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1、1 鉴赏中考试卷中的改编题 素材如图 1，D 是 ABC 中 AB 边上的中点，ACE 和 BCF 分别是以AC 、BC 为斜边的等腰直角三角形，连结DE、DF求证： DEDF，DEDF 解析本题是初中数学中的一道典型题目，证明的方法也很多，这里只展示其中的一 种方法： 如图 2，取 AC、 BC 中点 M、N，连结 MD 、ND，EM 、FN 经过提炼我们不难看出，这道题实际上是研究以一个三角形的两边为斜边分别作等腰 直角三角形， 这个三角形第三边的中点与两等腰直角三角形的直角顶点之间的两条线段具 2 有怎样的数量和位置关系？ 接下来，我们一起鉴赏本试题经过“变脸”后的多种形式 例 1 某数
2、学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现在等腰 ABC 中，AB AC ，分别以 AB 和 AC 为斜边， 向 ABC 的外 侧作等腰直角三角形，如图3 所示，其中DF 上 AC 于点 F， EGAC 于点 G，M 是 BC 的中点，连结MD 和 ME ，则下列结论正确的是_（填序号即可） AFAG 1 2 AB； MD ME；整个图形是轴对称图形；DAB DMB 数学思考在任意 ABC 中，分别以AB 和 AC 为斜边，向 ABC 的外侧作等腰 直角三角形，如图4 所示， M 是 BC 的中点，连结MD 和 ME，则 MD 与 ME 具有怎样的 数量和位置关系
3、？请给出证明过程； 类比探究在任意 ABC 中，分别以AB 和 AC 为斜边，向 ABC 的内侧作等腰 直角三角形，如图5 所示， M 是 BC 的中点，连结MD 和 ME，试判断MED 的形状 答： _ 评析本题在原素材的基础上，变成了由三个具有递进层次（从特殊到一般）的小问 题构成的新情境探究题第一个小问题到第二个小问题的变化是，等腰三角形ABC 任 意 ABC( 形状变化 )；第二个小问题到第三个小问题的变化是，向ABC 的外侧作等腰直 角三角形向ABC 的内侧作等腰直角三角形（位置变化）这道中考题改编的手法是改 变原素材的条件，而原素材的结论不变这样改编的效果是在增加问题厚度的同时，有
4、效 地降低了试题的难度，减缓了试题的坡度，使不同程度的学生都能有所收获 例 2 已知两个有一个公共顶点的等腰RtABC Rt CEF， ABC CEF90， 连结 AF，M 是 AF 的中点，连结MB 、ME 3 (2)如图 6，若 CBa，CE2a，求 BM ，ME 的长； (3)如图 7，当 BCE45时，求证：BM ME 评析和原素材相比，本题图6 的变化有两点：一是等腰RtABC ，等腰RtCEF 都在 ACF 的内侧；二是其中两腰在同一条直线上（CB 与 CE 在同一直线上） ，然后在这 种特殊位置下分别探究第(1)(2) 问中线段的位置关系和数量改编后的题目增加了对平行线 和几何图
5、形中计算能力的考察，使原问题在横向上得到了引申，体现了知识之间的内在联 系图 7 在图 6 的基础上，其中一个三角形绕点C 进行了旋转，进而探究BM 和 ME 数量 关系实际上 (3)问中“ BCE 45”这个条件是多余的，我想命题者之所以这样做，可 能只是为了降低试题的难度，不过本题作为一道压轴题，不给这个条件，个人认为可更有 效地增加问题的区分度 例 3 在图 8 至图 10 中， 点 B 是线段 AC 的中点，点 D 是线段 CE 的中点，四边形 BCGF 和 CDHN 都是正方形 AE 的中点是M (1)如图 8，点 E 在 AC 的延长线上，点N 与点 G 重合时，点M 与点 C 重合，求证： FMMH ，FM MH ； (2)将图 8 中的 CE 绕点 C 顺时针旋转一个锐角，得到图 9，求证： FMH 是等腰直角 三角形； (3)将图 9 中的 CE 缩短到图10 的情况， FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说 明理由）