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1、九年级知识点复习 - 整式与因式分解 知识点梳理 1单项式：由数字或字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数 _ ， 数字因数叫做 单项式的系数 _ 2多项式： 由几个单项式的和 组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个_多项式的次 数_，其中不含字母的项叫做 _常数项 _ 3整式： _单项式与多项式 _统称为整式 4同类项： 多项式中所含 _字母_相同并且 _相同字母的指数 _也相同的 项，叫做同类项 5幂运算法则： (1) 同底数幂相乘： _ nmnm aaa_ (2)幂的乘方： _ mn n m aa _ (3) 积的乘方： _ mm m baa
2、b_(4)同底数幂相除： _ nmnm aaa_ 6整式乘法： 单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母， 连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘多项式： m(ab)ma+mb_ _ 多项式多项式： (ab)(c d)_ac+ad+bc+bd_ _ 7乘法公式： (1) 平方差公式： _(a+b)(a-b)=a 2-b2_ _ (2) 完全平方公式： _ 22 2 2bababa_ 8整式除法： 单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别_相除_，作为商的因子，对于只在被除式里含有的字母，连同 它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式， 将这个多项式
3、的每一项除以这个 _单项式_，然后把所得的商相 加 9因式分解 把一个多项式化成几个 _因式积 _的形式，叫做因式分解因式分解与整式乘法 是互逆运算 10、基本方法： (1) 提取公因式法： ma mb mc m(a+b+c)_ (2) 公式法： 运用平方差公式： a 2b2(a+b)(a-b) _ ； 运用完全平方公式： a 22abb2_2 ba_ 考点 1整式的加减运算 例（1） （2012广州）下列计算正确的是（C） A.6a-5a=1 B.a+2a =3aC.-(a-b)=-a+b D.2(a+b)=2a+b （2）已知 x2y2，则 3x2y 的值是（D ） A. 0 B. 1 C
4、. 3 D. 5 考点 2 同类项的概念及合并同类项 例 2、若 4x ayx2yb3x2y，则 ab_3_ 对应训练、（2013丽水）化简 2a3a的结果是（B） A.a B.aC.5a D.5a 考点 3幂的运算 【例 3】(2012东营 ) 若 3 x4，9y7，则 3x2y 的值为 (A) A. 4 7 B. 7 4 C 3 D. 2 7 解析3 x4，9y7， 3 x2y 3 x32y3x(32)y 3 x9y474 7. 对应训练（1）(2012临沂 ) 下列计算正确的是 ( D) A2a 24a26a4 B (a 1) 2a21 C (a 2)3 a5 D x 7 x 5x2 考
5、点 4 整式的混合运算及求值 【例 4】(2012山西 ) 先化简，再求值： (2x 3)(2x 3)4x(x 1) (x 2) 2，其中 x 3. 解原式 4x 294x24xx24x4x25. 当 x3时，原式 (3) 25352 对应训练(2012杭州 ) 化简：2(m1)mm(m 1)(m 1)mm(m 1) 若 m是任意整数，请观察化简后的结果， 你发现原式表示一个什么数？ 解2(m1)mm(m 1)(m 1)mm(m 1) 2(m 2m m2m)(m2m m2m)8m3. 原式 ( 2m) 3，表示 3 个2m相乘；或者说是一个立方数， 8 的倍数等 考点 5乘法公式 来源:学科网
6、 ZXXK 【例 5】 （2013 义乌）如图 ，从边长为 a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，再沿着线段AB 剪开，把 剪成的两张纸片拼成如图的等腰梯形. （1）设图中阴影部分面积为s1 ，图中阴影部分面积为s2 ，请直接用含 a，b 的代数式表示 s1和 s2 答： （1） （2） 对应训练 （2013丽水）先化简，再求值：其中 考点 6因式分解的意义 【例 6】 （2013河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（D ） 考点 7 提取公因式法分解因式 【例 7 】阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法 例如： (1)am
7、anbm bn(ambm)(anbn)m(ab)n(ab)(a b)(mn)； (2)x 2y22y1x2(y22y1)x2(y 1)2(x y1)(x y1) aaa112 2 4 3 a ayaxyxa 11 3 xxxxx1212 2 xxxx3431 2 xxxx 22 1 baS bababaabS22 2 1 2 22 bababa 试用上述方法分解因式a 22abacbcb2_ 解析原式 (a 22abb2) (ac bc) (a b)2c(a b)(ab)(a bc) 对应训练 : 把多项式 (m1)(m1)(m1) 提公因式 (m1) 后，余下的部分是 ( ) Am 1 B2
8、m C2 Dm 2 解析提取公因式后，前项余下m 1，后项余下 1， (m1)1m 2. 考点 8运用公式法分解 因式 【例 8】 （1） （2012呼和浩特）下列各因式分解正确的是（C） A B C D 对应训练：分解因式 yxyx yxyxyxyyxx 3232 323294817216 2 2 2 224224 考点 9 综合运用多种方法分解因式 【例 9】给出三个多项式： 1 2x 2x1，1 2x 23x1，1 2x 2x，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式 解( 1 2x 2x1)(1 2x 23x1) x24xx(x 4) ； ( 1 2x 2x1)(1 2x 2x)
9、 x21(x 1)(x 1)； ( 1 2x 23x1)(1 2x 2x) x22x1(x 1)2. 对应训练 （4）在实数范围内分 解因式： 333339 2224 mmmmmm 考点 10因式分解的应用 【例 10】 （1） （2012丽水）已知 A2xy，B2xy，计算 .答：分解因式得（ AB） （AB） ，把 A，B 的值代入（ 2xy2xy） （2xy2xy）4x 2y8xy 对应训练 (1)已知 a 2b26a10b340，求 ab 的值 解a 2b26a10b340， (a 26a9)(b210b25)0， (a3) 2(b5)20， (a 3) 30，(b5)20， a30
10、且 b50， a3，b5， ab352. 2224 2 xxxx 222 22 xxx 22 112xxx 22 12144xxx 9 4 m 22 BA 4224 817216yyxx (2) 已知 a、b、c 是ABC的三边长，且满足a 3ab2bc2b3a2bac2，则ABC的形状是 ( C) A等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形 答题技巧 1、用代数式表示多位数 试题一个两位数，将它的十位数字与个位数字对调，证明所得的数与原来的两位数之差是9 的倍数 证明：设两位数的十位数字是a，个位数字是 b，那么这个 两位数就等于 10ab. 将十位数字与个
11、位数字对调，所得的新数的十位数字是b， 个位数字是 a，它等于 10ba. 于是，所得的新数与原来的两位数之差为： (10ba)(10ab) 10ba10ab9b9a 9(ba) 因为 ba 是一个整数，所以9(ba) 是 9 的倍数，即所得的 新数与原来的两位数之差是9 的倍数 2、幂运算易出现的错误 试题计算x 3x5；x4x4；(am 1)2；(2a2b)2；(mn)6(nm)3. 错解x 3x5x35x15；x4x42x4； (a 2m 1)2a2m 1；(2a2b)222a4b2；(m n)6(nm)3(mn)63(mn)3. 正解x 3x5x35x8；x4x4x44x8； (a m
12、 1)2a(m1)2a2m 2；(2a2b)2( 2)2a4b24a4b2；(mn)6(nm)3(n m)6(n m)3(nm)3. 剖析幂的四种运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除）是学习整式乘除的基础，对幂运算 的性质理解不深刻，记忆不牢固，往往会出现这样或那样的错误.针对具体问题要分清问题所对应的基本形式，以便 合理运用法则，对符号的处理，应特别引起重视. 3.非负数的应用技巧 试题如果 a、b、c 都是整数，且满足 a 23b23c2132ab4b12c，则 a_，b_，c_ 解：a 23b23c2132ab4b12c， 将已知不等式变化为： a 23b23c2132a
13、b4b12c0， a 22abb22b24b23c212c121， (a 22abb2) 2(b22b1) 3(c24c4)1， (a b) 22(b1)23(c 2)21. a、b、c 都是整数， 不等号左边是三个非负整数之和， (a b) 22(b1)23(c 2)20， 只能是 (a b) 22(b1)23(c 2)20， 根据非负数的性质，可得ab0，且 b10，且 c20， ab1, c 2 4.分解方法不熟练致误 试题分解因式： (1)20m 3n15m2n25m2n； (2)4x216y2； (3)m(a b)n(ba)；(4) 3x218x27. (1)20m 3n15m2n25m2n5m2n(4m3n1)； (2)4x 216y24(x 2y)(x 2y) ； (3)m(a b)n(b a)m(ab) n(a b) (ab)(mn)； (4) 3x 218x273(x26x9) 3(x 3)2. 训练：