高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选(含答案).pdf

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1、函 数 【1.2.1 】函数的概念 （1）函数的概念 设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集 合B中都有唯一确定的数( )f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应 法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:fAB 函数的三要素: 定义域、值域和对应法则 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 （2）区间的概念及表示法 设,a b是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做 , a b；满 足axb的实数x的集合叫做开区间，记做( , )a b；满足axb，或axb的实数x的 集合叫做半开半闭区间，分别

2、记做 , )a b，( , a b；满足,xa xa xb xb的实数 x的集合 分别记做 ,),(,),(, ,(, )aabb 注意： 对于集合|x axb与区间( , )a b，前者a可以大于或等于b，而后者必须 ab （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ( )f x是整式时，定义域是全体实数 ( )f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 ( )f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1 tanyx中，() 2 xkkZ 零（负）指数幂的底数不能为零 若( )f x是由有

3、限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数 的定义域的交集 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是： 若已知( )f x的定义域为 , a b，其复合函数 ( )f g x 的定义域应由不等式( )ag xb解出 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义 （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一 个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的， 只是提问的角

4、度不同求函数值域与最值的常用方法： 观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数 的值域或最值 判别式法：若函数( )yfx可以化成一个系数含有y的关于 x的二次方程 2 ( )( )( )0a y xb y xc y，则在( )0a y时，由于, x y为实数，故必须有 2 ( )4 ( )( )0bya yc y，从而确定函数的值域或最值 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化 为三角函数的最值问

5、题 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法 【1.2.2 】函数的表示法 （5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之 间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 （6）映射的概念 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中 都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做 集合A到B的映

6、射，记作:fAB 给定一个集合A到集合B的映射，且,aA bB如果元素 a和元素b对应， 那么我们把元 素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 1.3 函数的基本性质 【1.3.1 】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 y xo 函数的 单调性 如果对于属于定义域I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值x1、x2, 当 x 1 f(x 2 ) ，那么就说 f(x)在这个区间上是减 函数 y=f(X)y x o xx2 f(x ) f(x ) 2 1 1 （1）利用定义 （2）利用已知函数 的单调性 （3）利用函数图象 （在某个区间图

7、象下降为减） （4）利用复合函数 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减 函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数 对 于 复 合 函数( )yf g x，令( )ug x，若( )yf u为 增 ，( )ug x为 增 ，则 ( )yf g x为增；若( )yf u为减，( )ug x为减，则 ( )yf g x为增；若( )yf u为增， ( )ug x为减，则( )yf g x为减；若( )yf u为减，( )ug x为增，则 ( )yf g x为减 （2）打“”函数( )(0) a f xxa x 的图象与性质 ( )fx分别在(,a、,)a

8、上为增函数，分别在 ,0)a、(0,a上为减函数 （3）最大（小）值定义 一般地，设函数( )yf x的定义域为I，如果存在实数M满足：（ 1）对 于任意的xI，都有( )fxM； （2）存在 0 xI，使得 0()f xM那么，我们称M是函数( )f x的最大值，记作 max( ) fxM 一般地，设函数( )yf x的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都 有( )fxm； （2）存在 0 xI，使得 0 ()f xm那么，我们称m是函数( )f x的最小值，记 作 max( ) fxm 【1.3.2 】奇偶性 （4）函数的奇偶性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象

9、判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义 域内任意一个x，都有 f( x)= f(x) ,那么函数 f(x) 叫做 奇函数 （1）利用定义（要 先判断定义域是否 关于原点对称） （2）利用图象（图 象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义 域内任意一个x，都有 f( x)= f(x) , 那 么 函 数 f(x) 叫做 偶函数 （1）利用定义（要 先判断定义域是否 关于原点对称） （2）利用图象（图 象关于 y 轴对称） 若函数( )f x为奇函数，且在0x处有定义，则(0)0f 奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反 在公共定义域内，两个偶

10、函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数 （或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数 补充知识函数的图象 （1）作图 利用描点法作图： 确定函数的定义域；化解函数解析式； 讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图： 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象 平移变换 0, 0,| ( )() hh hh yf xyf xh 左移 个单位 右移 |个单位 0, 0,| ( )( ) kk kk yf xyfxk 上移 个单位 下移 |个单位

11、伸缩变换 01, 1, ( )()yf xyfx 伸 缩 01, 1, ( )( ) A A yf xyAf x 缩 伸 对称变换 ( )( ) x yf xyf x 轴 ( )() y yf xyfx 轴 ( )()yf xyfx 原点1 ( )( ) yx yf xyfx 直线 ( )(|) y yy yf xyfx 去掉 轴左边图象 保留 轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ( )|( ) | x x yf xyf x 保留 轴上方图象 将 轴下方图象翻折上去 （2）识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定 义域、值域、单调性、奇偶性，注

12、意图象与函数解析式中参数的关系 （3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题 途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法 第二章基本初等函数() 2.1 指数函数 【2.1.1 】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 如果,1 n xa aR xR n，且nN，那么x叫做a的n次方根 当n是奇数时，a 的n次方根用符号 n a表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号 n a表示，负的n次方 根用符号 n a表示； 0 的n次方根是0；负数a没有n次方根 式子 n a叫做根式，这里n叫做根指数， a叫做被开方数当n为奇数时，

13、a为任意实数； 当n为偶数时，0a 根 式 的 性 质 ：() nn aa； 当n为 奇 数 时 ， nn aa； 当n为 偶 数 时 ， (0) | (0) nn aa aa aa （2）分数指数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义是：(0, m nm n aaam nN且1)n0 的正分数指数幂等于0 正数的负分数指数幂的意义是： 11 ()() (0, mm m nn n aam nN aa 且1)n0 的负分数指数幂没 有意义注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数 （3）分数指数幂的运算性质 (0, ,) rsrs aaaar sR()(0, ,) rsrs aaar sR ()(0,0,

14、) rrr aba babrR 【2.1.2 】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数 定义函数(0 x yaa且1)a叫做指数函数 图象1a01a 2.2 对数函数 【2.2.1 】对数与对数运算 （1）对数的定义 若(0,1) x aN aa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数， N叫做真数 负数和零没有对数 对数式与指数式的互化：log(0,1,0) x a xNaN aaN （2）几个重要的对数恒等式 log 10 a， log1 aa， log b a ab （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N，即 10 logN；自然对数：ln N，

15、即logeN（其中2.71828e） （4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么 加法：logloglog () aaa MNMN减法：logloglog aaa M MN N 数乘：loglog() n aa nMMnR logaN aN 定义域R 值域(0,) 过定点图象过定点(0,1)，即当0x时，1y 奇偶性非奇非偶 单调性在R上是增函数在R上是减函数 函数值的 变化情况 1 (0) 1 (0) 1 (0) x x x ax ax ax 1 (0) 1 (0) 1 (0) x x x ax ax ax a变化对 图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象

16、越低 x ay x y (0,1) O 1y x ay x y (0,1) O 1y loglog(0,) b n a a n MM bnR b 换底公式： log log(0,1) log b a b N Nbb a 且 【2.2.2 】对数函数及其性质 （5）对数函数 函数 名称 对数函数 定义 函数log(0 a yx a且1)a叫做对数函数 图象 1a01a 定义域(0,) 值域R 过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y 奇偶性非奇非偶 单调性 在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数 函数值的 变化情况 log0 (1) log0 (1) log0 (01) a a a xx

17、xx xx log0 (1) log0 (1) log0 (01) a a a xx xx xx a变化对 图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高 (6) 反函数的概念 设函数( )yf x的定义域为A，值域为C，从式子( )yf x中解出 x， 得式子( )xy如 果对于y在C中的任何一个值，通过式子( )xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那 么式子( )xy表示x是y的函数，函数( )xy叫做函数( )yfx的反函数，记作 1 ( )xfy， 习惯上改写成 1( ) yfx （7）反函数的求法 确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式( )yf

18、 x中反解出 1( ) xfy； x y O (1,0) 1x logayx x y O(1,0) 1x logayx 将 1 ( )xfy改写成 1 ( )yfx，并注明反函数的定义域 （8）反函数的性质 原函数( )yf x与反函数 1 ( )yfx的图象关于直线yx对称 函数( )yf x的定义域、值域分别是其反函数 1( ) yfx的值域、定义域 若( , )P a b在原函数( )yfx的图象上，则 ( , ) P b a在反函数 1 ( )yfx的图象上 一般地，函数( )yf x要有反函数则它必须为单调函数 2.3 幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数yx 叫做幂函数，其中x

19、为自变量，是常数 （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布 在第一、二象限(图象关于y轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是 非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1) 单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果0，则幂函 数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴 奇偶性： 当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数 当 q p （其中,p q 互质，p和qZ

20、） ，若p为奇数q为奇数时，则 q p yx是奇函数，若p为奇数q为偶数时， 则 q p yx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则 q p yx是非奇非偶函数 图象特征：幂函数,(0,)yxx ，当1时，若01x，其图象在直线yx下方， 若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若 1x，其图象在直线yx下方 补充知识二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 一般式： 2 ( )(0)f xaxbxc a顶点式： 2 ( )()(0)fxa xhk a两根式： 12 ( )()()(0)f xa xxxxa（2）求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时，宜用一般式 已

21、知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式 若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求( )f x更方便 （3）二次函数图象的性质 二次函数 2 ( )(0)f xaxbxc a的图象是一条抛物线，对称轴方程为, 2 b x a 顶点坐标是 2 4 (,) 24 bacb aa 当0a时，抛物线开口向上，函数在(, 2 b a 上递减，在,) 2 b a 上递增，当 2 b x a 时， 2 min 4 ( ) 4 acb fx a ； 当0a时，抛物线开口向下，函数在(, 2 b a 上递增，在,) 2 b a 上递减，当 2 b x a 时， 2

22、 max 4 ( ) 4 acb fx a 二次函数 2 ( )(0)f xaxbxc a当 2 40bac时，图象与x轴有两个交点 11221212 ( ,0),( ,0),| | | | M xM xMMxx a （4）一元二次方程 2 0(0)axbxca根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但 尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的 运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程 2 0(0)axbxca的两实根为12,xx，且12xx令 2 ( )f

23、 xaxbxc， 从以下四个方面来分析此类问题：开口方向： a 对称轴位置： 2 b x a 判别式：端点 函数值符号 （5）二次函数 2 ( )(0)f xaxbxc a在闭区间,p q上的最值 设( )f x在区间, p q上的 最大值为M，最小值为 m， 令 0 1 () 2 xpq （）当0a时（开口向上） 若 2 b p a ，则( )mf p若 2 b pq a ，则() 2 b mf a 若 2 b q a ，则 ( )mf q 若 0 2 b x a ，则( )Mf q 0 2 b x a ，则()Mfp ( ) 当0a时 (开口向下 ) 若 2 b p a ，则 ( )Mfp

24、 若 2 b pq a ，则() 2 b Mf a 若 2 b q a ，则 ( )Mf q 若 0 2 b x a ，则( )mf q 0 2 b x a ，则( )mfp x O f (p) f (q) () 2 b f a xO f (p) f (q) () 2 b f a x O f (p) f (q) () 2 b f a x O f (p) f (q) () 2 b f a g 0 x xO f (p) f (q) () 2 b f a 0 x g xO f (p) f (q) () 2 b f a xO f (p) f (q) () 2 b f a x O f (p) f ()

25、2 b f a 0 x g x O f (p) f (q) () 2 b f a x O f (q) () 2 b f a g 0 x 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数 )(Dxxfy的零点。 2、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图 象与x轴交点的横坐标。即： 方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点 3、函数零点的求法： 求函数)(xfy的零点： 1（代数法）求方程0)(xf的实数根； 2（几何法）对于不能用求根公式的方

26、程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并 利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点： 二次函数)0( 2 acbxaxy ），方程0 2 cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二 次函数有两个零点 ），方程0 2 cbxax有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个 交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 ），方程0 2 cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零 点 09-13 高考真题 09.2. 函数 ) 2 1 ,( 21 21 xRx x x y且 的反函数是 A. ) 2 1 ,( 21 21 xRx x x y且 B. ) 2 1

27、 ,( 21 21 xRx x x y且 C.)1,( )1 (2 1 xRx x x y且 D. )1,( )1(2 1 xRx x x y且 【答案】 D 09.17. （本小题满分12 分） 围建一个面积为360m 2的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它 三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的 维修费用为45 元 /m, 新墙的造价为180 元/m, 设利用的旧墙长度为x( 单位： m)，修建此矩形场地围 墙的总费用为y（单位：元 ) 。 （）将y 表示为 x 的函数： （）试确定x, 使修建此矩形场地围墙的总费用

28、最小，并求出最小总费用。 17. 本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用平均不等式求最值和运用数学知识解决实际问题 的能力。（满分 12 分） 解： （）如图，设矩形的另一边长为am ， 则 2 y-45x-180(x-2)+180 2a=225x+360a-360 由已知 xa=360, 得 a= x 360 , 所以 y=225x+ 2 360 360(0)x x ( ) 2 2 360 0,2252 22536010800xx x Q 10440360 360 225 2 x xy. 当且仅当 225x= x 2 360 时，等号成立 . 即当 x=24m时，修建围墙的总费用最小，

29、最小总费用是10440 元. 10.3.已知函数 3 log,0 ( ) 2 ,0 x x x f x x ，则 1 () 9 ffB A.4 B. 1 4 C.-4 D- 1 4 10.5 函数 0.5 1 log(43) y x 的定义域为 A.( 3 4 ,1) B( 3 4 ,) C（1，+）D. ( 3 4 ,1)（ 1，+） 10.16.（本小题满分12 分） 已经函数 22 cossin11 ( ),( )sin 2. 224 xx f xg xx ()函数( )f x的图象可由函数( )g x的图象经过怎样变化得出？ （）求函数( )( )( )h xf xg x的最小值，并求

30、使用( )h x取得最小值的x的集合。 11.3若定义在R 上的偶函数)(xf和奇函数)(xg满足 x exgxf)()(，则)(xg= A xx eeB)( 2 1xx eeC)( 2 1xx eeD)( 2 1xx ee 【详细解析】 11 ()() 22 xxxxx eeeee则( )f x= 1 () 2 xx ee，( )f x= 1 () 2 xx ee 【 考 点 定 位 】考 查 任 何 函 数 都 可 以 写 成 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 的 和 。 f(x)= ( )()( )() 22 f xfxf xfx ，其中偶函数G(x) = ( )() 2 f

31、xfx ，奇函数H(x)= ( )() 2 f xfx . 属于中档题 . 11.19 （本小题满分12 分） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况的一般情况下，大桥上的车流速度v（单 位：千米 /小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到200 辆/千米时， 造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60 千米 /小时研究 表明：当20020x时，车流速度 v 是车流密度x 的一次函数 （）当2000x时，求函数)(xv的表达式； （）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车 辆数，单位：辆/小时）)()

32、(xvxxf可以达到最大，并求出最大值 （ 精 确到 1 辆/小时） 12.6.已知定义在区间0,2 上的函数yfx 的图象如图所示,则2yfx 的图象为 ( ) D CBA 1 1 2 -1 x y OO y x -1 2 1 11 1 2 -1 x y OO y x -1 2 1 1 13.8x 为实数， x 表示不超过x的最大整数，则函数( ) f xxx 在R上为 A奇函数B偶函数C增函数D 周期函数 13.10已知函数( )(ln)f xxxax 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 A (, 0) B 1 (0,) 2 C (0, 1) D (0,) 13.21 （本小题满分13

33、 分） 设0a，0b，已知函数( ) 1 axb f x x . （）当ab时，讨论函数( )f x 的单调性； （）当0x时，称( )f x 为 a 、 b 关于 x的加权平均数. （i）判断(1)f, () b f a ,() b f a 是否成等比数列，并证明()() bb ff aa ； （ii ） a、 b 的几何平均数记为G. 称 2ab ab 为 a、 b 的调和平均数，记为 H. 若( )Hf xG ， O y x -1 2 1 1 求 x 的取值范围 . 11.8直线0102yx与不等式组 2034 , 2 ,0 ,0 yx yx y x 表示的平面区域的公共点有 A0 个B 1 个C2 个D无数个