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1、中考数学压轴题专题解析-等腰三角形中的动点问题 这节课我们学什么 1.动点等腰三角形代数法 2.动点等腰三角形三线合一与锐角三角比 3.动点等腰三角形相似转化 知识点梳理 等腰三角形常见解法： 法一：代数法，利用边相等的原则，采用距离公式，勾股定理等方法，以计算为主； 法二：三线合一与锐角三角比，常见辅助线方法是作垂线构造直角三角形求解； 法三：相似转换，利用角相等转换为相似三角形求解 典型例题分析 1.动点等腰三角形-代数法； 例1.如图，已知抛物线 21 4 4 yxbx与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C ， 若已知B点的坐标为8,0B （） （1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；
2、（2）连接 AC 、 BC ，试判断AOC 与COB 是否相似？并说明理由； （3）M为抛物线上BC 之间的一点，N 为线段 BC 上的一点， 若/MNy轴，求 MN 的最大值； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形？若存在，求出符 合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由 【答案： （1）抛物线的解析式为 2 13 4 42 yxx，对称轴方程为直线 3x （2）AOCCOB 在AOC和COB中， 90AOCBOC 2 ,4 ,8 , OAOC OAOCOB OCOB AOCCOB （3）当 4x 时MN有最大值4 （4）抛物线的对称轴方程为3x，可设点(3, )Qt，则
3、有： 22 24202 5AC； 222 525AQtt， 22 3(4)CQt 当AQCQ时，有 22 25(4)9tt，解得 1 0 ,(3,0)tQ 当ACAQ时，有 22 252 5 ,5tt，此方程无实数根，此时不能 构成等腰三角形； 当ACCQ时，有 2 (4)92 5t，解得411t， Q点坐标为 23 (3,411) ,(3,411)QQ 综上所述，点Q的坐标为 1(3,0) Q， 23 (3,411) ,(3,411)QQ】 例2.如图，已知tan2MON， 点P是MON内一点，PCOM， 垂足为点C， 2PC，6OC，A是OC延长线上一点，联结AP并延长与射线ON 交于点B
4、 （1）当点P恰好是线段AB的中点时，试判断 AOB的形状，并说明理由； （2）当CA的长度为多少时，AOB是等腰三角形； （3）设 AP k AB ，是否存在适当的k，使得 APC OBPC S k S四边形 ，若存在， 试求出k的值； 若不存在，试说明理由 【答案：（ 1）AOB是直角三角形 （2）CA的值为 3 511 2 、 、时，AOB是等腰三角形 （3） 112 63 x k ax 】 2、 动点等腰三角形- 三线合一与锐角三角比； 例3.如图，已知矩形ABCD中，6AB，8BC，E是BC边上一点（不与B、C 重合） ，过点E作EFAE交AC、CD于点M、F，过点B作BGAC，垂足
5、 为G，BG交AE于点H； （1）求证：ABHECM； （2）设BEx， EH y EM ，求 y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）当BHE为等腰三角形时，求BE的长； N M A B P C O 【答案：（ 1）略 （2） 4 243 x y x 定义域为08x（ ） （3）BE的长为 97 3 2 4 、 、 】 3、 动点等腰三角形- 相似转化； 例4.如图，抛物线 2 2yaxaxb 经过点 3 0, 2 C ，且与x轴交于点A、点B，若 2 tan 3 ACO （1）求此抛物线的解析式 （2） 若抛物线的顶点为M， 点P是线段OB上一动点（不与点B重合） ，45MPQ， 射线
6、PQ与线段BM交于点Q，当MPQ 为等腰三角形，求点P的坐标 【答案：（ 1） 213 22 yxx （2）P坐标为(10)，或3220（ , ）】 例5.已知在梯形ABCD中，/ABDC，2ADPD，2PCPB，ADPPCD， 4PDPC， （1）求证：/PDBC； （2）若点Q在线段PB上运动，与点P不 重合，联结CQ并延长交DP的延长线于点O，如图2，设PQx，DOy，求y 与x的函数关系式，并写出它的定义域； （3）若点M在线段PA上运动， 与点P不重 合，联结CM交DP于点N，当PNM是等腰三角形时，求PM的值 【答案： （2） 8 2 y x 定义域是：02x （3） 6PM 】
7、A P D C B 图 1 A P D C B 图 2 Q O 课后练习 练1. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 2 4yaxaxc（a0） 经过点 (0, 4)A ( 3,1)B 两点，顶点为C （1）求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2）将（ 1）中求得的抛物线沿y轴向上平移m（0m）个单位，所得新抛物线与y 轴的交点记为点D，当ACD是等腰三角形时，求点D的坐标； （3）若点 P在（ 1）中求得的抛物线的对称轴上，联结PO，将线段PO绕点P逆时 针旋转90得到线段PO，若点O恰好落在（ 1）中求得的抛物线上，求点P的坐 标 【答案：（ 1）表达式为 2 44yxx顶点C的坐标为-
8、 2,0（） （2）D的坐标为（0，524） （3）P（2，1） 】 练2. 如图，梯形ABCD中，/ADBC，对角线ACBC，9AD，12AC， 16BC，点E是边BC上的一个动点，EAFBAC，AF交CD于点F， 交BC延长线于点G，设BEx； （1）试用x的代数式表示FC； （2）设 FG y EF ，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）当AEG是等腰三角形时，直接写出BE的长； 【答案 ： （1） 3 5 CFx （2） 343 : 20(016) 551004 x yxxx x （3）10 12.5 7BE、 】 F G A B D CE A B D C 课后小测验 1.如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点 O 顺时针旋转120至 OB 的位 置 （1）求点B的坐标； （2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是 等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由 【答案： （1）点B的坐标为（2, 2 3 ） （2）此抛物线的解析式为 （3）存在】