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1、高考文科数学导数专题复习 第 1 讲变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1. 导数的概念 (1) 函数yf(x) 在xx0处的导数f(x0)或y|xx0，即f(x0) 0 lim x f（x0x）f（x0） x . (2) 函数f(x) 的导函数f(x) 0 lim x f（xx）f（x） x 为f(x) 的导函数 . 2. 导数的几何意义函数yf(x) 在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0) 处的切线 的斜率，过点P的切线方程为yy0f(x0)(xx0). 3. 基本初等函数的导数公式 4. 导数的运算法则若f(x) ，g(x) 存在，则有： 考点一导数
2、的计算 【例 1】 求下列函数的导数： (1)y e xln x；(2)yx x 21 x 1 x 3； 解(1)y (e x) ln x e x(ln x) e xln x e x1 x ln x 1 x e x.(2) 因为 yx 3 11 x 2， 所以y (x 3) (1) 1 x 2 3x 22 x 3. 【训练 1】 (1) 已知函数f(x) 的导函数为f(x) ，且满足f(x) 2xf(1) ln x，则f(1) 等于 ( ) A.e B. 1 C.1 D.e 解析由f(x) 2xf(1) ln x，得f(x) 2f(1) 1 x， f(1) 2f(1) 1，则f(1) 1. 答
3、 案B (2)(2020天津卷 )已知函数f(x) axln x，x(0，) ，其中a为实数，f(x) 为f(x) 的导函数 . 若f(1) 3，则a的值为 _. (2)f(x) aln xx 1 x a(1 ln x). 由于f(1) a(1 ln 1)a，又f(1) 3，所以a3. 答案 (2)3 考点二导数的几何意义 命题角度一求切线方程 【例 2】 (2020 全国卷 ) 已知f(x) 为偶函数，当x0时，f(x) e x1 x，则曲线yf(x) 在点 (1， 2) 处的切线方程是_. 解析(1) 设x0，则x0 时，f(x) e x1 x. 因此，当x0 时，f(x) e x11，
4、f(1) e 012. 则曲线yf(x) 在点 (1 ， 2)处的切线的斜率为f(1) 2，所以切线方程为y22(x1) ，即 2xy0. 答案2xy 0 【训练 2】(2020 威海质检 ) 已知函数f(x) xln x，若直线l过点 (0 ，1)，并且与曲线yf(x) 相切， 则直线l的方程为 ( )A.xy10 B.xy 10 C.xy10 D.xy10 (2) 点 (0 ， 1) 不在曲线f(x) xln x上，设切点为(x0，y0). 又f(x) 1 ln x， y0x0ln x0， y01（ 1ln x0）x0， 解得x01，y00. 切点为 (1， 0)，f(1) 1ln 11.
5、 直线l的方程 为yx1，即xy10. 答案B 命题角度二求切点坐标 【例 3】 (2020 西安调研 ) 设曲线ye x 在点 (0， 1)处的切线与曲线y 1 x( x0) 上点P处的切线垂直，则P 的坐标为 _. 解析由y e x， 知曲线y e x 在点 (0， 1)处的切线斜率k1 e 01. 设 P(m，n) ，又y1 x( x0)的导数 y 1 x 2，曲线y 1 x( x0)在点P处的切线斜率k2 1 m 2. 依题意k1k2 1，所以m1，从而n1. 则点P的坐标为 (1 ， 1).答案(1 ， 1) 【训练 3】 若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P
6、的坐标是 _. 解析(1) 由题意得y ln xx 1 x1ln x，直线 2xy10 的斜率为2. 设P(m，n) ，则 1ln m2，解 得me，所以neln e e，即点P的坐标为 (e ， e). 答案(1)(e ， e) 命题角度三求与切线有关的参数值(或范围 ) 【例 4】 (2020 全国卷 ) 已知曲线yxln x在点 (1 ， 1)处的切线与曲线yax 2( a 2)x1 相切，则 a_. 解析由yxln x，得y 1 1 x， 得曲线在点 (1 ， 1)处的切线的斜率为ky|x12，所以切线 方程为y12(x1) ，即y2x1. 又该切线与yax 2( a2)x1 相切，消
7、去y，得ax 2 ax20， a0 且a 2 8a0， 解得a8. 答案8 【训练 4】 1. 函数f(x) ln xax的图象存在与直线2xy 0 平行的切线，则实数a的取值范围是 _. 函数f(x) ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，即f(x) 2 在(0 ，) 上有解，而 f(x) 1 x a，即1 x a在(0 ，) 上有解，a2 1 x， 因为a0，所以 2 1 x2， 所以a的取值 范围是 ( ， 2).答案 (2)(， 2) 2. 点P是曲线x 2 yln x 0上的任意一点，则点P到直线yx2 的最小距离为( ) A.1 B. 3 2 C. 5 2 D.2 解析点
8、P是曲线yx 2ln x上任意一点，当过点P的切线和直线yx2 平行时，点P到直线yx2 的距离最小，直线yx2 的斜率为1，令yx 2ln x，得y 2x1 x1， 解得x1 或x 1 2( 舍 去) ，故曲线yx 2ln x上和直线yx2 平行的切线经过的切点坐标为(1， 1)，点(1 ， 1)到直线y x2 的距离等于2，点P到直线yx2 的最小距离为2. 答案D 第 2 讲导数在研究函数中的应用 知 识 梳 理 函数的单调性与导数的关系函数yf(x) 在某个区间内可导，则： (1) 若f(x)0 ，则f(x) 在这个区间内单 调递增； (2) 若f(x)1 时，g(x)0. (1) 解
9、由题意得f(x) 2ax 1 x 2ax 21 x (x0). 当a0时，f(x)0 时，由f(x) 0 有x 1 2a， 当x 0， 1 2a 时，f(x)0 ，f(x) 单调递增 .(2) 证明令s(x) e x1 x，则s(x) e x11. 当 x1 时，s(x)0， 所以 e x1x， 从而g(x) 1 x 1 e x10. 考点二求函数的单调区间 【例 2】 (2020 重庆卷改编)已知函数f(x) ax 3x2( aR) 在x 4 3处取得极值 . (1) 确定a的值； (2) 若g(x) f(x)e x， 求函数g(x) 的单调减区间 . 解(1) 对f(x) 求导得f(x)
10、3ax 22x， 因为f(x) 在x 4 3处取得极值， 所以f 4 3 0，即 3a 16 9 2 4 3 16a 3 8 30， 解得a 1 2. (2) 由(1) 得g(x) 1 2x 3 x 2 e x 故g(x) 3 2x 22x e x 1 2x 3 x 2 e x 1 2x 35 2x 22x e x 1 2 x(x 1)(x4)e x. 令 g(x)0). 则f(x) x 24x5 4x 2. 令f(x) 0， 解得x 1 或x 5. 但 1?(0 ，) ，舍去 . 当x(0，5) 时，f(x)0. f(x) 的增区间为 (5 ，) ，减区间为 (0 ， 5). 考点三已知函数
11、的单调性求参数 【例 3】 (2020 西安模拟 ) 已知函数f(x) ln x，g(x) 1 2ax 22x( a0). (1) 若函数h(x) f(x) g(x) 存在单调递减区间，求a的取值范围； (2) 若函数h(x) f(x) g(x) 在1 ， 4上单调递减，求a的取值范围 . 解(1)h(x) ln x 1 2ax 22x， x0.h(x) 1 x ax2. 若函数h(x) 在(0 ，) 上存在单调减区间，则 当x0 时， 1 x ax21 x 22 x有解 . 设 G(x) 1 x 22 x， 所以只要aG(x)min.(*)又G(x) 1 x1 2 1，所以G(x)min 1
12、. 所以a1. 即实数a的取值范围是 ( 1，). (2) 由h(x) 在1 ， 4上单调递减，当x1 ， 4时，h(x) 1 xax20 恒成立， (*) 则a 1 x 2 2 x恒成立， 所以aG(x)max. 又G(x) 1 x1 2 1，x1 ， 4因为x1 ， 4，所以 1 x 1 4，1 ， 所 以G(x)max 7 16( 此时 x4) ，所以a 7 16. 当 a 7 16时， h(x) 1 x 7 16x 2 167x 232x 16x （7x 4）（x4） 16x ， x1 ， 4， h(x) （7x4）（x4） 16x 0，当且仅当x4 时等号成立 .(*) h(x) 在
13、1 ， 4上为减函数 . 故实数a的取值范围是 7 16， . 【训练 3】 已知函数f(x) x 3ax1. (1) 若f(x) 在 R上为增函数，求实数a的取值范围； (2) 若函数f(x) 的单调减区间为( 1， 1) ，求a的值 . 解(1) 因为f(x) 在 R上是增函数，所以f(x)3x 2 a0在 R上恒成立，即a3x 2 对xR恒成立 . 因为 3x 20， 所以只需a0. 又因为a0 时，f(x) 3x 20， 当且仅当x0 时取等号 . f(x) x 31 在 R 上是增函数 . 所以实数a的取值范围是 ( ， 0.(2)f(x) 3x 2 a. 当a0时，f(x) 0，f
14、(x) 在( ，) 上为增函数， 所以a0不合题意 .当a0 时，令 3x 2 a0，则点a 叫做函数的极小值点，f(a) 叫做函数的极小值.(2) 函数的极大值与极大值点: 若函数f(x) 在点xb处的函数 值f(b) 比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b) 0，而且在点xb附近的左侧f(x)0 ，右 侧f(x)3，此时f(x)0 ； 当 22 时， 1 x0 ，由此可以得到函 数f(x) 在x 2 处取得极大值，在x2 处取得极小值 . 答案D 命题角度二求函数的极值 【例 2】 求函数f(x) xaln x(aR) 的极值 . 解由f(x) 1a x xa x ，x0 知： (1)
15、 当a0时，f(x)0 ，函数f(x) 为(0 ，) 上的增函数， 函数f(x) 无极值； (2) 当a0 时，令f(x) 0，解得xa. 又当x(0，a) 时，f(x)0 ，从而函数f(x) 在xa处取得极小值，且极小值为f(a) aaln a，无极大值 . 综 上，当a0 时，函数f(x) 无极值；当a0时，函数f(x) 在xa处取得极小值aaln a，无极大值 . 命题角度三已知极值求参数 【例 3】 已知关于x的函数f(x) 1 3x 3 bx 2 cxbc在x1 处有极值 4 3， 试求b，c的值 . 解f(x) x 2 2bxc，由f(x) 在x1 处有极值 4 3， 可得 f（
16、1） 12bc0， f（1） 1 3 bcbc 4 3. 解得 b1， c 1 或 b 1， c3. 若b1，c 1，则f(x) x 22x 1 ( x1) 20， f(x) 没有极值 . 若b 1，c3，则f(x) x 22x3 ( x3)(x1). 当x变化时，f(x) 与f(x) 的变化情况如下表： x ( ， 3) 3 ( 3， 1) 1(1 ，) f(x ) 001 f(x)极小值 12极大值 4 3 当x1 时，f(x) 有极大值 4 3， 满足题意 . 故b 1，c 3 为所求 . 【训练 1】 设函数f(x) ax 32x2 xc(a0). (1) 当a1，且函数图象过 (0
17、， 1)时，求函数的极小值；(2) 若f(x) 在 R上无极值点，求a的取值范围 . 解由题意得f(x) 3ax 24x1.(1) 函数图象过 (0 ， 1) 时，有f(0) c1. 当a1 时，f(x) 3x 2 4x 1. 令f(x)0，解得x1；令f(x)0) ，若函数f(x) 在x1 处与直线y 1 2相切， (1) 求实数a，b 的值； (2) 求函数f(x) 在 1 e，e 上的最大值 . 解(1) 由f(x) aln xbx 2 ，得f(x) a x 2bx(x0). 函数f(x) 在x 1 处与直线y 1 2 相 切. f（ 1）a2b0， f（1）b 1 2， 解得 a1，
18、b 1 2. (2) 由(1) 知f(x) ln x 1 2x 2， 则f(x) 1 x x1 x 2 x ，当1 e xe时，令f(x)0，得 1 e0)的导函数yf(x) 的两个零点为3 和 0. (1) 求f(x) 的单调区间； (2) 若f(x) 的极小值为 e 3， 求f(x) 在区间 5，) 上的最大值 . 解(1)f(x) （2axb）e x（ ax 2 bxc）e x （e x）2 ax 2（ 2a b）xbc e x. 令g(x) ax 2(2 ab)xb c，由于 e x 0.令f(x) 0，则g(x) ax 2(2 ab)xbc0， 3 和 0是yg(x) 的零点，且 f
19、(x) 与g(x) 的符号相同 . 又因为a0，所以 30 ，即f(x)0，当x0 时， g(x)5 f(0) ，所数f(x) 在区间 5，) 上的最大值是5e 5. 【训练 3】 (2020 衡水中学月考) 已知函数f(x) ax1ln x(a R). (1) 讨论函数f(x) 在定义域内的极值点的个数； (2) 若函数f(x) 在x1 处取得极值，?x(0，) ，f(x) bx2 恒成立，求实数b的最大值 . 解(1)f(x) 的定义域为 (0 ，) ，f(x) a1 x ax1 x .当a0 时，f(x) 0 在(0 ，) 上恒成 立，函数f(x) 在(0，) 上单调递减 . f(x)在
20、(0 ，) 上没有极值点. 当a0 时，由f(x)0，得x1 a， f(x) 在 0， 1 a 上递减，在 1 a ，上递增，即f(x) 在x 1 a处有极小 值. 综上，当a0时，f(x) 在 (0，) 上没有极值点；当a0 时，f(x) 在 (0 ，) 上有一个极值 点. (2) 函数f(x) 在x1 处取得极值，f(1) a1 0，则a1， 从而f(x) x1ln x. 因此f(x) bx 2? 1 1 x ln x x b，令g(x)1 1 x ln x x ，则g(x) ln x 2 x 2，令g(x) 0，得xe 2， 则g(x) 在(0 ， e 2) 上递减， 在(e 2， )
21、上递增，g(x)ming(e 2) 11 e 2，即b1 1 e 2. 故实数b的最大值是 1 1 e 2. 第 4 讲导数与函数的综合应用 考点一利用导数研究函数的性质 【例 1】 (2020 全国卷 ) 已知函数f(x) ln xa(1 x). (1) 讨论f(x) 的单调性； (2) 当f(x) 有最大值，且最大值大于2a2 时，求a的取值范围 . 解(1)f(x) 的定义域为 (0 ，) ，f(x) 1 x a.若a0，则f(x)0，所以f(x) 在(0 ，) 上 单调递增 .若a0，则当x 0， 1 a 时，f(x)0；当x 1 a， 时，f(x)0 时， f(x) 在x 1 a取得
22、最大值， 最大值为f 1 a ln 1 a a1 1 a ln aa1. 因此f 1 a 2a2 等价于 ln aa 11 时，g(a)0. 因此，a的取值范围是 (0 ， 1). 【训练 1】 设f(x) 1 3x 31 2x 22ax.(1) 若 f(x) 在 2 3， 上存在单调递增区间，求a的取值范围； (2) 当 0a2 时，f(x) 在1 ， 4上的最小值为 16 3 ，求f(x) 在该区间上的最大值. 解(1) 由f(x) x 2 x2ax1 2 2 1 42a， 当x 2 3， 时，f(x) 的最大值为f 2 3 2 9 2a；令 2 92a 0， 得a 1 9. 所以， 当a
23、 1 9时， f(x) 在 2 3， 上存在单调递增区间. (2) 已知 0a2，f(x) 在1 ， 4上取到最小值 16 3 ，而f(x) x 2 x 2a的图象开口向下，且对 称轴x1 2， f(1) 112a2a 0，f(4) 1642a2a120，则必有一点x01 ， 4 ，使得f(x0) 0，此时函数f(x) 在1 ，x0 上单调递增，在x0， 4上单调递减，f(1) 1 3 1 2 2a 1 62a 0， f(4) 1 364 1 216 8a 40 3 8a 16 3 ?a1. 此时，由f(x0) x 2 0x02 0?x02 或 1( 舍去 ) ，所以函数f(x)maxf(2)
24、 10 3 . 考点二利用导数研究函数的零点或方程的根 【例 2】 (2020 北京卷 ) 设函数f(x) x 2 2 kln x，k0. (1) 求f(x) 的单调区间和极值；(2) 证明：若f(x) 存在零点，则f(x) 在区间 (1 ，e 上仅有一个零点. (1) 解由f(x) x 2 2 kln x(k0)，得x0 且f(x) xk x x 2 k x . 由f(x) 0，解得xk( 负值舍 去).f(x) 与f(x) 在区间 (0，) 上的情况如下： x (0 ，k)k (k，) f(x)0 f(x) k（1ln k） 2 所以f(x) 的单调递减区间是(0 ，k) ，单调递增区间是
25、(k，).f(x) 在xk处取得极小值f(k) k（1 ln k） 2 . (2) 证明由(1) 知，f(x) 在区间 (0 ，) 上的最小值为f(k) k（1ln k） 2 . 因为f(x) 存在零点，所 以 k（1ln k） 2 0，从而ke. 当ke 时，f(x) 在区间 (1 ，e) 上单调递减，且f(e) 0，所以x e是f(x) 在区间 (1 ，e 上的唯一零点 . 当ke时，f(x) 在区间 (0 ，e) 上单调递减，且f(1) 1 20， f(e) e k 2 0且c 32 27 0，当x1时，h(x)x，求a的取值范围 . 解(1) 当a1 时，f(x) x 2ln xx，f
26、(x) （2x1）（x1） x . 当x(0， 1)时，f(x)0. 所以f(x) 的最小值为f(1) 0. (2) 由f(x)x，得f(x) xx 2ln x(a1)x0. 由于x0，所以f(x)x等价于x ln x x a1. 令g(x) x ln x x ，则g(x) x 2 1ln x x 2. 当x(0， 1)时，g(x)0. 故 g(x) 有最小值g(1) 1. 故a11 时，f(x)0 得 x0， x 2 x10. 解得 01 时，F(x)1 时，f(x)1时，f(x)0 时， 0e， 故F(x) 在(0， e)上是增函数，在(e ，) 上是减函数，故F(x)maxF(e) 1 e 1 2. (2) 证明令h(x) xf(x) xln x，则h(x) 11 x x1 x ，当h(x)0 时，x1，故h(x) 在(0 ， 1)上是减函数，在(1 ) 上是增函数， 故h(x)minh(1) 1. 又F(x)max1 e 1 21， 故F(x)h(x) ，即 f（x） x 1 2xf (x).