高考数学压轴题解题技巧和方法.pdf

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1、高考数学压轴题解题技巧和方法 圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)xy 11 ， (,)xy 22 ，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也 要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如： （1）)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 与直线相交于A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)， 则有 0 2 0 2 0 k b y a x 。 （2）)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 与直线 l 相交于 A、B，设弦 AB中点为 M(x0,y0)则有

2、0 2 0 2 0 k b y a x （3）y 2=2px（ p0）与直线 l 相交于 A、B设弦 AB 中点为 M(x 0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p. 典型例题给定双曲线x y 2 2 2 1。过 A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1及 P 2 ，求线段P 1 P2的中点 P的轨迹方程。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题， 常用正、余弦定 理搭桥。 典型例题设P(x,y)为椭圆 x a y b 2 2 2 2 1上任一点，Fc 1 0(, )，Fc 2 0( , )为焦点， PF F 12 ，PF F 21 。 （1）求

3、证离心率 sinsin )sin( e； （2）求|PFPF 1 3 2 3 的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用 判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形 的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 抛物线方程，直线与 轴的交点在抛物线准线的右边。yp xpxytx 2 10() () （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A、B，且 OAOB，求 p 关于 t 的函数 f(t) 的表达式。 （4）圆锥曲

4、线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次 函数，三角函数，均值不等式）求最值。 （ 1） ，可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即： “求范围， 找不等式 ” 。或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于 （2）首先要把NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即： “最值问 题，函数思想 ” 。 最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，

5、用方程消参转化为一元二次函数的最值问题， 关键是由方程求x、y 的范围； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求 最值； 4、借助均值不等式求最值。 典型例题 已知抛物线y2=2px(p0)， 过 M（a,0）且斜率为1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点A、 B， |AB| 2p （1）求 a 的取值范围；（2）若线段 AB 的垂直平分线交x 轴于点 N，求 NAB 面积的最大 值。 （5）求曲线的方程问题 1曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题 已知直线L过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x

6、 轴正半轴上。 若点 A （ -1，0） 和点 B（0，8）关于 L 的对称点都在C上，求直线 L和抛物线 C 的方程。 2曲线的形状未知-求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点Q （2，0） 和圆 C： x2+y2=1, 动 点 M 到圆 C的切线长与 |MQ| 的比等于常数（0）, 求动点 M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 （6） 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线， 求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式 来解决） M N Q O 典型例题已知椭圆C 的方程 xy 22 43

7、 1，试确定m 的取值范围，使得对于直线 yxm4，椭圆 C上有不同两点关于直线对称 （7）两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用kk yy xx 12 12 12 1 来处理或用向量的坐 标运算来处理。 典型例题已知直线l的斜率为k，且过点P(, )2 0，抛物线C yx:() 2 41，直 线l与抛物线C 有两个不同的交点（如图）。 （1）求k的取值范围； （2）直线l的倾斜角为何值时，A、B 与抛物线C的焦点连线互相垂直。 四、解题的技巧方面： 在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分 利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的

8、策略，往往能够减少 计算量。下面举例说明： （1）充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运 用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。 典型例题设直线340xym与圆xyxy 22 20相交于P、Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ，求m的值。 （2） 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、 中点等问题中常常用到。 典型例题已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于 P、Q 两点， 且OP OQ，|PQ 10 2 ，求此椭圆方

9、程。 （3） 充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的 问题这也是我们常说的三角代换法。 典型例题P为椭圆 22 22 1 xy ab 上一动点，A 为长轴的右端点，B为短轴的上端点， 求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。 （4）充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。 典型例题求经过两已知圆Cxyxy 1 22 420：和Cxyy 2 22 24：0 的 交点，且圆心在直线l：2410xy上的圆的方程。 （5）线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程 一般地，求直线与圆锥曲

10、线相交的弦AB长的方法是：把直线方程ykxb代入圆 锥曲线方程中，得到型如axbxc 2 0的方程，方程的两根设为xA， x B， 判 别式为，则|ABkxx AB 1 2 | 1 2 a k ，若直接用结论，能减少 配方、开方等运算过程。 例求直线xy10被椭圆xy 22 416所截得的线段AB的长。 结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥 曲线的定义，可回避复杂运算。 例F1、F2是椭圆 xy 22 259 1的两个焦点，AB 是经过F1的弦， 若|AB8， 求值| 22 BFAF 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化

11、为到准线的距离 例点 A （3， 2） 为定点，点 F是抛物线 yx 2 4的焦点，点 P在抛物线y 2 4x 上移动，若| |PAPF取得最小值，求点 P的坐标。 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。 （2）与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率tan,0,)k 点 到 直 线 的 距 离 00 22 AxByC d AB 夹 角 公 式 ： 21 21 tan 1 kk k k （3）弦长公式 直线ykxb上两点 1122 (,),(,)A xyB xy间的距离： 2 12 1ABkxx 22

12、1212 (1)()4kxxx x或12 2 1 1AByy k （4）两条直线的位置关系 1212 llk k=-1 212121 /bbkkll且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程： 22 1(0,0) xy mnmn mn 且 距离式方程： 2222 ()()2xcyxcya 参数方程：cos ,sinxayb (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程： 22 1(0) xy m n mn 距离式方程： 2222 |()()| 2xcyxcya (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 22 2 bb p aa 椭圆：；双曲线：；抛物线：

13、 (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知 21 FF 、是椭圆1 34 22 yx 的两个焦点，平面内一个动点M 满足2 21 MFMF则动点 M 的轨迹是（） A、双曲线； B、双曲线的一支； C、两条射线； D、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式： 12 2 tan 2 F PF Pb在椭圆上时， S 12 2 cot 2 F PF Pb在双曲线上时， S （其中 222 12 121212 12 |4 ,cos,|cos | | PFPFc F PFPFPFPFPF PFPF ? uu u ru uu u ruu u r uuuu r ） (6)、记住焦半径公式：（1） 00

14、;xaexaey椭圆焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为 ，可简记为“左加右减，上加下减”。 （2） 0 |xe xa双曲线焦点在轴上时为 （3） 11 |,| 22 pp xxy抛物线焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设 11, y xA、 22,y xB，baM,为椭圆1 34 22 yx 的弦AB中点则有 1 34 2 1 2 1 yx ，1 34 2 2 2 2 yx ；两式相减得 0 34 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 34 21212121 yyyyxxxx AB k= b a 4 3

15、2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？ 经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数， 得到一个二次方程，使用判别式0， 以及根与系数的关系， 代入弦长公式，设曲线上的两点 1122 (,),(,)A xyB xy，将这两点 代入曲线方程得到 1 2 两个式子，然后 1 -2 ，整体消 元 ， 若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消 去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F 共线 解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系 数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb，就意味着k 存在。 例 1、已知三角形

16、 ABC 的三个顶点均在椭圆8054 22 yx上，且点 A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在 y 轴正半轴上） . （1）若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程; （2）若角 A 为 0 90，AD 垂直 BC 于 D，试求点 D 的轨迹方程 . 分析：第一问抓住“重心” ，利用点差法及重心坐标公式可求出中 点弦 BC的斜率，从而写出直线 BC 的方程。第二问抓住角 A 为 0 90 可得出 ABAC，从而得016)(14 212121 yyyyxx，然后利用 联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程； 解： （ 1）设 B（ 1 x, 1 y） ,C( 2 x, 2 y

17、),BC 中点为 ( 00, y x),F(2,0)则 有 1 1620 , 1 1620 2 2 2 2 2 1 2 1yxyx 两式作差有0 16 )( 20 )( 21212121 yyyyxxxx 0 45 00 kyx (1) F(2,0)为 三 角 形重 心 ，所以 由2 3 21 xx ，得3 0 x，由 0 3 4 21 yy 得2 0 y，代入（1）得 5 6 k 直线 BC的方程为02856yx 2)由 ABAC 得016)(14 212121 yyyyxx（2） 设直 线BC方程为8054, 22 yxbkxy代入，得 080510)54( 222 bbkxxk 2 21

18、 54 10 k kb xx， 2 2 21 54 805 k b xx 2 22 21 2 21 54 804 , 54 8 k kb yy k k yy代入（ 2）式得 0 54 16329 2 2 k bb ，解得)(4 舍b或 9 4 b 直线过定点（ 0，) 9 4 ，设 D（x,y） ，则1 4 9 4 x y x y ，即 0163299 22 yxy 所以所求点 D 的轨迹方程是 )4() 9 20 () 9 16 ( 222 yyx。 4、设而不求法 例 2、如图，已知梯形 ABCD 中CDAB2，点 E 分有向线 段AC所成的比为，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B

19、为焦 点当 4 3 3 2 时，求双曲线离心率e的取值范围。 分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念 和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。 建立直角坐标系xOy， 如图，若设 Ch c , 2 ， 代入1 2 2 2 2 b y a x ， 求 得hL，进而求得, EE xyLL再代入1 2 2 2 2 b y a x ，建立目标函 数( , , ,)0f a b c，整理( ,)0f e，此运算量可见是难上加难.我们 对h可采取设而不求的解题策略, 建立目标函数( , , , )0f a b c，整理( , )0f e,化繁为简 . 解法一：如图， 以

20、 AB 为垂直平分线为y轴， 直线 AB 为x轴， 建立直角坐标系xOy，则 CDy轴因为双曲线经过点C、D，且 以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知C、D 关于y轴对称 依题意，记 A0, c，Ch c , 2 ，E 00, y x，其中 | 2 1 ABc为双曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点 坐标公式得 12 2 1 2 0 c c c x， 1 0 h y 设双曲线的方程为1 2 2 2 2 b y a x ，则离心率 a c e 由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 a c e代入双曲线 方程得 1 4 2 22 b he ， 1 11 2 4 2 22 b he

21、由式得1 4 2 2 2 e b h ， 将式代入式，整理得 2144 4 2 e ， 故 1 3 1 2 e 由题设 4 3 3 2 得， 4 3 2 3 1 3 2 2 e 解得107e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 分析：考虑,AEAC为焦半径 ,可用焦半径公式 , ,AEAC用,E C的横坐 标表示，回避h的计算 , 达到设而不求的解题策略 解法二：建系同解法一，, EC AEaexACaex， 2 2 121 E c c c x，又 1 AE AC ，代入整理 1 3 1 2 e ， 由题设 4 3 3 2 得， 4 3 2 3 1 3 2 2 e 解得107e 所以双曲线

22、的离心率的取值范围为10,7 5、判别式法 例 3 已知双曲线 1 22 : 22 xy C ， 直线l过点0,2A， 斜率为k， 当 10k时，双曲线的上支上有且仅有一点B 到直线l的距离为2， 试求k的值及此时点 B 的坐标。 分析 1： 解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因 此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从 “有且仅有” 这个微观入手，对照草图，不难想到： 过点 B 作与l平行的直线， 必与双曲线C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 0. 由此出发，可设计如下解题思路： 10)2(:kxkyl kkkxyl22 2 2: 的值解得 k 解题过

23、程略 . 分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数 式表达，即所谓“有且仅有一点B 到直线l的距离为2” ，相当 于化归的方程有唯一解 . 据此设计出如下解题思路： 把直线 l 的方程代入双曲线方程，消去 y， 令判别式0 直线 l 在 l 的上方且到直线l 的距离为2 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于 x的方程102 1 22 2 2 k k kxkx 有唯一 简解：设点)2,( 2 xxM为双曲线 C 上支上任一点，则点 M 到 直线l的距离为： 2 1 22 2 2 k kxkx 10k 于是，问题即可转化为如上关于x的方程. 由于10k，所以kxxx 2 2

24、，从而有 .2222 22 kxkxkxkx 于是关于x的方程 ) 1(222 22 kkxkx 02) 1(2 ,)2) 1(2(2 2 22 2 2 kxkk kxkkx .02)1(2 ,022)1(22)1(221 2 2 2222 kxkk kkxkkkxk 由10k可知： 方程022) 1(22)1(221 2 2222 kkxkkkxk的二根同 正，故 02)1(2 2 kxkk恒成立，于是等价于 022)1(22) 1(221 2 2222 kkxkkkxk. 由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得 5 52 k. 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分

25、体 现了全局观念与整体思维的优越性. 例 4 已知椭圆 C:xy 22 28和点 P（4，1） ，过 P 作直线交椭 圆于 A、B 两点，在线段 AB 上取点 Q，使 AP PB AQ QB ，求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程 . 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学 生往往不知从何入手。 其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求 解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q 的横、纵坐标 用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的. 由于点),(yxQ的变化是由直线AB 的变化引起的，自然可选择直 线 AB 的斜率k作为参数，如何将yx,与k联系起来？一方面利用点 Q 在直线

26、AB 上；另一方面就是运用题目条件： AP PB AQ QB 来转化 .由 A、B、P、Q 四点共线，不难得到 )(8 2)(4 BA BABA xx xxxx x ，要建立x与k的 关系，只需将直线 AB 的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理 即可. 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但 对于如何解决本题，已经做到心中有数 . 在得到kfx之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消 参， 目的不过是得到关于yx,的方程 （不含k） ， 则可由1)4(xky 解得 4 1 x y k，直接代入kfx即可得到轨迹方程。从而简化消去 参的过程。 简 解 ： 设),(),(, 221

27、1 yxQyxByxA，则 由 QB AQ PB AP 可 得 ： xx xx x x 2 1 2 1 4 4 ， 解之得： )(8 2)(4 21 2121 xx xxxx x（1） 设直线 AB 的方程为：1)4(xky，代入椭圆 C 的方程，消 去y得出关于x 的一元二次方程： 将直线方程代入椭圆方程，消去 y， 利用韦达定理 利用点 Q 满足直线 AB 的方程： y = k (x4)+1， 消去参数 点 Q 的轨迹方程 QB AQ PB AP )(8 2)(4 BA BABA xx xxxx x kfx 08)41 (2)41(412 222 kxkkxk（2） . 12 8)41 (

28、2 , 12 ) 14(4 2 2 21 2 21 k k xx k kk xx 代入（1），化简得： . 2 34 k k x (3) 与1)4(xky联立，消去k得：.0)4(42xyx 在（2） 中，由0246464 2 kk，解得 4 102 4 102 k ，结 合（3）可求得 . 9 10216 9 10216 x 故知点 Q 的轨迹方程为：042yx（ 9 10216 9 10216 x ）. 点评： 由方程组实施消元 ，产生一个标准的关于一个变量的一 元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难 点在引出参，活点在应用参，重点在消去参 .，而“引参、用 参、消参

29、”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 6、求根公式法 例 5 设直线l过点 P（0，3） ，和椭圆 xy 22 94 1顺次交于 A、B 两点，试求 AP PB 的取值范围 . 分析：本题中，绝大多数同学不难得到： AP PB = B A x x ，但从此后 却一筹莫展 , 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所 谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或 某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实 施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 分析 1:从第一条想法入手， AP PB = B A x x 已经是一个关系式，但 由于有两个变

30、量 BA xx ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自 然想到利用第3 个变量直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将 BA xx ,转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方 程，消去 y 得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出 . 简解 1：当直线l垂直于 x 轴时，可求得 5 1 PB AP ; 当l与 x 轴不垂直时，设)(, 2211 yxByxA，直线l的方程为： 3kxy，代入椭圆方程，消去y得0455449 22 kxxk 解之得. 49 59627 2 2 2,1 k kk x 因为椭圆关于 y 轴对称，点 P在 y 轴上，所以只需考虑0k的 所求量的取值范围

31、 把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 xA= f（k） ， xB = g（k） 得到所求量关于k 的函数关系式 求根公式 AP/PB = （ xA / xB） 由判别式得出k 的取值范围 情形. 当 0k时， 49 59627 2 2 1 k kk x， 49 59627 2 2 2 k kk x ， 所以 2 1 x x PB AP = 5929 5929 2 2 kk kk = 5929 18 1 2 kk k = 2 5 929 18 1 k . 由049180)54( 22 kk, 解得 9 5 2 k， 所以 5 1 5 929

32、 18 11 2 k ， 综上 5 1 1 PB AP . 分析 2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到： 判别 式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k的取 值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来 . 一般来说， 韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定 理，原因在于 2 1 x x PB AP 不是关于 21,x x的对称关系式 . 原因找到后， 解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于 21,x x的对称关 系式. 把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去 y得到关于 x 的一元二次方程 xA+ xB = f（k）

33、 ， xA xB = g（k） 构造所求量与k的关系式 关于所求量的不等式 韦达定理 AP/PB = （ xA / xB） 由判别式得出k 的取值范围 简解 2：设直线l的方程为：3kxy，代入椭圆方程，消去y 得 0455449 22 kxxk（*） 则 . 49 45 , 49 54 2 21 2 21 k xx k k xx 令 2 1 x x ，则， . 2045 324 2 1 2 2 k k 在（*）中，由判别式,0可得 9 5 2 k， 从而有 5 36 2045 324 4 2 2 k k ，所以 5 36 2 1 4，解得 5 5 1 . 结合10得1 5 1 . 综上， 5

34、 1 1 PB AP . 点评： 范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均 值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等 等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法 . 解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并 不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所 在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷 幄，方能决胜千里 . 第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基 本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即 定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到 解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推

35、理过程中，必须注 意所使用的命题之间的相互关系 （充分性、必要性、充要性等），做 到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快 速提高解题能力。 例 6 椭圆长轴端点为BA,，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦 点，且1FBAF ，1OF （）求椭圆的标准方程； （）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于QP,两点，问： 是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l 的方程 ;若不存在，请说明理由。 思维流程： （） 2,1ab 写出椭圆方程 由1AFFB? uu u ruu u r ，()()1ac ac，1c 1 PQ k由 F为PQM的重心,PQMF MPFQ （）

36、消元 解题过程： （）如图建系，设椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ,则1c 又1FBAF即 22 () ()1acacac ， 2 2a 故椭圆方程为 2 2 1 2 x y （）假设存在直线l交椭圆于QP,两点，且F恰为PQM的垂 心，则 设 1122 (,),(,)P x yQ xy，(0,1),(1,0)MF，故1 PQ k， 于 是 设 直 线l为yxm，由 22 22 yxm xy 得 ， 22 34220xmxm 1221 0(1)(1)MP FQx xyy uuu r uuu r 又(1,2) ii yxm i 得 1221 (1)()(1)0x xxmxm即

37、 2 1212 2()(1)0x xxxmmm由韦达定理得 22 22 yxm xy 22 34220xmxm 两根之和， 两根之积 0MPFQ? uuuruuu r 得出关于 m 的方程 解出 m 2 2 224 2(1)0 33 mm mmm 解得 4 3 m或1m（舍）经检验 4 3 m符合条件 点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为 两向量乘积为零 例 7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且 经过( 2,0)A、(2,0)B、 3 1, 2 C三点 （）求椭圆E的方程： （ ） 若 点D为 椭 圆E上 不 同 于A、B的 任 意 一 点 ， ( 1,0)

38、,(1,0)FH，当DFH内切圆的面积最大时，求DFH内心的 坐标； 思维流程： （） （） 由椭圆经过A、B、C三点设方程为1 22 nymx 得 到nm,的 方 程 解出nm, 由DFH内切圆面积最大转化为DFH面积最大 转化为点 D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点 DFH面积最大值为3内切圆 周长rS DFH 2 1 3 3 内切圆 r 解题过程：（）设椭圆方程为1 22 nymx0,0 nm ， 将 ( 2,0)A、(2,0)B、 3 (1, ) 2 C代入椭圆E的方程，得 41, 9 1 4 m mn 解得 11 , 43 mn.椭圆E的方程 22 1 43 xy （）|2F

39、H，设DFH边上的高为hhS DFH 2 2 1 当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以 DFH S的最大值为 3 设DFH的内切圆的半径为R，因为DFH的周长为定值 6所以， 6 2 1 RS DFH 所以R的最大值为 3 3 所以内切圆圆心的坐标为 3 (0,) 3 . 点石成金： 的内切圆的内切圆 的周长rS 2 1 例 8、已知定点)01(，C及椭圆53 22 yx，过点C的动直线与椭 圆相交于AB，两点. （）若线段AB中点的横坐标是 1 2 ，求直线AB的方程； （） 在x轴上是否存在点M， 使MBMA为常数？若存在，求 出点M的坐标；若不存在，请说明理由 . 得出D点坐标为 3

40、 3 ,0 思维流程： （）解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为 (1)yk x， 将(1)yk x代入53 22 yx，消去y整理得 2222 (31)6350.kxk xk 设 1122 ()()A xyB xy， 则 422 2 122 364(31)(35)0 (1) 6 . (2) 31 kkk k xx k ， 由线段AB中点的横坐标是 1 2 ，得 2 12 2 31 2312 xxk k ，解得 3 3 k ，符合题意。 所以直线AB的方程为310xy，或310xy. （）解：假设在x轴上存在点(,0)M m，使MBMA为常数 . 当 直 线AB与x轴 不 垂 直

41、 时 ，由 （ ） 知 22 121222 635 . (3) 3131 kk xxx x kk ， 所以 2 12121212 ()()()()(1)(1)MA MBxm xmy yxm xmkxx u uu r uu u r 2222 1212 (1)()().kx xkmxxkm将(3)代入，整理 得 2 2 22 22 114 (2)(31)2 (61)5 33 3131 mkm mk MA MBmm kk u uu r uu u r 2 2 1614 2. 33(31) m mm k 注意到MBMA是与k无关的常数，从而有 7 6140 3 mm，此 时 4 . 9 MA MB uu

42、u r uu ur 当 直 线AB与x轴 垂 直 时 ，此 时 点AB，的 坐 标 分 别 为 22 11 33 ，、，当 7 3 m时，亦有 4 . 9 MA MB uuu r uuu r 综上，在x轴上存在定点 7 0 3 M ，使MBMA为常数 . 点石成金： 2 2 22 22 114 (2)(31)2 (61)5 33 3131 mkm mk MA MBmm kk uuu r uuu r 2 2 1614 2. 33(31) m mm k 例 9、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长 的 2 倍且经过点 M（2，1） ，平行于 OM 的直线l在 y 轴上的截距 为

43、m（m0） ，l交椭圆于 A、B 两个不同点。 （）求椭圆的方程； （）求 m 的取值范围； （）求证直线MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程： 解： （1）设椭圆方程为)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 则 2 8 1 14 2 2 2 22 b a ba ba 解得椭圆方程为1 28 22 yx （）直线l平行于 OM，且在 y 轴上的截距为 m 又 KOM= 2 1 mxyl 2 1 的方程为： 由0422 1 28 2 1 22 22 mmxx yx mxy 直 线l与 椭 圆 交 于A 、 B两 个 不 同 点 ， 0, 22 ,0)42(4)2( 2

44、2 mm mm 且解得 （） 设直线 MA、 MB 的斜率分别为 k1， k2， 只需证明 k1+k2=0 即可 设42,2),(),( 2 21212211 mxxmxxyxByxA且 则 2 1 , 2 1 2 2 2 1 1 1 x y k x y k 由可得0422 2 2 mmxx 42,2 2 2121 mxxmxx 而 )2)(2( )2)(1()2() 1( 2 1 2 1 21 1221 2 2 1 1 21 xx xyxy x y x y kk )2)(2( )1(4)2)(2(42 )2)(2( )1(4)(2( )2)(2( )2)(1 2 1 ()2)(1 2 1 (

45、 21 2 21 2121 21 1221 xx mmmm xx mxxmxx xx xmxxmx 0 0 )2)(2( 444242 21 21 22 kk xx mmmm 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 点石成金：直线 MA、 MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形0 21 kk 例 10、已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的离心率 3 32 e，过),0(),0,(bBaA的 直线到原点的距离是. 2 3 （1）求双曲线的方程； （2） 已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点C， D 且C， D 都在以B为圆心的圆上，求k的值. 思维流程： 解

46、： （ 1 ） , 3 32 a c 原 点 到 直 线AB： 1 b y a x 的 距 离 .3,1 . 2 3 22 ab c ab ba ab d . 故所求双曲线方程为 .1 3 2 2 y x （ 2 ） 把335 22 yxkxy代入中 消 去y，整 理 得 07830)31( 22 kxxk. 设CDyxDyxC),(),( 2211的中点是),( 00 yxE，则 . 11 , 31 5 5 31 15 2 0 0 2 00 2 21 0 kx y k k kxy k kxx x BE ,0 00 kkyx 即7,0,0 31 5 31 152 22 kkk k k k k

47、又 故所求k=7. 点石成金 : C，D都在以B为圆心的圆上BC=BDBECD; 例 11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为 1 （）求椭圆C的标准方程； （II ）若直线:ly=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是 左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求 证：直线l过定点，并求出该定点的坐标 思维流程： 解： （）由题意设椭圆的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 由已知得：31acac， 222 21 3 ac bac ， 椭圆的标准方程为 22 1 43 xy （II ）设 1122 ()()A

48、xyB xy， 联立 22 1. 43 ykxm xy ， 得 222 (34)84(3)0kxmkxm，则 222222 12 2 2 12 2 6416(34)(3)0340 8 34 4(3) . 34 m kkmkm mk xx k m x x k ，即， ， 又 22 22 12121212 2 3(4) ()()() 34 mk y ykxm kxmk x xmk xxm k 因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2 0)D， 1 ADBD kk，即1 22 2 2 1 1 x y x y . 121212 2()40y yx xxx 222 222 3(4)4(3)15 40 34

49、3434 mkmmk kkk 22 71640mmkk 解得： 12 2 2 7 k mkm，且均满足 22 340km 当 1 2mk时，l的方程(2)yk x，直线过点(2 0)，与已知 矛盾； 当 2 2 7 k m时，l的方程为 2 7 yk x，直线过定点 2 0 7 ， 所以，直线l过定点，定点坐标为 2 0 7 ， 点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点CACB; 例 12、已知双曲线)0, 0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的左右两个焦点分别为 21 FF 、, 点 P在双曲线右支上 . （）若当点 P的坐标为) 5 16 , 5 413 (时, 21 PFPF,求双曲线的方程； （） 若|3| 21 PFPF,求双曲线离心率e的最值 ,并写出此时双曲线的渐 进线方