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1、函数的值域与最值 考纲要求：函数的定义域在高考屮为B级要求 ( 理解) ，要求考生对所列知识有较深刻的认识， 并能解决有一定综合性的函数问题。 近三年题号分数分布：从近三年的高考试题来看，平面向量坐标表示在12、13年高考屮均有 涉及，但考的都不深入。理解平面向量基本定理、理解平面向量坐标表示的概念，是本章的重 难点。 具体分布如下：2011年考点未涉及；2012年考点分布在9题；2013年考点分布在15题； 高考出题方向： 1、 函数值域的求法； 2、 函数的最值综合应用； 难点：理解函数表示的意义 知识点梳理：函数的值域与最值 1.函数值域的定义：函数值的集合f(x)|xWA 叫做函数的值
2、域。 2.求函数值域的方法：基木函数法配方法换元法不等式法 函数的单调性法数形结合法函数的有界性法导数 3?函数最值的定义： 一般地，设函数y = /(x)的定义域为A . 若存在定值使得对于任意XGA,冇/(x) /(兀() 恒成立，则称/( X()为y二/(%) 的 最小值 , 记为儿in = /(兀0) ； 4.单调性与最值：设函数 = /(%) 的定义域为a.b, 若尸/(x)是增函数，则=_f(a)_ ，血=_m _ ； 若y = fM是减函数，则儿ax= _ f(b)_，儿in= _ /( Q) _ ? 典型例题： 一、函数值域的求法 1.观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合
3、函数的解析式，求得函数的值域。 【例1】求函数y=3+J23x的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出二耳的值域。 解：由算术平方根的性质，知血二衣NO, 故3+7(2 3x)23。 ?函数的值域为3,+oo) 点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。 木题通过直接观察篦术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明 了，不失为一种巧法。 当堂训练： 求函数y=x(00,liJ 知函数的定义域为xe-l, 2o此时-x 2+x+2=-(-v-)2+- e0? - 2 4 ?00,解得：20) o 3兀 + 1 4.最值法 对于闭区间a,
4、b上的连续函数y=/(x),可求出尸心 ) 在区间a,b内的极值，并与边界值 作比较，求出函数的最值，町得到函数y的值域。 【例 4已知 - 三0,且满足x+y=l,求函数z=xy+3x的值域。 3x + 兀 +1 点拨：根据已知条件求岀自变量X的取值范围，将目标两数消元、配方，可求出函数的值域。 解：?3x2+x+l0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3I) Ay5, 函数值域为5,+00)。 求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。 6.单调法 利川函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 【例6】求函数y=4x J1-3兀( 疋丄) 的值
5、域。 点、拨：由已知的函数是复合函数, 即g(x)= Vl? 3x,y=f(x)+g(x),其定义域为疋1/3,在此 区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。 解：设f(x)=4x,g(x)= y/l-3x ,(x3) 7.换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为口变量的函数形式，进而求值域。 【例7求函数y=x-3+ J2x + 1的值域。 点拨：通过换元将原两数转化为某个变量的二次函数，利丿IJ二次函数的最值，确定原函数 的值域 解：设t=2x+l (t0)，则 x=l/2(t2-l)o 于是y=l/2(t2-l)-3+t=l/2(t+l)2-4l/2-4=-7
6、/2. 所以，原函数的值域为y|y-7/2。 点评：将无理两数或二次型的函数转化为二次两数，通过求出二次两数的最值，从而确定出 原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 当堂训练：求函数尸仮二！-x的值域。 ( 答案：y|y0且1-xO 解得，00)的值域。a-bx 解：两数式变形为歹 =-1+丄一，显然yfl由原函数表达式可得。x= a(y a-bx/?(y + l) 又- 15x51,得_ W “ 心_ 1)Q解得口 w y 5出, 即此函数的值域为 h(y + l) a + b a-b a-b a + b a + b“ a-b 当堂训练： 2 1 己知函数
7、3； = 的值域是y | y WO或y 23 ,求此函数的定义域。 o r _ i i n r _ i 解：由3 ,解得1 vx2。xl 2 x 1 ?此函数的定义域为p| 0,即 4y24(b + 2)y + 8b- 化0。 因15)13,所以1和3是方程4 y2-4(h + 2)ySh-a2l 或yl),求a、b的值. ?其对称轴为x=l,即1, b为f (x)的单调递增区间 . f (x) max=f (b) =-b 2-b+a=b 由解得”巧 2 b = 3. 基础巩固： 1.函数/(x) = x 2 - mx + 4(/71 0) 在( 一oo,0上的最小值 _ ( 答案：4) 2.
8、函数f(x) =丁- 宀兀+ 2的最小值是一0 , 最人值是 _ - _ ? 2 3.求下列函数的最值： (1) /(x) = x 4 +l,xe -1,0,1,2: 解：(1)/(1) = /(-I) = 2;/(0) = 1;/(2) = 17 所以当兀 =0 时，ymin = 1:当x = 2 时，ymax=17； (2) /(X) = 3X + 5,XG3,6 解：( 2)函数f(x) = 3x + 5是一次函数，且30故f(x) = 3x + 5在区间3,6上是增函数 所以当 % = 3时，jmin =14； 当兀=6 时,ymax = 23 ； 分析：因为函数的最值是值域中的最大值
9、和最小值，所以求函数的最值的方法有时和求函数值域的 方法是相仿的 . 1 4 4.函数/( X) = -的最大值是 _ ( 答案： -) 1 - x(l - x) 3 5. y=x 2+ V%2 -1 的最小值为 _ 1 3 6.函数/( 兀)=血2 + 2处+ 10)在区间-3,2上的最大值为4,则0= _ -_ ? 解Vf (x) =-(x-l) 2+a-. ?.f (x) min=f (1 ) =a = l x + 3(%0) - 8.己知二次函数/(X) = 6LV 2+26/ X+1在-3,2上有最大值4,求实数。的值 . 解：函数/（X）= ax2 + 2ar +1的对称轴为x =
10、 -l , 3 当d0时, 则当x = 2时函数取最大值4,即8a + l = 4即? = - ； 8 当吋，则当a = 1时函数取得最大值4,即l a = 4,即a = -3 所以飞或“-3。 能力提升 : 1.求下列函数的值域 : 解：（1）（配方法）（利用函数的单调性）函数y = 3F_x + 2在xwl,3上单调增， ?当x = l时，原函数冇最小值为4；当兀=3时，原函数冇最大值为26 o ?函数y = 3兀$ 一兀+ 2 , xel,3的值域为4,26。 （2）求复合函数的值域：设“ = -/ 一6%-5 （ /0 ）,则原函数口J化为y = 乂?/ “ = -x2 -6x-5 =
11、 -（x + 3） 2 + 4 o,则x = -t 2, ?原函数可化为y = l-r 2+4r = -（r-2）2+5（r0） , y I) （5）判别式法 :Vx 1 2+x + l 0 恒成立 ?函数的定义域为/? 。 2 X 2 r 4- 2 由y = : - 得： (y-2)F +(y + l)x+y-2 = 0 x +X + 1 当y-2 = 0B 卩y = 2 时，即3x + 0 = 0, ：.x = OeR 当y 2H 0即y工2时，?无丘/? 时方程（丿一2）兀2+（丁 + 1）兀+；一2 = 0恒有实 根, ?=(y + l)2_4x(y_2)2n0, ?15y55且歹工2
12、, ?原函数的值域为1,5。 / /、 2x x +1 x(2x 1) + 1 (o； y = x 1 ? ? x 2 （无1） 3.求函数尸 / 在下列范围内的值域 : (2)%e( -i, 2 (2)%e( -i, 2 4 (2) 0, 4 (3)xe-3, 2 (3)%e-3, 2 (3)0, 9 (5) %eT, T + (5) %eT, T+2 (4)当00 时T2, (T+2) 2 1 . 4. (1)若函数 ) ，二一 *_2兀+ 4的定义域、值域都是闭区间2, 2/7,则b的为2 。 2 (2)设f(x)= 凡目勿g( x)是二次函数，若f(g(x)的值域是0, +oo),则g(x)的值域是10, |x|2a2-a-3=0Aa=-1 或a= . 2 (2)对一切xER，函数值均非负 ,A=8(2a 2-a-3) -1 0, f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=- (a+ - ) 2+ (a e -1,). 2 4 2 ?二次函数f(a)在-1,吕上单调递减 ,?.f (a) min=f( 弓)=普,f (a) max=f( )=4, ?f(a)的值域为-,4 . 4 (1)xei, 2 解：( 1) 1, (3)由条件，y的定义域是f(x+|)与( 定义域的交集 .