(完整版)非常好高考立体几何专题复习.pdf

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1、1 立体几何习题 一、考点分析 基本图形 1棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱 正棱柱 直棱柱 其他棱柱 四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形 长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体 2. 棱锥 棱锥 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何 体叫做棱锥。 正棱锥如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。 3球 球的性质： 球心与截面圆心的连线

2、垂直于截面； 22 rRd（其中，球心到截面的距离为 d、球的半径为R、截面的半径为r） 球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切. 顶点侧面 斜高 高 侧棱 底面 O C D A B H S l 侧棱 侧面 底面 E B D C A F B DE A FC r d R 球面 轴 球心 半径 A O O1 B A CD B CD O AB O C A A c 2 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式： 23 4 4, 3 SR VR 球球 （其中 R 为球的半径） 平行垂直基础知识网络 异面直线所成的角，线面角，二面角的求法 1求异面直线所成的

3、角0 ,90： 解题步骤： 一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（ 1）可固定一条直线平移 另一条与其相交； （2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法二 证： 证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算： 通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2 求直线与平面所成的角0 ,90：关键找“两足” ：垂足与斜足 解题步骤： 一找：找 （作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证： 证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直） ；三 计算： 常通过解直角三角形，求出线面角。 3 求

4、二面角的平面角0, 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；二证： 证明所找 （作） 的平面角就是二面角的平面角（常用定义法， 三垂线法， 垂面法）； 三计算： 通过解三角形，求出二面角的平面角。 平行关系 平面几何知识 线线平行 线面平行面面平行 垂直关系 平面几何知识 线线垂直 线面垂直面面垂直 判定 性质 判定推论 性质 判定 判定 性质 判定 面面垂直定义 1.,/abab 2.,/aabb 3.,/aa 4./,aa 5./, L L 平行与垂直关系可互相转化 3 俯视图 二、典型例题 考点一：三视图 1一空间几何体的三视图如图1 所示 ,则该几何体的体积

5、为_. 第 1 题 2. 若某空间几何体的三视图如图2 所示，则该几何体的体积是_. 第 2 题第 3 题 3一个几何体的三视图如图3 所示，则这个几何体的体积为. 4若某几何体的三视图（单位：cm）如图 4 所示，则此几何体的体积是. 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正 (主)视图 3 正视图 俯视图 1 1 2 左视图 a 4 第 4 题第 5 题 5如图 5是一个几何体的三视图，若它的体积是3 3，则a. 6已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的 体积是. 第 6 题第 7 题 7. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积

6、是 3 cm 8. 设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m ） ，则该几何体的体积为_m 3。 20 20 正视图 20 侧视图 10 10 20 俯视图 2 2 3 2 21 俯视图正(主)视图侧(左)视图 2 3 2 2 5 第 7 题第 8 题 9一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1 的正方形，俯视图是一个圆，那么这个 几何体的侧面积为_. 图 9 10. 一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10 所示（单 位 cm） ，则该三棱柱的表面积为_. 图 10 11. 如图 11 所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1 的正方形，俯视图是一

7、 个直径为1 的圆，那么这个几何体的全面积为_. 图 图 11 图 12 图 13 12. 如图 12，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1 的正三角形，俯视图是一个 圆，那么几何体的侧面积为_. 13. 已知某几何体的俯视图是如图13 所示的边长为 2的正方形， 主视图与左视图是边长为2 的正三角形，则其表面积是_. 14. 如果一个几何体的三视图如图14 所示 ( 单位长度: cm ), 则此几何体的表面积是 _. 图 14 15一个棱锥的三视图如图图9-3-7 ，则该棱锥的全面积（单位： 2 cm ）_. 正视图 俯视图 6 俯视图 侧视图 正视图 33 4 正视图左视图俯视图 图

8、 15 16 图 16 是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是_. 图 16 图 17 17. 如图 17，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直 角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为_. 18. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图9-3-14 所示，则这个棱柱 的体积为 _. 图 18 考点二体积、表面积、距离、角 注：1-6 体积表面积7-11 异面直线所成角12-15 线面角 1. 将一个边长为a 的正方体，切成27 个全等的小正方体，则表面积增加了_. 2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶

9、点，则正方体的表面积与此正四面 体的表面积的比值为_. 3设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为_. 俯视图正 (主)视图侧(左)视图 2 3 2 2 7 4正棱锥的高和底面边长都缩小原来的 2 1 ，则它的体积是原来的_. 5已知圆锥的母线长为8，底面周长为6，则它的体积是. 6.平行六面体 1 AC的体积为30，则四面体 11 AB CD的体积等于. 7 如图 7， 在正方体 1111ABCDABC D 中， ,E F 分别是 11AD ， 11C D 中点，求异面直线 1AB 与EF 所成角的角 _. 8. 如图 8 所示， 已知正四棱锥S ABCD 侧棱长为2，底面边长为

10、3，E 是 SA 的中点， 则异面直线BE 与 SC 所成角的大小为 _. 第 8 题第 7 题 9.正方体 ABCDABC D中,异面直线 CD和 BC所成的角的度数是 _. 10如图 9-1-3 ，在长方体 1111ABCDABC D 中，已知 13,ABBC BCCC ，则异面直线 1AA 与 1 BC 所成的角是 _ ，异面直线 AB 与 1 CD 所成的角的度数是_ 8 图 13 11. 如图 9-1-4 ，在空间四边形 ABCD中，ACBDACBD, ,E F 分别是 AB、CD 的中 点，则 EF 与 AC所成角的大小为 _. 12. 正方体 1 AC中， 1 AB与平面 11

11、ABC D所成的角为. 13如图13 在正三棱柱 111 ABCABC 中， 1 ABAA ，则直线 1 CB 与平面 11 AAB B 所成角的正 弦值为 _. 14. 如图 9-3-6，在正方体ABCD A1B1C1D1中，对角线BD1与平面 ABCD 所成的角的正切 值为 _. 图 9-3-6 图 9-3-1 图 7 15如图 9-3-1 ，已知ABC 为等腰直角三角形,P为空间一点， 且52,ACBCPCAC， PCBC ，5PC，AB的中点为M，则PM与平面 ABC 所成的角为 16如图 7，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，O 是底面 A1B1C1D1的中心，则O 到 平

12、面 AB C1D1的距离为 _. 17.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 _. 18长方体 1111 ABCDA B C D的 8 个顶点在同一个球面上，且AB=2 ，AD= 3， 11AA， 则顶点 A、B间的球面距离是_. 19. 已知 点,A B C D在同 一 个 球面 上 ，,ABBCD平面,BCCD若 6,AB2 13,AC8AD，则,B C两点间的球面距离是. 20. 在正方体ABCD A1B1C1D1中， M 为 DD1的中点， O 为底面 ABCD 的中心， P 为棱 A1B1上任意一点，则直线OP 与直线 AM 所成的角是

13、_. 21 ABC 的顶点 B 在平面 a 内，A、C 在 a 的同一侧， AB、BC 与 a 所成的角分别是 A C B P M A1 C B A B1 C1 D1 D O 9 30和 45，若 AB=3 ，BC=24，AC=5 ，则 AC 与 a 所成的角为 _. 22矩形 ABCD 中， AB=4 ，BC=3 ，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角BAC D， 则四面体 ABCD 的外接球的体积为_. 23 已 知 点,A B C D在 同 一 个 球 面 上 ，,ABBCD平面,BCCD若 6,AB2 13,AC8AD，则,B C两点间的球面距离是. 24正三棱锥的一个侧面的面

14、积与底面积之比为23，则这个三棱锥的侧面和底面所成二 面角的度数为 _ . 25. 已知,S A B C是球O表面上的点，SAABC平面，AB BC，1SAAB ， 2BC，则球O表面积等于 _. 26已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为 32 3 ，则正方体的棱长为_. 27. 一个四面体的所有棱长都为2， 四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_. 考点四平行与垂直的证明 1. 正方体 1111 ABCD-AB C D， 1 AA =2，E 为棱 1 CC的中点 () 求证： 11 B DAE； () 求证： /AC 平面 1 B DE； （）求三棱锥A-BDE的体积 2.已知正方

15、体 1111 ABCDA BC D，O是底ABCD对角线的交点.求 A 1 D 1 C 1 B 1A E D C B D1 O D BA C1 B1 A1 C 10 证： () C1O面 11 AB D；(2) 1 AC面 11 AB D 3如图，PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB和PC的中点 . （）求证：MN平面PAD； （）求证： MNCD； （）若45PDA o ，求证：MN平面PCD. 4. 如图（1） ， ABCD 为非直角梯形， 点 E， F 分别为上下底AB， CD 上的动点， 且EFCD。 现将梯形 AEFD 沿 EF 折起，得到图（2） （1）若折起后形成的空间图形

16、满足DFBC，求证：ADCF； （2）若折起后形成的空间图形满足,A B C D四点共面，求证： / /AB 平面DEC； 5如图，在五面体ABCDEF 中， FA 平面 ABCD, AD/BC/FE ，ABAD ，M 为 EC 的中点， N 为 AE 的中点， AF=AB=BC=FE= 1 2 AD A B C D E F 图（ 1）E B C F D A 图（ 2） A F E B C D M N N M P D CB A 11 (I) 证明平面AMD平面 CDE； (II) 证明/BN平面 CDE； 6在四棱锥PABCD 中,侧面 PCD 是正三角形 , 且与底面 ABCD 垂直 ,已知

17、菱形ABCD 中 ADC60, M 是 PA的中点， O 是 DC 中点 . （1）求证： OM / 平面 PCB； （2）求证 :PACD； （3）求证 :平面 PAB平面 COM . 7如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD底面 ABCD ，PD=DC， E 是 PC 的中点，作EFPB 交 PB 于点 F. （1）证明 PA/ 平面 EDB； （2）证明 PB平面 EFD 8. 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面边长是3， 侧棱长是 3， 点 E， F 分别在 BB1， DD1上，且 AEA1B，AFA1D (1)求证： A1C面 AEF； (2)求二面角

18、 A-EF-B 的大小； (3)点 B1到面 AEF 的距离 . A B C D P E F P D A B C O M 12 考点五异面直线所成的角，线面角，二面角 1. 如图 ,四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，PD底面 ABCD，PD=AD.求证：（1）平面 P AC平面 PBD ； （2）求 PC 与平面 PBD 所成的角； 2. 如图所示，已知正四棱锥SABCD侧棱长为2，底面边长为3，E是 SA的中点，则异 面直线 BE与 SC所成角的大小为 _. 3正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1底面边长为 1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对 角线 E1D 与 BC1所成的角

19、是 _. 4. 若正四棱锥的底面边长为23cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大 小是 _. 5. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD 中， ,ABAC PA 平面 ABCD ，且 PA AB ，点 E 是 PD 的中点 .（1）求证： ACPB； （2）求证：PB/ 平面 AEC ； （3）若PA ABACa，求三棱锥 EACD 的体积； （4）求二面角EAC D 的大小 . 13 考点六线面、面面关系判断题 1已知直线 l 、m 、平面、，且l ， m，给出下列四个命题： （1），则l m （2）若 l m ，则 （3）若，则l m （ 4）若 l m ，则 其中正

20、确的是 _. 2. m、n 是空间两条不同直线， 、 是空间两条不同平面，下面有四个命题： ,;mnmnPP, ,;mnmnPP ,;mnmnPP ,;mmnnPP 其中真命题的编号是_（写出所有真命题的编号）。 3. l为一条直线， ， ， 为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ， ； ， ； ll， 其中正确的命题有_. 4. 对于平面和共面的直线 m 、 , n (1) 若 ,mmn 则n(2) 若 m,n ,则mn (3) 若 ,mn, 则 mn (4)若 m 、 n 与所成的角相等，则 mn 其中真命题的序号是_. 5. 关于直线 m 、n与平面与，有下列四个命题： 若 /,/m

21、n 且 / ，则 /mn； 若 ,mn 且，则 mn； 若 ,/mn 且 / ，则 mn； 若 /,mn 且，则 /mn； 其中真命题的序号是_. 6. 已知两条直线 ,m n ，两个平面 , ，给出下面四个命题： /,mn mn /,/mnmn /,/mn mn /,/,mn mn 其中正确命题的序号是_. 7. 给出下列四个命题, 其中假命题的个数是_. 垂直于同一直线的两条直线互相平行; 垂直于同一平面的两个平面互相平行. 14 若直线 12 ,l l 与同一平面所成的角相等,则 12 ,ll 互相平行 . 若直线 12 ,l l 是异面直线 , 则与 12 ,ll 都相交的两条直线是异面直线.