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1、1 高考数学压轴题常考题型81页 高考数学压轴题常考题型20 组 类 型 1 二次函数 2 复合函数 3 创新性函数 4 抽象函数 5 导函数（极值，单调区间） - 不等式 6 函数在实际中的应用 7 函数与数列综合 8 数列的概念和性质 9Sn与 an 的关系 10 创新型数列 11 数列与不等式 12 数列与解析几何 13 椭圆 14 双曲线 15 抛物线 16 解析几何中的参数范围问题 17 解析几何中的最值问题 18 解析几何中的定值问题 19 解析几何与向量 20 探究性问题 2 1. 二次函数 例 1. 对于函数 2 ( )(1)2 (0)fxaxbxba ， 若存在实数 0 x
2、， 使 00 ()f xx 成立，则称 0 x 为 ( )f x 的不动点 （1）当 2,2ab 时，求 ( )f x 的不动点； （2）若对于任何实数 b， 函数 ( )fx 恒有两个相异的不动点，求实数 a 的取值范围； （3）在 (2) 的条件下，若 ( )yf x 的图象上 ,A B 两点的横坐标是函数 ( )f x 的不动点，且直线 2 1 21 ykx a 是线段 AB的垂直平分线， 求实数 b的取值范围 分析本题考查二次函数的性质、直线等基础知识，及综合分析问题的能力 函数与方程思想 解： 2 ( )(1)2 (0)f xaxbxba ， （1）当 2,2ab 时， 2 ( )2
3、4f xxx 设 x 为其不动点，即 2 24xxx ，则 2 2240xx 所以 12 1,2xx ，即 ( )f x 的不动点 是 1,2 . （2）由 ( )f xx 得 2 20axbxb . 由已知，此方程有相异二实根，所以 2 4 (2)0 a ba b ，即 2 480baba 对任意 bR恒 成立 2 0,16320 b aa ， 02a （3）设 1122 (,),(,)A xyB xy ，直线 2 1 21 ykx a 是线段 AB的垂直平分线， 1k 记AB的中点 00 (,)M xx ，由(2) 知 0 2 b x a 2 12 ( )20, b f xxaxbxbxx
4、 a Q MQ 在 2 1 21 ykx a 上， 2 1 2221 bb aaa 化简得： 2 112 1 2141 2 2 2 a b a a a a a ，当 2 2 a 时，等号成立 3 即 22 , 44 bb 例2 已 知 函 数 2 42fxaxx ，若 对 任 意 1 x ， 2 xR 且 12 xx ，都 有 1212 22 fxfx xx f （）求实数 a 的取值范围； （）对于给定的实数 a ，有一个最小的负数 M a ，使得 ,0xM a 时， 44fx 都 成立，则当 a 为何值时， M a 最小，并求出 M a 的最小值 解 ：（ ） 1212 22 fxfxxx
5、 f 2 22 12121122 222 xxxxaxbxcaxbxc abc 2 12 0 4 a xx ， 12 xx ， 0a 实数 a 的取值范围为 0, （） 2 2 24 422fxaxxa x aa ，显然 02f ，对称轴 2 0x a 。 （1）当 4 24 a ，即0 2a 时， 2 ,0Ma a ，且 4fM a 令 2 424axx ，解得 242a x a ， 此 时 M a 取 较 大 的 根 ，即 2422 422 a M a a a ， 02a ， 2 1 422 Ma a （2）当 4 24 a ，即 2a 时， 2 M a a， 且 4fM a 令 2 42
6、4axx ，解 得 246a x a ，此 时 M a 取 较 小 的 根 ，即 2466 462 a Ma aa ， 2a ， 6 3 462 Ma a 当且仅当 2a 时，取等号 4 31， 当 2a 时， M a 取得最小值 3 2 复合函数 例 1已知函数 fx 满足 1 2 log 1 a a fxxx a ，其中 0a ，且 1a 。 （1）对于函数 fx ，当 1,1x 时， 2 110fmfm ，求实数 m的取值范围； （2）当 ,2x 时， 4fx 的取值范围恰为 ,0 ，求a的取值范围。 解： 0)( 1 )(log 1 2 axx a a xf a 且 )1a 设 xt
7、a log ，则 t ax )( 1 )( 2 tt aa a a tf )( 1 )( 2 xx aa a a xf 当 ) 1 ,0(a 时， 0 1 2 a a x a x a )(xfy 在其定义域上 当 ), 1(a 时， 0 1 2 a a ， x a ， x a )(xfy 在其定义域上 0a 且 1a ，都有 )(xfy 为其定义域上的增函数 又 )()( 1 )( 2 xfaa a a xf xx )(xf 为奇函数 （1） 当 )1 , 1(x 时， 0)1()1 ( 2 mfmf )1()1()1( 22 mfmfmf 11 21111 111 2 2 mm mm m （
8、2）当 )2,(x 时， 4)()(xfxF 在 )2,( 上，且值域为 )0 ,( 04)2()2(fF 4) 1 ( 1 2 2 2 a a a a 4 1 1 2 4 2 a a a a aa41 2 32a 例 2. 函数 fx 是 2 1 101 x yxR 的反函数， g x 的图象与函数 43 1 x y x 的图象关于直线 1xy 成轴对称图形，记 Fxfxg x 。 （1）求 F x 的解析式及其定义域；（2）试问 F x 的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线 AB恰好与 y 轴垂直？若存在，求出 A、B的坐标；若不存在，说明理由。 5 解： （1） 1 110 2 x
9、 y 1 2 110 y x y yx 1 1 10 y y x 1 1 lg )11( 1 1 lg)(x x x xf )(xg 的图象与 1 34 x x y 的图象关于直线 1xy 成轴对称图形 1)(xg 的图象与 1 23 1 1 34 x x x x y 的图象关于直线 xy 对称 即： 1)(xg 是 1 23 x x y 的反函数 xyxy23 3)2(yxy2 3 y y x 2 3 1)( x x xg 2 1 )( x xg )11( 2 1 1 1 lg)()()(x xx x xgxfxF （2） 假设在 )(xF 的图象上存在不同的两点A、 B使得 yl AB 轴
10、， 即 Rc 使得方程 c xx x 2 1 1 1 lg 有两不等实根 设 1 2 1 1 1 xx x t ，则 t在（ 1， 1 ）上 且 0t t t x 1 1 ， 3 1 2 1 t t x Rc 使 得 方 程 c t t t 3 1 lg 有 两 不 等 正 根 3 2 )1( 3 1 lg t c t t ct 设 )lg()(tth ， 3 2 )1()( t ct 由函数图象可知： Rc ，方程 3 2 )1(lg t ct 仅有唯一正根不存在点 A、B符合题意。 3. 设 Ra 且 ea,0 为自然对数的底数，函数 f （x） . 2 )(, 1 2xx ex a xg
11、xe （1）求证：当 1a 时， )()(xgxf 对一切非负实数x 恒成立； 6 （2）对于（0， 1 ）内的任意常数 a，是否存在与 a 有关的正常数 0 x ，使得 )()( 00 xgxf 成 立？如果存在，求出一个符合条件的 0 x ；否则说明理由 . 分析：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决 问题的能力分类讨论、化归（转化）思想方法 解： （1）当 , 1 2 1)()(,0 2 x e x x a xgxfx时 令 ) 1 ()( 1 2 )( 2 xx e axxh e x x a xh 0,1 xa),0)(,0)(在xhxh 上单
12、调递增， )()(1)0()(xgxfhxh （2） 01 1 2 )()( 0 02 000 x e x x a xgxf （1） ， 需求一个 0 x ，使（1）成立，只要求出 1 1 2 )( 2 x e x x a xt 的最小值，满足 ,0)( min xt )ln, 0() 1 ()(a e axxt x 在 上 在 上),ln(a ， 1)1ln(ln 2 )ln()( 2 min aaa a atxt 只需证明 ) 1 , 0(01) 1(lnln 2 2 aaaa a 在 内成立即可， 令 )(0)(ln 2 1 )(1)1ln(ln 2 )( 22 aaaaaa a a 为
13、增函数 ,01)1ln(ln 2 0) 1()( 2 aaa a a 0)( min xt ，故存在与 a 有关的正常数 )10(ln 0 aax 使（1）成立。 3. 创新型函数 例 1. 在 R 上定义运算 1 :4 3 pqpcqbbc （b、c 为实常数） 。记 2 1 2fc ， 2 2fb， R. 令 2 1 fff . （）如果函数 f 在 1处有极值 4 3 , 试确定 b、c 的值； （）求曲线 yf 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点； 7 （）记 |11g xfxx 的最大值为M. 若M k 对任意的b、c 恒成立，试示 k的最大 值。 解： 232 12 11 334
14、 33 fxfxfxxcxbbcxbxcxbc 2 2fxxbxc （）由 fx 在 1x 处有极值 4 3， 可得 1120 14 1 33 fbc fbcbc ，解得 1 1 b c 或 1 3 b c 若 11bc， ，则 2 2 2110fxxxx ，此时 fx 没有极值； 若 13bc， ，则 2 2313fxxxxx 。 当 x变化时， fx 、 fx 的变化情况如下表： x3， 3 3，1 1 (1)， ( )fx 0 + 0 ( )f x单调递减 极 小 值 -12 单调递增极大值 4 3 单调递减 当 1x 是， fx 有极大值 4 3， 故 13bc， 即为所求。 （）设曲
15、线 yfx 在x t处的切线的斜率为 c， 2 2fxxbxc ， 2 2tbtcc， 即 2 20tbt 。解得 0t 或 2tb。 若 0t ，则 0fbc ，得切点为 0,bc ，切线方程为 ycxbc ； 若 2tb， 则 34 23 3 fbbbc ，得切点为 34 2 ,3 3 bbbc ，切线方程为 34 3 ycxbcb 。 若 32321 30 3 xbxcxbccxbcxbx ，解得 12 0xx ， 3 3xb ， 则此时切线 ycxbc 与曲线 yfx 的公共点为 0,bc ， 3 ,4bbc ； (2) 若 32332314 340 33 xbxcxbccxbcbxb
16、xb ， 8 解得 12 2xxb ， 3 xb ， 此时切线 3 4 3 ycxbcb 与曲线 yfx 的公共点为 3 4 2 ,3 3 bbbc ， 3 4 , 3 bb 。 综合可知，当 0b 时，斜率为 c 的切线与曲线 yfx 有且只有一个公共点 0,0 ； 当 0b ， 斜 率为 c 的切线与曲线 yfx 有两个不同的公共点，分别为 0,bc 和 3 ,4bbc 或 34 2 ,3 3 bbbc ， 34 , 3 bb 。 （） 2 2 g xfxxbbc (1) 当 1b 时，函数 ( )yfx 的对称轴 xb位于区间 1,1外，( )fx 在 1,1上的最值在两端点 处取得，故
17、M应是 1g 和 1g 中较大的一个。 211121244Mggbcbcb ，即2M (2) 当 1( )byfx时，函数 得对称轴 x=b位于区间 1,1之内 此时 max( 1),(1), ( )Mggg b 由 2 (1)( 1)4 ,( )( 1)(1)0ffbfbfb m有 若 10,max( 1), ( )bgg b则f (1)f (-1)f (b),g(-1) 于是 2 111 max( 1),( )(1)( ) )(1)( ) )(1) 222 Mffbffbffbb 若 01b ，则， max( 1), ( )gg bg(1) 于是 21111 max( 1),( )( 1)
18、( )( 1)( ) )(1) 2222 Mffbffbffbb 综上，对任意的 b、c 都有 1 2 M 而当， 1 0, 2 bc 时， 21 ( ) 2 g xx 在区间 1,1上的最大值 1 2 M 故M K对任意的 b， c 恒成立的 k 的最大值为 1 2 。 9 例2 设 函 数 1 (0) 11 x x fxx xx xx , 其 中 x 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 如 1 2=2, 0,1.81 3 . ( ) 求 3 ( ) 2 f 的值; ( ) 若在区间 2,3) 上存在 x, 使得 ( )fxk 成立, 求实数 k 的取值范围 ; ( ) 求函数
19、( )f x 的值域 . 解:( ) 因为 32 1,0 23 , 所以 32 313 23 (). 3232 212 1 2323 f ( ) 因为 23x , 所以 1 2,0x x , 则 11 ( )() 3 f xx x . 求导得 2 11 ( )(1) 3 fx x , 当2 3x 时, 显然有 ( )0fx , 所以 ( )f x 在区间 2,3) 上递增 , 即可得 ( )f x 在区间 2,3) 上的值域为 5 10 ,) 69 , 在区间 2,3) 上存在 x, 使得 ( )f xk 成立, 所以 5 6 k ( ) 由于 ( )f x 的表达式关于 x 与 1 x 对称
20、, 且 x 0, 不妨设 x 1. 当 x 1 时, 1 x 1, 则 1 1 2 f ; 当 x 1 时, 设 x n,nN*,01. 则 x n, 1 0 x , 所以 1 () 1 n n fxf n n 1 g xx x Q 设 , 2 1 ( )10,gx x ( )g x 在 1,上是增函数 , 又 1nnn , 11 nnn nnn , 10 当 2x 时, 11 1 1 ,2 11 n nn nn fxInn nn * N 当 (1,2)x 时, 1 5 (1, 4 fxI 故 (1,)x 时, ( )f x 的值域为 I1 I2 In 设 2 2 11 1 11 1 ,1 1
21、11 1 nn nn n nn ab nn nn n , 则 , nnn Iab . 1 2 12 nn n aa n nn Q , 当 n 2 时,a2 a3 a4 an 又 bn单调递减 , b2 b3 bn a2,b2 I2I3I4In 111222 5510 ,1, 469 IabIabQ I1 I2 In I1 I2 551055 1, 46964 U . 综上所述 , ( )fx 的值域为 155 , 264 U 例 3. 我们用 ,min 21n sss 和 ,max 21n sss 分别表示实数 n sss, 21 中的最小者和最大者 . （1）设 cos,minsin)(xx
22、xf ， cos,maxsin)(xxxg ， 2,0x ，函数 )(xf 的值域为 A， 函数 )(xg 的值域为 B， 求 BA ； （ 2 ） 提 出 下 面 的 问 题 ： 设 1 a ， 2 a ， ， n a 为 实 数 ， Rx ，求 函 数 |)( 2211nn xxaxxaxxaxf （ Rxxx n21 ）的最小值或最大值为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，先解决 两个特例：求函数 |1|1|3|2|)(xxxxf 和 |2|2|1|4|1|)(xxxxg 的最值。得出的结 论是： )1 (),1(),2(min)( min fffxf ， 且 )(xf 无最大值； )2
23、(),1 (),1(max)( max gggxg ， 且 )(xg 无最小值请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由； （3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请 选择一种情况加以证明） 解： （1） 2 2 , 1A ， 1 , 2 2 B ， 2 2 , 2 2 BA 11 （2）若选择学生甲的结论，则说明如下， 1,63 11,45 12,2 2,63 )( xx xx xx xx xf ，于是 )(xf 在区间 2,( 上是减函数，在 1,2 上是减函数， 在 1 , 1 上是增函数，在 ), 1 上是增函数，所以函数 )(xf 的
24、最小值是 )1 (),1(),2(minfff ， 且函数 )(xf 没有最大值 若选择学生乙的结论，则说明如下， 2,1 21,95 11,13 1,1 )( xx xx xx xx xg ， 于是 )(xg 在区间 1,( 上是增函数，在 1 , 1 上是增函数，在 2 , 1 上是减函数，在 ), 2 上是减函数所以函数 )(xg 的最大值是 )2(),1(),1(maxggg ，且函 数 )(xg 没有最 小值 （3）结论： 若 0 21n aaa ，则 )(,),(),(min)( 21minn xfxfxfxf ； 若 0 21n aaa ，则 max )(xf)(,),(),(m
25、ax 21n xfxfxf ； 若 0 21n aaa ，则 )(,),(),(min)( 21minn xfxfxfxf ， max )(xf)(,),(),(max 21n xfxfxf 以第一个结论为例证明如下： 0 21n aaa ， 当 ,( 1 xx 时， )()()( 221121nnn xaxaxaxaaaxf ，是减函数， 当 ), n xx 时， )()()( 221121nnn xaxaxaxaaaxf ，是增函数 当 , 1n xxx 时，函数 )(xf 的图像是以点 )( 11 xfx ， )(,( 22 xfx ， )(,( nn xfx 为端点的一 系列互相连接的
26、折线所组成， 所以有 )(,),(),(min)( 21minn xfxfxfxf 4. 抽象函数 12 1. 设 f(x) 是定义在 R上的偶函数，其图象关于直线x=1 对称，对任意 x1、x20, 2 1 , 都有 f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且 f(1)=a0. (1) 求 f( 2 1 ) 、f( 4 1 );(2)证明 f(x) 是周期函数； (3) 记 an=f(n+ n2 1 ), 求 ).(ln limn n a 解： (1) 因为对 x1,x2 0, 2 1 , 都有 f(x1+x2)=f(x1) f(x2),所以 f(x)= ) 2 () 22 ( x f xx
27、 f 0,x 0,1 又因为 f(1)=f( 2 1 + 2 1 )=f( 2 1 ) f( 2 1 )=f( 2 1 ) 2， f( 2 1 )=f( 4 1 +4 1 )=f( 4 1 )f( 4 1 )=f （ 4 1 ） 2 又 f(1)=a0 f( 2 1 )=a 2 1 ,f( 4 1 )=a 4 1 证明： (2) 依题意设 y=f(x) 关于直线 x=1 对称，故 f(x)=f(1+1x), 即 f(x)=f(2x),x R. 又由 f(x) 是偶函数知 f( x)=f(x),xRf( x)=f(2 x),x R. 将上式中 x 以 x 代换得 f(x)=f(x+2)，这表明
28、f(x) 是 R上的周期函数，且 2 是它的一个周期 . 解：(3) 由(1) 知 f(x) 0,x 0,1 f( 2 1 )=f(n n2 1 )=f( n2 1 +(n1) n2 1 )=f( n2 1 )f(n 1) n2 1 ) =f( n2 1 ) f( n2 1 ) f( n2 1 )=f( n2 1 ) =a 2 1 ，f( n2 1 )=a n2 1 . 又f(x) 的一个周期是 2 f(2n+ n2 1 )=f( n2 1 ), 因此 an=a n2 1 ， .0)ln 2 1 ( lim )(ln lim a n a n n n 例 2. 定义在 R上的函数 f(x) 满足
29、：对任意实数m ， n ，总有，且当 x0 时， 04240240 9 m1m29160160 所以 1212 1212 4(400)(400)9 0 (400)(400) mmm m m mmm , 所以 1212 21 1212 4(400)(400)9 ()0 (400)(400) mmm m mm m mmm 即 12 yy 函数 49 400 y mm 在 (160,400) 上为增函 数. 22 所以当 m=160即 4 10x 时取”=”, 函数 y 有最小值 , 所以弧上存在一点，当 4 10x 时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城 B的总影响度最小 . 7. 函数与数列综合 1
30、. 已知函数 xf 与函数 01axay 的图像关于直线 xy 对称 （1）试用含 a的代数式表示函数 xf 的解析式，并指出它的定义域； （2）数列 n a 中， 1 1 a ，当 2n 时， 1 aan 数列 n b 中， 2 1 b ， nn bbbS 21 点 , 3, 2, 1,n n S aP n nn 在函数 xf 的图像上，求 a的值； （ 3 ） 在 （ 2） 的 条 件 下 ，过 点 n P 作 倾 斜 角 为 4 的 直 线 n l ，则 n l 在 轴 上 的 截 距 为 1 3 1 n b ,3 ,2, 1n ，求数列 n a 的通项公式 分析：本小题主要考查反函数的
31、概念、性质、直线、数列等基本知识，考查运用数学归纳法证明问 题的方法，考查分析问题和解决问题的能力。 转化（化归）思想， 解： （1）由题可知： xf 与函数 01axay 互为反函数，所以， 1 2 a x xf ， 0x （2）因为点 , 3 ,2, 1,n n S aP n nn 在函数 xf 的图像上，所以， 1 2 a a n S nn , 3,2, 1n (*) 在上式中令 1n 可得： 1 2 1 1 a a S ，又因为： 1 1 a ， 2 11 bS ，代入可解得： 1a 所以， 1 2 xxf ， (*)式可化为： 1 2 n n a n S , 3,2, 1n （3）直
32、线 n l 的方程为： n n ax n S y ， ,3 ,2, 1n ， 在其中令 0x ，得 n n a n S y ，又因为 n l 在轴上的截距为 1 3 1 n b ，所以， 23 n n a n S = 1 3 1 n b ，结合式可得： 233 2 nnn aab 由可知：当自然数 2n 时， nnaS nn 2 ， 11 2 11 nanS nn ， 两式作差得： 11 2 1 2 nnn annab 结合式得： 1133 2 1 2 nnn anaan Nnn, 2 在中，令 2n ，结合 1 1 a ，可解得： 21 2 或a ， 又因为：当 2n 时， 1 aan ，所
33、以，舍去 1 2 a ，得 2 2 a 同上，在中，依次令 4,3 nn ，可解得： 3 3 a ， 4 4 a 猜想： nanNn 下用数学归纳法证明 （1） 3 ,2, 1n 时，由已知条件及上述求解过程知显然成立 （2） 假设 kn 时命题成立，即 kak 3,kNk且 ， 则由式可得： 132 2 1 2 1kkk kaaak 把 kak 代入上式并解方程得： 1 2 1 2 1 k k kk ak 或 由于 3k ，所以， 0 2 1)1( 2 1 2 k kk k kk ，所以， 2 1 2 1 k kk ak 符合题意，应舍去，故只有 1 1 kak 所以， 1kn 时命题也成立
34、 综上可知：数列 n a 的通项公式为 nan Nn 2、 已知函数 Rxxf x 24 1 ，点 111, yxP ， 222, yxP 是函数 xf 图像上的两个点，且线段 21P P 的中点P的横坐标为 2 1 求证：点 P的纵坐标是定值； 若数列 n a 的通项公式为 mnNm m n fan, 2, 1, ，求数列 n a 的前 m项的和 m S ； 若 Nm 时，不等式 1 1 m m m m S a S a 恒成立，求实数 a 的取值范围 解：由题可知： 1 2 1 2 21 xx ，所以， 24 2 1 4442 444 44424 444 2424 444 24 1 24 1
35、 21 21 2121 21 21 21 21 2121 xx xx xxxx xx xx xx xx xfxfyy 点P的纵坐标 4 1 2 21 yy yP 是定值，问题得证 由可知：对任意自然数 nm, ， 2 1 m nm f m n f 恒成立 由于 m m f m m f m m f m f m fSm 1221 ，故可考虑利用倒写求和的方法即由于： m f m f m m f m m f m m f m m f m m f m m f m f m fSm 1221 1221 所以， 13 6 1 ) 1(21 2 1 2 112211 2 mfm m m f m f m m f
36、m m f m f m m f m fSm 所以， 13 12 1 mSm 13 12 1 mSm ， 23 12 1 1mSm 1 1 m m m m S a S a 等价于 0 2313 1 12 m a m a m 依题意，式应对任意 Nm 恒成立 显然 0a ，因为 0 m a （ Nm ） ，所以，需且只需 0 2313 1 m a m 对任意 Nm 恒成立即： 13 23 m m a 对 Nm 恒成立 记 13 23 m m mg （ Nm ） 0 1323 9 13 23 23 53 1 mmm m m m mgmg ， mg （ Nm ）的最大值为 2 5 1g ， 2 5 a
37、 3 已知函数 ( )ln(1)f xxx ，数列 n a 满足： 1 1 2 a ， 111 ln 2ln() nnnnn aaaf aa （1）求证： ln(1)xx ； （2）求证数列 1 1 n a 是等差数列； （3）求证不等式： 12 ln 2ln(2) n aaannL 分析：本小题主要考查反函数的概念、单调性、导函数、数列、不等式等基本知识，考查综合运用 25 知识分析问题和解决问题的能力。 转化（化归）思想， 解： （1）由 ( )ln(1)f xxx 得 1 ( )1 11 x fx xx 当 10x 时， ( )0fx ，即 ( )yf x 是单调递增函数； 当 0x 时
38、， ( )0fx 即 ( )yf x 是单调递减函数； 且 (0)0f ，即 0x 是极大值点，也是最大值点 ( )ln(1)(0)0ln(1)f xxxfxx ，当 0x 时取到等号。 (4 分) （2）由 111 ln 2ln() nnnnn aaaf aa 得 11 21 nnn aaa ， 1 1 2 n n a a ， 故 1 11 11 22 n n nn a a aa ， 1 11 1 11 nn aa 即数列 1 1 n a 是等差数列，首项为 1 1 2 1a ，公差为 1 (8 分) （3）由（ 2）可知 1 1 1 n n a 1 n n a n 所以 12 111111
39、 111() 1 1211231 n aaan nn LLK 又 0x 时，有 ln(1)xx ，令 1 0 1 x n ，则 112 ln(1)ln 111 n nnn 11134512 ()(lnlnlnlnln) 2312341 nn nn nnn KL 3422 (ln)lnln 2ln(2) 2312 nn nnnn n L 12 ln 2ln(2) n aaannL 4已知函数 f(x)=ln(1+x)-x1 ）求 f(x) 的单调区间；（）记 f(x) 在区间 0, （nN*）上的最小值为bx 令 an=ln(1+n)-bx. （）如果对一切n，不等式 2 2 nn n c aa
40、 a p 恒成立，求实数 c 的取值范围； （）求证： 1313211 224242 211. n n n a aa aaa a aa aa aa g g g g g gp g g g 26 解法一： （I ）因为 f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（ -1,+）, 且 f (x)= 1 1x-1=1 x x . 由 f (x)0 得-10， f(x)的单调递增区间为（ 0， +）. (II)因为 f(x) 在0,n 上是减函数，所以 bn=f(n)=ln(1+n)-n, 则 an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. (i) 22 2 ()2(2)2 2
41、 nnn aaannnn nn 22 1. 22 n nn 又 lim 2 2(2)lim1 2 11 2 x nnn n , 因此 cg(0)=0. 因为 01 n a , 所以 0 n g a , 即 2 2 n n a fa 0,从而 2 1 . 2 n n a a 30 ( ) 因为 11 11 ,(1) 22 nn bbnb , 所以 0 n b , 1n n b b 1 2 n , 所以 12 1 121 1 ! 2 nn n n nn bbb bbn bbb L , 由() 2 1 , 2 n n a a 知: 1 2 nn n aa a , 所以 1 n a a = 31212
42、 121 2 22 nn n aaaaa a aaa LL , 因为 1 2 2 a , n 2, 1 01. nn aa 所以 n a 112 1 2 22 n aa a aL 0 ，且 g(sn) = g(bn) + g(2+bn) - 2,(n N* ) ，其中 Sn是数 列bn 的前 n 项和 （1）求数列 an 、bn 的通项公式； （2）若 f (n) = 为偶数），（ 为奇数），（ nb na n n 是否存在 k N*，使得 f ( k +5)=2 f ( k )-2 成立？若 k 存在，求 出 k值；若不存在， 说明理由； 32 （3）求证： 2 21 1 pp + 2 31
43、 1 pp + + 2 1 1 npp 0，且 g(Sn) = g(bn) + g(2+bn) - 2,（ n N* ） 所以 2 + g( Sn ) = g( bn ) + g( 2+bn )，即 g(4) +g( Sn ) = g( bn ) + g( 2+bn ) 所以 4Sn = bn （2+bn）b2 = 2, b2 b1 = 2 ； 由 4Sn = bn (2+bn)及 4Sn+1 = bn+1(2 + bn+1) bn+1 - bn = 2 所以bn 是以 0 为首项， 2 为公差的等差数列，bn = 2n-2 因为 Pn( an ， bn)( n N * ) 在直线 y = 2
44、 x + 2 上， 则 bn = 2an + 2，an = n - 2 （2）k为偶数时， f ( k + 5) = ak+ 5 =k+ 3， 2 f ( k) 2 = 2( 2k 2 ) 2 = 4 k- 6 由k+ 3 = 4 k- 6k= 3 ， 与k为偶数矛盾， k 为奇数时， f ( k +5) = bk+5 = 2 k + 8， 2 ? ( k ) 2 = 2 k - 6 由 2k+ 8 = 2 k- 6 得k不存在故满足条件的k不存在 （3）| P1Pn |2 =( n 1 )2 + ( 2n 2 )2 = 5( n 1 )2,n 2 ， 2 21 |P| 1 P + 2 31
45、|P| A P + + 2 1 |P| 1 n P = 5 1 2 1 1 + 2 2 1 + + 2 )1( 1 n 5 1 2 1 1 + 32 1 21 1 + )1)(2( 1 nn = 5 2 ) 1 1 2( 5 1 ) 1 1 11( 5 1 nn 2 31 2 21|P| 1 |P| 1 PP + )2( 5 2 |P| 1* 2 1 Nnn Pn ， 8. 数列的概念与性质 1. 设 pq， 为实数， ， 是方程 2 0xpxq 的两个实根，数列 n x 满足 1 xp ， 2 2 xpq ， 33 12nnn xpxqx （ 3 4n， ， ） （1）证明： p ， q ；
46、 （2）求数列 n x 的通项公式； （3）若 1p ， 1 4 q ，求 n x 的前 n项和 n S 分析：本题主要考查二次方程、求数列的通项、等差等比数列的概念和性质，综合运送知识分析问 题和解决问题的能力。 等价转化的思想 【解析】 （1）由求根公式，不妨设，得 22 44 , 22 ppqppq 22 44 22 ppqppq p 22 44 22 ppqppq q （2）设 112 () nnnn xsxt xsx ，则 12 () nnn xst xstx ，由 12nnn xpxqx 得 stp stq ， 消去 t， 得 2 0spsq ， s 是方程 2 0xpxq 的根，
47、由题意可知， 12 ,ss 当时，此时方程组 s tp stq 的解记为 12 12 ss tt 或 112 (), nnnn xxxx 112 (), nnnn xxxx 即 11nn xt x 、 21nn xt x 分别是公比为 1 s 、 2 s 的等比数列， 由等比数列性质可得 2 121 () n nn xxxx , 2 121 () n nn xxxx , 两式相减，得 22 12121()()() nn nxxxxx 2 21 ,Q xpq xp ， 22 2 x ， 1 x 222 21 ()g nnn xx ， 222 21 ()g nnn xx 1 () nn n x ，
48、即 1 nn n x ， 11nn n x 当时，即方程 2 0xpxq 有重根， 2 40pq ， 即 2 ()40stst ，得 2 ()0,stst ，不妨设 st ，由可知 2 121 () n nn xxxx ， Q ， 2 121 () nn nn xxxx 34 即 1 n nn xx ，等式两边同时除以 n ，得 1 1 1 nn nn xx ，即 1 1 1 nn nn xx 数列 n n x 是以 1 为公差的等差数列， 1 2 (1) 111 n n xx nnn , nn n xn 综上所述， 11 ,() ,() nn n nn x n （3）把 1p ， 1 4 q 代入 2 0xpxq