线分别交于点A，B，若点 P(m，0)满足|PA|PB|，则该双曲线 的离心率是 _ 【解析】由 x3ym0， yb ax， 得点 A 的坐标为： am 3ba， bm 3ba ， 由 x3ym0， y b ax， 得点 B 的坐标为 am 3ba， bm 3ba ， 则
6、AB的中点 C 的坐标为 a 2m 9b 2a2， 3b 2m 9b 2a2， kAB 1 3 ， kCP 3b 2m 9b 2a2 a 2m 9b2a2m 3， 即 3b2 a 2（9b2a2）3，化简得 a 24b2， 即 a24(c2a2)，4c25a2， e2 5 4，e 5 2 . 【答案】 5 2 三、解答题 9双曲线与椭圆 x2 16 y 2 641 有相同的焦点，它的一条渐近线为 y x，求双曲线的标准方程和离心率 【解】由椭圆 x2 16 y2 641，知 c 2641648，且焦点在 y 轴上， 双曲线的一条渐近线为yx， 设双曲线方程为 y2 a 2 x2 a 21. 又
7、 c 22a248，a224. 所求双曲线的方程为 y2 24 x2 241. 由 a224，c 248， 得 e 2c 2 a 22， 又 e0，e2. 10已知双曲线 x2 3 y2 b21 的右焦点为 (2，0) (1)求双曲线的方程； (2)求双曲线的渐近线与直线x2 围成的三角形的面积 【解】(1)双曲线的右焦点坐标为 (2，0)，且双曲线方程为 x2 3 y 2 b 21，c2a2b23b24，b21， 双曲线的方程为 x2 3 y21. (2)a3，b1， 双曲线的渐近线方程为y 3 3 x， 令 x2，则 y 2 3 3 ， 设直线 x2 与双曲线的渐近线的交点为A，B， 则|
8、AB|4 3 3， 记双曲线的渐近线与直线x2 围成的三角形的面 积为 S， 则 S 1 2 4 3 324 3 3. 能力提升 1已知双曲线 x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两条渐近线均与曲线 C： x 2y26x50 相切，则该双曲线的离心率等于 () A.3 5 5 B. 6 2 C.3 2 D. 5 5 【解析】曲线 C 的标准方程为 (x3) 2y24，所以圆心坐标为 C(3，0)，半径 r2，双曲线的渐近线为y b ax，不妨取 y b ax，即 bx ay0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d |3b| a 2b2 2，即 9b24(a2b 2)，所以 5b24
9、a2，b24 5a 2c2a2，即9 5a 2c2，所 以 e 29 5，e 3 5 5 ，选 A. 【答案】A 2设 F1，F2分别为双曲线 x 2 a 2y 2 b 21(a0，b0)的左、右焦点若 在双曲线右支上存在点P，满足 |PF2|F1F2|，且 F2到直线 PF1的距离 等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为() A3x4y0 B3x5y0 C5x4y0 D4x3y0 【解析】由题意可知 |PF2|F1F2|2c，所以PF1F2为等腰三角 形，所以由 F2向直线 PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线 PF1的距 离等于双曲线的实轴长2a， 所以|PF1|24c24a24b
10、， 又|PF1|PF2| 2a，所以 4b2c2a，所以 2bac，两边平方可得4b24aba2 c2a2b2，所以 3b 24ab，所以 4a3b，从而b a 4 3，所以该双曲线 的渐近线方程为4x 3y0，故选 D. 【答案】D 3过双曲线 x2y 2 3 1 的左焦点 F1，作倾斜角为 6 的直线 AB，其 中 A，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为 _ 【解析】双曲线的左焦点为F1(2，0)， 将直线 AB 的方程 y 3 3 (x2)代入双曲线方程， 得 8x24x130.显然 0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1x2 1 2，x1x2 13 8 ， |
11、AB|1k2（x1x2） 24x 1x2 1 1 3 1 2 2 4 13 8 3. 【答案】3 4已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为 (2，0)，右顶点为 (3， 0) (1)求双曲线 C 的方程；【导学号： 18490064】 (2)若直线 l：ykx2与双曲线 C 恒有两个不同的交点A 和 B， 且OA OB 2，其中 O 为原点，求 k 的取值范围 【解】(1)设双曲线 C 的方程为 x2 a2 y2 b 21(a0，b0)，由已知得 a 3，c2. 又因为 a2b 2c2，所以 b21， 故双曲线 C 的方程为 x2 3 y 21. (2)将 ykx2代入 x2 3 y21 中， 得(13k2)x26 2kx90， 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得： 13k 20， （ 6 2k）236（13k 2）0， 即 k 21 3且 k 22 得 xAxByAyB2， 而 xAxByAyBxAxB(kxA2)(kxB 2) (k21)xAxB2k(xAxB)2 (k21) 9 13k2 2k6 2k 13k 2 23k 27 3k21 ， 于是 3k 27 3k 212， 解此不等式得 1 3k 23. 由得 1 3k 21. 故 k 的取值范围是 1， 3 3 3 3 ，1 .