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1、函数的解析式 考纲要求：函数的解析式在高考屮为B级要求，要求学生理解掌握函数解析式的求法，并且能 够运用灵活。 近三年题号分数分布：从近三年的高考试题来看，函数的解析式考点，也不会单独出现，如果 出现也一般是结合向虽的数量积一起，这就耍求学生学会把平面向量的有关知识综合运用起 来，不过考试中的题目一?般靠前，难度也并不算人。 具体分布如下：2013年考点分布在填空题考一题占5分，结合向量数量积在15题第二问占分 5分；其他年份没有出现。 知识点梳理：函数的解析式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：y = kx + b伙工0) 二次函数
2、：ynar+bx + c （a 工0） 反比例函数：y =伙H0） X 正比例函数：y = kx伙丰0) 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n个式子来表示函数，这种形式的函数叫做 分段函数。 ( 注意分段函数的定义域和值域) 3、复合式 若y是u的函数 ,u又是x的函数 , 即y = f(u),u = g(x),xe(a,b)f那么y关于x的函数 y = fg(x)xe (a,b)叫做f和g的复合函数。 4、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值( 式) 法、方程法等。 两数的解析式是表示对应关系的式子, 是两数三种表示法中最重耍的
3、一种，对某些函数问题, 能 否顺利解答，往往取决于是不是能够求出函数的解析式. 本文就常见的函数解析式的求法归类 例析如 2 典型例题： 一、定义法 【例1】例1：设/(X + 1) = X 2-3X + 2,求/G). 解： =(兀+ 1)2 一5(兀+ 1) + 6 /(%) = x 2 -5x + 6 兀+ 1 当堂训练：设力 / 二 J，求/(X). x + 2 二、待定系数法 【例2】已知/(x-2) = 2x 2-9x + 13, 求 /(%). 解：显然， ./(兀) 是一个一元二次函数。设/(x) = ax2 +bx + c (GHO) 乂f(x-2) = 2x2 -9x +
4、13 a 2 比较系数得：(b 4a = 9 4a-2b + c = 13 三、换元 ( 或代换 ) 法： 1 + r x2 +1 1 【例3】已知 /( 土) 二乂字 +丄, 求/( 兀). x X hR . 1 + X El 1 r-iil / 、/?Z1 + X兀?+ 1 1 1 1 解：设 - =匚则兀 =则f(t)= /( - )= 一+- = 1+ + - x t- X x“ X X ? ? ? /(X + 1) = X 2-3X + 2 = (x +1)-1 2 一3(x +1)_ 1 + 2 解: r 4- 1 设? /W= - x + 2 x + 1 _ 1 兀+ 1 + 1
5、 I 1 T+x 则f(x - 2) = a(x 2)2 + b(x 2) + c =ax 2 + (b - 4a)x + (4a -2b + c) a = 2 解得：h = -l f(x) = 2x 2-x + 3 c = 3 =1 + Y+ = 1 + (/ 1)2 + (/ 1)=尸一/ +1 .?f(x) = x 2 r 1 当堂训练：若/(X)+ /(-) = l + x (1) 在（1）式中以口代替兀得/（ ）+/（兀 I） = 1+口 X X无一1 X X 2 9 x 1 X x 1 (1) + (3)-(2)得：2/(兀)=1 + 兀 + - =(“ X-1 x x(x-l)
6、四、反函数法： 【例4】已知 /(/“) = F+2,求/(X). 解：设t = a x 0,则x- = logat即兀二log “/ + l 代入已知等式中 , 得:/=(log昇+ 1)2+2 = log和+ 2log/+ 3 .?/Cr) = log；x + 21og“兀+ 3 五、特殊值法： 【例5设/( 兀) 是定义在N上的函数，满足/(I) = 1 ,对于任意正整数九y,均有fM + f(y) = f(x + y) - xy , 求 /(%). 解：由/(I) = 1, f(x) + f(y) = f(x+ y)-xy 设得：f(x) + l= f(x + l) x 即：/(x +
7、 l)-/(x) = x + l 在上式中，x分别用1,2,3,?-1代替，然后各式相加 1 1 . 1 口得：/(0 = + 2)(/ 1) +1 = r +t :./(X)= X2 + X(XG TV*) Y-1 1 2x-l 即f( : )+/( )= X x-i X 又以- 一代替(1)式中的兀得 : 兀一1 (2) /(- 占)+心 (3) ? - f( x)= -x2 2x(x-1) 六、累差法： 【例6】若/(l) = lg-,且当x 2 Ht, /(x-1) = f(x)-lgaxl, (? 0,x G TV*),求 a f(x)? 解:?/ f(x) = f(x -1) 4-
8、 lg a r_1 (ci 0,x w NJ 递推得： /( 兀一1)二/( 兀一2) + lgQ “ /(x-2) = /(x-3) + lg- 3 于= /(2) + lgti 2 /(2) = /(!) +Ig6/ 以上(x-1)个等式两边分别相加，得: . 广( 兀)=?f(l) + lgd + lg/ +? + lgd_2 +lg“T I ?Y(XT)心-1) = lg_ + lga 2 =ga 2 a x(x l) =1- Higa 七、归纳法： 【例7已知/(x + 1) = 2 + */(x), (x G N*)月./(I)二a ,求/(x). 解：?m /(2) = 2 +
9、”(1) = 2 + * = 4一2 + * / =2 + */(2) = 2 + *2 + *) = 4-2。+去 .f(4) = 2 + *.f(3) = 2 + *(3 + m)= 4 2T+*d 兀5) = 2 + */(4) = 2 + *(3* + 卜)=4-2-a# , 依此类推，得 再用数学归纳法证明Z。 课后练习 1 ?下列各组中的两个函数是同一函数的为_ ( 填序号 ). 一 兀+3x5 _ 51= ，2=兀_5； N =心+1心_1, y2=yjx+ lx1； = /(l) + lga l+2+?+(x-2)+(x-l) 勖(x) = (伍W)2, f2(x)=2x5. 1. 解析 定义域不同；定义域不同；对应法则不同；定义域相同，且对应法则相同; 定 义域不同 . 2.设集合M=X|0 x2?即y=5 - 38.4,兀=3, 36, 3r10, xN. 图象如图所示 . . （14 分） ? fM = (a2-b 2)x 念)= 心一討+c 二1- 丄+ c = 2 2 1 ?3 /(x) = x_lx2+| (|X|1) (8 分)