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1、2.2.2对数函数及其性质 5分钟训练 ( 预习类训练，可用于课前) 1.函数f (x) =|log2x|的图象是 () 思路解析：考查对数函数的图象及图象变换. 注意到y=|log2x|的图象应是将y=log2x的图象位于 x轴下方的部分翻折到x轴的上方，故选A. 答案：A 2.若loga20 且aHl) 恒过定点 _ . 思路解析：若x-2=l,则不论a为何值，只要a0且a=l,都有y=l. 答案：(3, 1) 4. _ 函数f (x) =log 0且a? lHl的制约，又受减函数 的约束，由此可列关于a的不等式求a.由题意知0?l0, 1 思路解析：要使函数有意义，则 解得丄VXV1.
2、3x + l0, 3 答案：B 2.若函数f (x) = loga x (0 1 )； (4) logg5 和lg4. 思路解析： 本题大小比较代表了儿个典型的题型. 其屮题( 1)是直接利用对数函数的单调性; 题(2) 是对数函数底数变化规律的应用；题(3)是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用；题( 4) 是中间量的运用 . 当两个对数的底数和真数都不相同吋，需要找出中间量来 搭 桥”，再利用对 数函数的增减性 . 常用的屮问量有0、1、2等可通过估算加以选择 . (1) logo.27和logo.29可看作是函数y=logo.2X当x=7和x=9时对应的两函数值 , 由y=log0.2
3、X 在(0, +8)上单调递减 , 得1 og0.27logo.29. (2)考察函数y= log;1 x底数a 1的底数变化规律，函数y=log3x(x 1)的图象在函数y=log6x ( xl)的上方，故1 og35log65. (3)把lgm看作指数函数的底数， 要比较两数的大小，关键是比较底数lgm与1的关系 . 若lgml 即m10,则(lgm) % 在R 上单调递增 , 故(lgm) L9 (lgm) 21.# lgm=l 即m=10, 则(lgm) L9 = (lgm) 2. (4)因为底数8、10 均大于1,且108,所以Iog85lg5lg4,即log85ig4. f( X)
4、 min=f ( 2a) =10ga2a?根据题意,3 loga 2a=l, 即loga 2a=,所以loga 2+1 =, 即lOga 2 2二一 ?故由 G 2 /? 3=2得沪2 3 = 4 答案 :A 3. 右图是对数函数y= loga x当底数 “的值分别取JL |, 忆时所对应图彖 , 则相应 于C, C2, C3, C4的a的值依次是 ( 3 5 3 5 图象就 答案：(1) logo.27logo.29? (2) log35log65. (3) m10 时,(lgm) 1,9 (lgm) 2 I. (4) Iog85lg4. 5.已知函数尸lg( 7x 2 + l-x), 求其
5、定义域，并判断其奇偶性、单调性. 思路解析：注意到J/ + 1 +X= - , 即有lg ( J/ + 1 -X) =-lg ( + 1 +X) ,从 + 1 X 而f (-X ) =lg ( W+1 +x )二ig(7x2+l -x) =-f (x),可知其为奇函数 . 又因为奇函数在关于原点对称的 区I可上的单调性相同，所以我们只需研究( 0, +8)上的单调性 . 解：由题意jF+l ?X 0,解得 XWR,即定义域为R. =lg ( Jx，+1 ? x) _1=-lg ( 厶2 + 1 ? x) =-f (x), y=lg ( J/ +1? x)是奇函数 . 任取X| X2 丘( 0
6、, + 8 ) 且X| Jxj + +X lg ( Jp 2 + 1 ? X2) ， 即f( X|) f (x2)成立 行(x)在( 0, + )上为 减函数 . 又f (x) 是定义在R上的奇函数，故f (x)在( ? 8, 0)上也为减惭数 . 6.作出下列函数的图象： (1)y=|log4x|-l: (2) y=log|x+l| ? 3 思路解析： (I )y=|log4X|-l的图象可以看成由y=log4X的图象经过变换而得到：将函数y=log4x 的 图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去，得到y=|log4X的图彖，再将y二llog/l的图 象 向下平移1个单位，横坐标不变，就得
7、到了y=|log4x|? l的图象 . (2)y=logj |x+l|的图象可以看成由y=10g1X的图象经过变换而得到：将函数y= log, x 3 3 3 的图象作出右边部分关于y轴的对称图象，即得到函数y= log. |x|的图象，再将所得图象向 3 左平移一个单位，就得到所求的函数y= log, |x+l|的图象 . 解：函数( 1)的图象作法如图 ?所示 . 函数( 2)的图象作法如图 ?所示 . 又f (-X ) =lg J(-A ：)? +1 ?(? x) =lg ( Vx 2 +1 +x) =lg 即有厶2 + 1 -XIA/X22+1-X20, ?lg 思路解析： 画出函数y
8、=lg|x啲草图即得答案 . 在画函数y=lg|x|的草图时， 注意应用函数y=lg|x| 是 个偶函数， 英图象关于y轴对称 . 比如列表时， 要先确定对称轴， 然后在对称轴的两侧取值列表 . 答案：B 8.已知f (x) =l+logx3, g (x) =21ogx2,试比较f (x)与g (x)的大小 . 思路解析：要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较, 作 商时， 应先分清代数式的正负， 再将商同“1”比较大小 . 因为本题屮的f( X)与g( X)的正负不确定， 所以采取作差比较法 . 解：f ( x )和g (x )的定义域都是 (0 , 1 )
9、u ( 1 , + 8 ) .f ( X )弋(X ) 3 =1 +logx3-21ogx2= 1 +logx3-logx4=logx x. 4 34 3 (1)当OVxVl 时, 若0V-xVl,即OVxV-,此时logx-x0,即OVxVl 时,f (x) 43 4 g (x); 34 3 4 (2)当xl 时，若一xl,即x ,此时logxx0,即x 时，f (x) g (x) ； 43 4 3 34 3 4 7.函数y=lg|x|( ) A.是偶函数，在区间( ? s, 0)上单调递增 C.是奇函数，在区间( 0, +l,?0 V丄VI ?因此y= (-) x,即 y=ax a a a
10、 的图象是下降的，y=k) gx的图象是上升的 . 答案：A 2. (2006福建高考，文 ) 已知f(x)是周期为2的奇函数 , 6 3 5 a=f(- ),b=f( ),c=f(-),则( ) 52 2 A.a0=X|X2或xvl, G=x|x2.AGE 答案：A 4.已 知函数f (x) =log2 (x 2-ax+3a)在 2, +?上是增函数，则实数a的取值范围是 ( ) A.(? 8, 4) B. (-4, 4J 综上所述，当xe (0, 4 1) u (-, +oo)时, 3 f(X) g (x)； 七 当0l吋，在同一坐标系中，函数y二a“与y= loga x的图象是 () A
11、 B C D 思路解析：解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数?令u (x) =x 2-ax+3a, 其对称轴x=-. 2 w(2) = 4 一2d + 3G 0, 由题意有 ?= a -l)的反函数是 ( ) x-1 2r-l 2V-1 C.y=(x0) D.y=- (x0,由于y=log2 - (x 1 )=log2 - =log2( 1 + - ) ，所以1 + ； =2y,x= - +1 = - ? x-1 x-1 x-1 x-12- -1 2- -1 答案：A X + /? 6?己知函数f (x) =loga - (a 1 且b0)? x-b (1 )求(X)的定义域；
12、 (2)判断函数的奇偶性； (3)判断f (x)的单调性，并用定义证明. 思路解析：本题考查定义域、单调性的求法及判断方法，注意要利用定义求解. 兀+ b 二 解：(1)由 解得xV-b 或xb. x-b ?函数f(X)的定义域为? b) U (b, +8) ? 亠 厂 、 z-x + b x, x-b、, z x + b x , zx + b x (2)由于f (-X ) = 10ga( - ) = lOga ( - ) = 10ga( - ) =- 10ga( - ) =-f -x-b x + b x-b x-b (x),所以f (x)为奇函数 . (3)设XI、X2是区间(b, +8)上
13、任意两个值，且X!0) 2 xB.y= 2V 2 x (x0). 兀+ b _ x2xx -bx 2 + bx 、-b 2 - (x 2xi + bx2 -bxx-b 2) _ 2/?(x, -x2) xx-b( 兀2 ：)( -h) (x 2一/?)( 兀-h) Vb0, xrx20r X|-b0, ?天2 + b ” “ + b ? ? . x2-h x -h 又al时，函数y= loga x是增函数， ?I Oga 花 +5 Vloga “I + b , 艮卩（2） 0 且aHl）. ?-x （1）求函数的定义域； （2）讨论函数的单调性； （3）求使f （x） 0的x的取值范闱 . 1
14、 +兀 解：（1）由 - 0 得-1l 时，loga 1 + 曲 Vlogd 1 + 兀 2 , 即f( X) loga 1 + 花，即f (x】)f( X2) . -X21 _ 兀2 ?当al时,f (x)为(-1, 1)上的增函数； 当Ovavl时，f (x)为( ? 1, 1)上的减函数 . + X ( 3 ) 10ga - 0= lOga 1. 1 -X 2 . nl 1 + 兀un 1 + X 2x c 当al 时，- L 即 - -1 = - 0. X1 - X X /? 2x (x-1) l 时，f (x)0 的解为( 0, 1)； 当Ovavl 时，f (x) 0 的解为(-1
15、, 0). 8.设函数f (x) =x 2-x+b, 且f (log2a) =b, log2 f (a) =2 (aHl),求f (log2x)的最小值及对应的x的 值. 思路解析：关键是利用已知的两个条件求出a、b的值. , ,z log. 2 a - log. a + h = h. 解：由己知得 52 &2 log2(a 2 一a + b) = 2, 即 pOg26Z(log 26/-l) = 0, (1) a 2 -a + b = . (2) 由得log2a= 1, a=2. 代入得b=2.f (x) =X 2-X +2. . 1 7 ?f ( 10g2X ) =log2X-10goX+
16、2= (10g2X- )? + ? 2 4 17 ?当log2x=时,f (log2x)取得最小值一 , 此时x= V2 . 9.设aHO,对于函数f (x) =log3 (ax 2-x+a), (1)若xWR,求实数a的取值范围； (2)若f (x) eR,求实数a的取值范围 . 思路解析：f (x)的定义域是R,等价于ax2-x+a0对一切实数都成立，而f (x)的值域为R,等价于 其真数ax 2-x4-a 能取遍大于0的所有实数值，( 1)与( 2)虽只有一字之差，但结果却大不相同 . 解：(1) f (x)的定义域为R,则ax2-x+a0对一切实数x恒成立，其等价条件是tz 0, 1
17、2解得a0, 1 . 解得0VaW ? = 1-4/ no. 2 10.已知a0.且aHl, f (loga x) = (x-丄). cr x (1)试证明函数y=f (x)的单调性 . (2)是否存在实数m满足：当y=f (x)的定义域为(-1, 1)时，有f(lm) +f (1-m 2) v0?若存在，求出 其取值范围；若不存在，请说明理由. (3)若函数f (x) -4恰好在 (-8, 2)上取负值，求“的值 . (1)证明：由f (loga x) = ( X- ),得f (x)二 一(a x-a_x), xWR, 任取Xl 时，a X 0； 0aX1 , _ a 2- 1 a Xl+X
18、2 a 2-KO. 综上可得f (xi ) lb0). (1)求y二f (x)的定义域； (2)在函数图象上是否存在不同两点，使过这两点的直线平行于x轴？ 思路解析：(2)的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题. 解:(1)由a x-bx 0,得( 兰) X1= (-) 0 b b V-1, ?x0. b ?函数的定义域为( 0，+8) . (2)先证明f (x)是增函数 . 对于任意XX20, ?alb0, ?/ 八，b x lg ( aX2 - h X1 ). .f( X| ) f( X2) . ?f (x)在( 0, +-) 上为增函数 . 假设y=f (x)上存在不同的两点A (
19、xp刃) 、B (x2? y2)，使直线AB平行于x轴， 则x】HX2， yi=y2 ， 这与f (x)是增函数矛盾 . ?y=f (x)的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x轴. 12.2006年春节晩会的现场上无数次响起响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮的一次音量 达到了90分贝 . 分贝是计量声音强度相对大小的单位. 物理学家引入了声压级( spl)來 描述声音 的大小：把一很小的声压P0=2X10 _5 帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考 声压P()的比 值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级 . 声圧级是听力学屮最重要的参数之一，单位是 分贝(dB). 分贝值在6
20、0以下为无害区，60?110为过渡区，110以上为有害区. (1)根据上述材料，列出分贝y与声压P的函数关系式 . (2)某地声压P=0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？ 思路解析：由已知条件即可写岀分贝y与声压PZ间的函数关系式，然后由函数关系式求得当P 二0.002帕时，分贝y的值. 由此可判断所在区 . p P 解:(1)由已知尸(lg ) X20=20 ? lg ( 其中P() =2X10 5). 匕P P0 (2)将P=0.002代入函数关系y=201g,则y=201g: =201gl02=40 ( 分贝). PQ2X10 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以在噪音无害区，环境优良.