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1、第二章三大几何辅助线 2.1 截长补短 【方法说明】 遇到求证线段和差及倍半关系时，可以尝试截长补短的方法截长指在长线段中截取一段等 于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短指将一条短线段延长，延长部分等 于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段题目中常见的条件有等腰三角形（即两条边 相等） ，或角平分线（即两个角相等），通过截长补短后，并连接一些点，构造全等得出最终 结论 【方法归纳】 1如图，若要求证ABBDAC，可以在线段AC 上截取线段AB AB，并连接 DB，证明 B CBD 即可；或延长AB 至点 C 使得 ACAC，并连接BC ，证明 BC BD 即可 2如图， 若要求
2、证ABCDBC，可以在 BC 上截取线段BFAB，再证明 CD CF 即可； 或延长 BA 至点 F，使得 BFBC，再证明AFCD 即可 图（ 1）图（ 2） 3在一个对角互补的四边形中，有一组邻边（ABAD）相等，可以使用补短的方法延长 另外两边的一条，构建全等三角形 C D B A B C D B A C C D B A E AB DC F E AB DC F E CD B A A B C D A B C D E 【典型例题】 1 （ 09 广州）如图2.1.1，边长为1 的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF、GH 分割为 四个小矩形，EF 与 GH 交于点 P （ 1）若 AGA
3、E，证明： AFAH； （ 2）若 FAH45，证明： AGAEFH； （ 3）若 RtGBF 的周长为 1，求矩形EPHD 的面积 图 2.1.1 【思路点拨】 （1）证明AF AH，因此先连接AH、AF证明线段相等可考虑三角形全等的方法，观察 发现只要证明RtADHRtABF（或 RtAGHRtAEF）即可； （2）证明 AGAEFH 这种线段和的问题，可以考虑截长补短，发现在FH 上截取的方法 不好证明，可以考虑补短的方法本题可以考虑把AGAE 转化为 DH BF，延长延长CB 至点 M，使得 BMDH ，然后证明MF FH 即可； （3）由于矩形EPHD 的边长并不知道，可以采用设未知
4、数的方式，本题可以设EDx，DH y，则 S矩形 EPHDxy，根据 RtGBF 的周长为 1，即可找到x 与 y 的关系并求出面积 【解题过程】 解： （1）连接 AH、AF 四边形ABCD 是正方形， AD AB， D B90 ADHG 与 ABFE 都是矩形，DH AG，AEBF， 又 AGAE， DHBF 在 Rt ADH 与 RtABF 中， ADAB， D B90， DH BF， RtADH RtABF， AFAH （2） 【方法一】 P B C DAE F GH P B C D AE F GH P B C D AE F G H M P B C D AE F G H P B C D
5、 AE F GH P B C D AE F G H M P B C D AE F G H 延长 CB 至点 M，使得 BMDH，并连接AM， FH 四边形ABCD 是正方形， AD AB， D B90 D ABM90， ABM ADH， AMAH ， MAB DAH FAH 45， MAF BAF MAB BAF DAH 90 45 45 FAH 又 AFAF， AMF AHF MF HF MF MBBFHDBFAG AE， AGAEFH 【方法二】 将 ADH 绕点 A 顺时针旋转90到 ABM 的位置 在 AMF 与 AHF 中， AMAH，AFAF， MAF MAH FAH 90 45
6、45 FAH， AMF AHF MF HF MF MBBFHDBFAG AE， AGAEFH （3）设 EDx，DH y，则 GBABAG1y，BF BCBF1x， 在 RtGBF 中， GF 2GB2BF2（ 1y）2（ 1x）2， Rt GBF 的周长为1， GF 1GBBF1（ 1x）（ 1y） xy1， （ xy1） 2（ 1y）2（ 1x）2得 xy1 2， 矩形 EPHD 的面积 SEDDH xy1 2 【变式练习】 1如图2.1.2，直线 y 3 3 x3与两坐标轴交于A，B，以点 M(1，0)为圆心， MO 为半 径作小圆 M，以点 M 为圆心， MA 为半径作大圆M 交坐标轴于C，D （1）求证：直线AB 是小 M 的切线 . （2）连接 BM，若小 M 以 2 单位 /秒的速度沿x 轴向右平移，大M 以 1单位 /秒的速度沿 射线 BM 方向平移，问：经过多少秒后，两圆相切？ （ 3）如图 2.1.3，作直线 BEx 轴交大 M 于 E，过点 B 作直线 PQ，使 EPM MPB 60 ，连接 PE，PM，请你探究线段PB，PE，PM 三者之间的数量关系，并证明你的结论 图 2.1.2 图 2.1.3 y x D CMA B O y xQ C E D MA B O P