千题百炼高考数学100个热点问题一第21炼多元不等式的证明版含解析.pdf

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1、- 1 - / 20 第 21 炼 多元不等式的证明 多元不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，本 章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。 一、基础知识 1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作： （1）利用条件粗略确定变量的取值范围 （2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用 2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个n元代数式，如果交换任意两个字母 的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序 3、证明多元不等式通常的方法有两个 （1）消元：利用条件代入消元 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 （2）变

2、量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自 变量大小来证明不等式 （3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。 二、典型例题： 例 1：已知 2 ln , ( )fxx g xfxaxbx，其中g x图像在1,g 1处的切线平行于 x轴 （1）确定a与b的关系 （ 2） 设 斜 率 为k的 直 线 与fx的 图 像 交 于 112212 ,A xyB xyxx， 求 证 ： 21 11 k xx 解： （ 1） 2 lng xxaxbx 1 2gxaxb x ，依题意可得： 112021gabba （2） 思路： 2121 212

3、1 lnlnyyxx k xxxx ，所证不等式为 21 2211 1lnln1xx xxxx 即 21221 211 ln xxxxx xxx ，进而可将 2 1 x x 视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等 式 - 2 - / 20 解：依题意得 2121 2121 lnlnyyxx k xxxx ，故所证不等式等价于： 2121221122 2211211211 1lnln1 ln1ln1 xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx 令 2 1 ,(1) x tt x ，则只需证： 1 1ln1tt t 先证右边不等式：ln1ln10tttt 令ln1h xtt 11 1 t h

4、 t tt h t在1,单调递减10h th 即ln10tt 对于左边不等式： 11 1lnln10tt tt 令 1 ( )ln1p tt t ，则 22 111t p t ttt p t在1+，单调递增10p tp 小炼有话说： （1）在证明不等式 21 2211 1lnln1xx xxxx 时，由于 12 ,x x独立取值，无法利用等量关系消去 一个变量， 所以考虑构造表达式 12 ,fx x：使得不等式以 12 ,fx x为研究对象， 再利用换元 将多元不等式转变为一元不等式 （2）所证不等式为轮换对称式时，若 12 ,x x独立取值，可对 12 ,x x定序，从而增加一个可操作 的条

5、件 例 2：已知函数lnfxxx （1）求)(xf的单调区间和极值； （2）设 1122 ,A xfxB xfx，且 12 xx，证明： 2112 21 2 fxfxxx f xx 解： （1）定义域为0, - 3 - / 20 ln1fxx 令 0fx解得： 1 x e fx的单调增区间是 1 , e ，单调减区间是 1 0, e fx的极小值为 1111 lnf eeee ，无极大值 （2）思路： 所证不等式等价于证 221112 21 lnln ln1 2 xxxxxx xx ，轮换对称式可设 12 xx， 进而对不等式进行变形，在考虑能否换元减少变量 证明：不妨设 12 xx 12 (

6、) 2 AB xx kf 221112 21 lnln ln1 2 xxxxxx xx 1212 22112121 lnlnlnln 22 xxxx xxxxxxxx（由于定序 12 xx，去分母避免了分 类讨论） 21 2121 1212 22 lnln xx xxxx xxxx （观察两边同时除以 1 x，即可构造出关于 2 1 x x 的不等式） 两边同除以 1 x得， 2 212 22 11 1 11 2 2 lnln1 11 x xxx xx xx xx 令 2 1 x x t，则1t， 即证： 22 lnln1 11 t tt tt 令 22 ( )lnln1 11 t g ttt

7、 tt 22 21212 ( )ln1 12(1)2(1) ttt g tt tttt 2111 lnln(1) 1111 tttt tttt 令 1 0 1 t m m t ， ln 1h mmm （再次利用整体换元） 1 10 11 m h m mm ，h m在0,上单调递减，所以00h mh 即ln 1mm，即( )g t 11 ln(1)0 11 tt tt 恒成立 ( )g t在(1,)上是减函数，所以( )(1)0g tg - 4 - / 20 22 lnln1 11 t tt tt 得证 所以 12 () 2 AB xx kf成立 小炼有话说： （1）本题考验不等式的变形，对于不

8、等式 21 2121 1212 22 lnln xx xxxx xxxx 而言，观察到 每一项具备齐次的特征（不包括对数），所以同除以 1 x，结果为 2 1 x x 或者 1，观察对数的真数， 其分式也具备分子分母齐次的特点，所以分子分母同除以 1 x，结果为 2 1 x x 或者 1，进而就将不 等式化为以 2 1 x x 为核心的不等式 （2）本题进行了两次整体换元，第一次减少变量个数，第二次简化了表达式 例 3：已知函数 2 1 ( ) 2 x f xexax（a R） （1）若函数fx在R上是增函数，求实数a的取值范围； （2）如果函数 2 1 2 g xfxax 恰有两个不同的极值

9、点 12 ,x x, 证明： 12 ln 2 2 xx a 解： （1）fxQ是R上是增函数 ,0 x xR fxexa (注意：单调递增导数值0） min x aex 设 x h xex 1 x hxe 令 0hx解得0x故h x在,0单调递减，在0 +，单调递增 min 01h xh 1a （2）思路： 22 1 2 x g xfxaxeaxax， 2 x gxeaxa。所证不等 - 5 - / 20 式含有 3 个字母，考虑利用条件减少变量个数。由 12 ,xx为极值点可得 1 2 1 2 20 20 x x eaxa eaxa 从而可用 12 ,x x表示a，简化所证不等式。 解：依题

10、意可得： 221 2 x g xfxaxeaxax， 2 x gxeaxa 12 ,xxQ是极值点 1 2 11 22 020 020 x x gxeaxa gxeaxa 两式相减可得： 12 12 2 xx ee a xx 所证不等式等价于： 12 1212 122 1212 ln 2 xxxxxx xxeeee e xxxx ，不妨设 12 xx 两边同除以 2 x e可得： 12 12 2 12 1 xxxx e e xx ，（此为关键步骤：观察指数幂的特点以及分式的分母，化不同 为相同，同除以 2 x e使得多项呈 12 xx的形式） 从而考虑换元减少变量个数。令 12 txx0,t

11、所证不等式只需证明： 22 1 +10 ttt te etee t ，设 2 1 t t p xtee 22 1 2 tt t pxee 由（ 2）证明可得： 2 10 2 t t e 0px p t在0 +，单调递减，00p tp证明完毕 原不等式成立即 12 ln 2 2 xx a 小炼有话说：本题第（3）问在处理时首先用好极值点的条件，利用导数值等于0 的等式消去 a，进而使所证不等式变量个数减少。最大的亮点在于对 12 12 12 ln 2 xx xxee xx 的处理，此时 对数部分无法再做变形，两边取指数，而后同除以 2 x e，使得不等式的左右都是以 12 xx为整 体的表达式，

12、再利用整体换元转化为一元不等式。 - 6 - / 20 例 4：已知 2 1 ln1fxaxax （1）讨论fx的单调性 （2）设 2a ，求证： 121212 ,0,4x xfxfxxx 解： （ 1）定义域0x 2 121 2 aaxa fxax xx 令 0fx，即 22 21021axaaxa 0a 则 0fx恒成立，fx为增函数 0a 则 2 1 2 a x a ， 0fx恒成立，fx为增函数 0a 时， 2 1 2 a x a 当1a，则 0fx恒成立，fx为减函数 当 10a 时，解得： 1 0 2 a x a x 1 0, 2 a a 1 , 2 a a fx fx （2）思路

13、：所证不等式 1212 4fxfxxx含绝对值，所以考虑能否去掉绝对值，由 （1）问可知fx单调递减，故只需知道 12 ,x x的大小即可，观察所证不等式为轮换对称式， 且 12 ,x x任 取 ， 进 而 可 定 序 21 xx， 所 证 不 等 式 2121 44fxfxxx， 即 2211 44fxxfxx，发现不等式两侧为关于 12 ,x x的同构式，故可以将同构式构造一 个函数，从而证明新函数的单调性即可。 解：不妨设 21 xx，2aQ，所以由第（1）问可得fx单调递减， 21 fxfx - 7 - / 20 所 证 不 等 式 等 价 于 ： 12211122 4444fxfxx

14、xfxxfxx， 令 2 41 ln14g xfxxaxaxx，只需证明g x单调递减即可 2 1241 24 aaxxa gxax xx 。 设 2 241h xaxxa 方程 0h x1616116210a aaa 00h xgx g x在0,单调递减。 12 g xg x即所证不等式成立 小炼有话说：同构式以看作是将不同的变量放入了同一个表达式，从而可将这个表达式视为 一个函数，表达式的大小与变量大小之间的关系靠函数的单调性进行联结。将不等式转化为 函数单调性的问题。双变量的同构式在不等式中并不常遇到，且遇且珍惜。 例 5：已知函数 2 2lnfxxxax. （1）当3a时，讨论函数yf

15、x在 1 , 2 上的单调性； （ 2）如果 1212 ,x xxx是函数fx的两个零点， fx为函数fx的导数，证明： 12 2 0 3 xx f 解： （ 1） 2 2fxxa x 可判断 fx在 1 , 2 单调递减 1 4130 2 fxfaa fx在 1 , 2 单调递减 （2）思路： 2 2fxxa x 可得： 12 12 12 262 2 323 xx fxxa xx ，含有三 个字母，考虑利用条件减少字母的个数。由 12 0fxfx可得： - 8 - / 20 2 111 2 222 2ln0 2ln0 xxax xxax 两式相减便可用 12 ,x x表示a, 即 2 1 2

16、1 21 2ln x x axx xx , 代入可得： 2 2 211221 2121 1221121 2ln 62611 2ln 32323 x xxxxxx fxxxx xxxxxxx 从而考虑换元法将多元解析式转变为一元解析式进行证明 解： 12 12 12 262 2 323 xx fxxa xx 1212 ,x xxxQ是函数fx的两个零点 2 1111 2 2222 2ln0 2ln0 fxxxax fxxxax 2 1 21 21 2ln x x axx xx 2 121 1221 121221 2ln 26261 2 32323 x xxx fxxaxx xxxxxx 2 21

17、 1 0 3 xxQ 只需证 2 212 1 1221121 2ln 66 02ln0 22 x xxxx xxxxxxx 2 12 2 1 1 31 ln0 12 x x x x x x ，令 2 1 ,1, x tt x 则设 31 ln 12 t h tt t 下面证0h t 10,h 2 141 21 tt h t tt 1,0th tQ恒成立 h t在1,单调递减，10h th即 12 2 0 3 xx f 小炼有话说： （1） 体会在用 12 ,x x表示a时为什么要用两个方程，而不是只用 2 111 2ln0xxax来表示a? - 9 - / 20 如果只用 1 x或 2 x进行

18、表示，则 1 ln x很难处理，用 12 ,x x两个变量表示a，在代入的时候有项 2 1 ln x x ，即可以考虑利用换元法代替 2 1 x x , 这也体现出双变量换元时在结构上要求“平衡”的特 点 （2）在 2 121 21 1221 2ln 261 323 x xxx fxx xxxx 这一步中，对 21 1 3 xx项的处理 可圈可点，第三问的目的落在判断 12 2 3 xx f 的符号，而 21 1 3 xx符号为负，且在解 析式中地位多余（难以化成 2 1 x x ) ，所以单拿出来判断符号，从而使讨论的式子得到简化且能 表示为 2 1 x x 的表达式 例 6： （2010

19、年天津， 21）已知函数 x fxxe （1）求函数fx的单调区间和极值 （2）已知函数yg x的图像与函数yfx的图像关于1x对称，证明当1x时， fxg x （3）如果 12 xx，且 12 fxfx，求证： 12 2xx 解： （ 1） 1 xxx fxxeex e 令 01fxxfx的单调区间为： x ,11, fx fx fx的极大值为 1 1f e ，无极小值 （2）解：与fx关于1x轴对称的函数为2fx - 10 - / 20 2 22 x g xfxx e所证不等式等价于证： 2 20 xx xexe设 2 2 xx h xxexe10h 222 21 xxxxxx hxxee

20、exexee 22 11 xx exe 1xQ 22 10 x e 0hx h x在1,单调递增10h xh即fxg x （3） 思路：所给条件 12 1212 xx fxfxx ex e，但很难与 12 2xx找到联系。首 先考虑 12 ,x x的范围，由（1）可得1x是极值点， 1212 ,fxfxx x应在1x的 两侧，观察已知和求证均为 12 ,x x的轮换对称式，所以可设 12 xx，进而 12 1xx，既然无 法直接从条件找联系，不妨从另一个角度尝试。已知条件给的是函数值，所证不等式是关于 自变量的， 1212 22xxxx，而 2 21x，根据fx的单调区间可发现 21 2,xx

21、 同在单调递增区间中，进而与函数值找到联系 1212 22xxfxfx 由 12 fxfx可得所证不等式等价于 22 2fxfx，刚好使用第二问的结论。 解： 12 fxfxQ，1x是极值点 12 ,xx在1x的两侧，不妨设 12 1xx 所证不等式等价于 12 2xx而 2 21x fxQ在,1单调递增 1212 22xxfxfx 12 fxfxQ 只需证明 22 2fxfx 2 1xQ 由第（ 2）问可得 222 2fxg xfx成立 12 2xx得证 小炼有话说： （1）本题第（ 3）问是利用函数的单调性，将自变量的不等式转化为函数值的不 等关系，进而与前面问题找到联系。在处理此类问题感

22、到无法入手时，不妨在确定变量的范 - 11 - / 20 围后适当将其赋予一个函数背景，扩展不等式变形的空间 （2） 本题第（2）（3） 两问存在图形背景。首先说第三问： 所证不等式 12 12 21 2 xx xx ， 即证 12 ,xxxx的中点横坐标大于1， 而1x恰好是fx的极值点。 12 fxfx可 理解为fx与一条水平线交于 12 ,x x， 而 12 1 2 xx 说明什么？ 说明如果是以极大值点1x 为起点向两边走， 左边下降的快而右边下降的慢！从函数角度来看说明fx增长快下降慢 （如 图） 。 那么如何使用代数方法说明函数快增长慢下降的特点呢？ 本题的第二问提供了一个方法，就

23、是以极值点所在竖直线为对 称轴，找fx的对称图形（虚线） ，这样便把极值点左边的情 况对称到右边来（即g x） ，由于对称轴右边都是从1x起 开始下降，那么通过证明对称轴右侧原图像在对称图像的上方即可说明增减的相对快慢。 例 7：已知函数 1ln , ax fxaR x （1）求fx的极值 （2）若ln0xkx对任意的0x均成立，求k的取值范围 （3）已知 12 0,0xx且 12 xxe，求证： 1212 xxx x 解： （ 1） 2 lnax fx x 令 0fx解得 a xe fx在0, a e单调增，在, a e单调递减 fx有极大值 aa f ee，无极小值 （2） ln ln0

24、x xkxk x ( 参变分离法） max ln x k x 设 ln x g x x ( 即1a时的fx) max 1 g xg e e 1 k e （3）思路：所求证不等式 1212 xxx x无法直接变形，联系,fxg x的特点可以考虑不 等 式 两 边 取 对 数 ， 即 12121212 lnlnlnxxx xxxxx， 由 12 0,0xx且 12 xxe可得 12 ,0,x xe，联系第（2） 问的函数g x即可寻找 12 ln,lnxx与 12 ln xx - 12 - / 20 的联系了。 解： 12 0,0xxQ， 12 xxe 12 ,0,x xe 考虑 ln x g x

25、 x 在0,e单调递增 121121 1121 11212 lnlnln ln xxxxxx g xg xxx xxxxx 同理： 122122 2122 21212 lnlnln ln xxxxxx g xg xxx xxxxx 112212 1212 1212 lnln lnlnln xxxxxx xxxx xxxx 即 1212 lnlnx xxx 1212 x xxx 例 8：已知函数lng xxbx （1）函数g x有两个不同的零点 12 ,x x，求实数b的取值范围 （2）在（ 1）的条件下，求证： 2 12 x xe 解： （ 1）g x有两个不同的零点 12 ,x x，即ln0

26、xbx有两个不同的根 ln x b x 设 ln x fx x 2 1ln x fx x 令 0fx可得：1ln0xxe fx在0,e单调递减，在, e单调递增 且x时，0fx， 1 f e e 1 ,0b e （2）思路一：所证不等式中含有两个变量 12 ,x x，考虑利用条件消元将其转化为一元不等式， 由零点可知 11 22 ln0 ln0 xbx xbx ， 从中可以找到 12 x x， 即 1212 ln x xb xx， 下面只需用 12 ,x x - 13 - / 20 将b消掉即可，仍然利用方程组两式作差可得 2 1 12 ln x x b xx ，从而 2 12 1 12 12

27、 ln ln x xx x x x xx ， 只需证明 2 12 1 12 ln 2 x xx x xx ，两边同除以 1 x，即可利用换元将所证不等式转为一元不等式 来进行证明 解：不妨设 21 xx 由已知可得： 11 22 ln0 ln0 xbx xbx 1212 ln x xb xx 即只需证明： 12 2b xx，在方程 11 22 ln0 ln0 xbx xbx 可得： 2 12 1 ln x b xx x 2 1 12 ln x x b xx 只需证明： 2 1 12 12 ln 2 x x xx xx 即 222 112221 12 2 21111 1 1lnln 221ln2

28、1 1 xxx xxxxxx xx x xxxxx x 令 2 1 x t x ，则1t，所以只需证明不等式：1ln211ln220tttttt 设 1ln22h tttt10h 11 ln2ln1 t h ttt tt 10h 22 111 0 t ht ttt h t在1,单调递增 10h th h t在1,单调递增 10h th，即不等式得证 12 2b xx即 12 ln2x x 2 12 x xe 思路二：参照例题6 的证明方法，构造一个单调的函数，进而将自变量的不等式转化为函数 - 14 - / 20 值的不等式进行证明。由（1）可知在构造的函数 ln x fx x 中，有 12

29、fxfxb， 且fx在0,e单调递减，在, e单调递增，所以考虑使用fx来进行转换，所证不等 式 2 2 121 2 e x xex x ， 通 过 （ 1 ） 中 的 数 形 结 合 可 知 12 0xex， 从 而 有 2 1 2 0,0, e xee x ，所以所证不等式转化为 2 1 2 e fxf x ，即 2 2 2 e fxf x ，转化 为关于 2 x的一元不等式，再构造函数证明即可 解：所证不等式 2 2 121 2 e x xex x 因为lng xxbx有两不同零点 12 ,x x 12 ,xx满足方程 ln ln0 x xbxb x ，由（ 1）可得： 12 0xex

30、考虑设 ln x fx x ， 12 fxfx 由（ 1）可得：fx在0,e单调递减，在, e单调递增 12 0xexQ 2 1 2 0,0, e xee x 结合fx的单调性可知：只需证明 2 1 2 e fxf x 12 fxfxQ 所以只需证明： 22 22 22 0 ee fxffxf xx 即证明： 2 22 222 22 222222 222 2 ln ln 0lnln02ln0 e xeex xxxxex exxx x 设 222 2ln ,h xxxex xe，则0h e 2 22 1 42 ln32 ln e hxxxexxxxx xx ，则 0h e - 15 - / 20

31、 22 22 32 1ln12ln ee hxxx xx ，则 0he hxQ单调递减 0hxhe h x单调递减 0hxh e h x单调递减0h xh e 即 222 22 2ln0xxex得证 2 1 2 e fxf x 得证，从而有 2 2 112 2 e xx xe x 例 9：已知函数 2 11 ln 4 fxxxxa a ，其中常数0a （1）求fx的单调区间 （ 2）已知 1 0 2 a，若 1212 ,x xa axx，且满足 12 0fxfx，试证明： 12 0fxxf 解：（1）定义域,xa 2 2 111 22 x axa fxx axaa xa 令 0fx即 2 20

32、x axa 2 12 2 0, a xxa a 12 02xxa x,0a 2 2 0, a a 2 2 , a a fx fx 12 2xxa 0fx恒成立fx在,+a单调递增 12 2xxa - 16 - / 20 x 2 2 , a a a 2 2 ,0 a a 0, fx fx （2） 思路一：分别用 12 ,x xa表示出 12 fxx，并利用 12 0fxfx进行代换，然后判 断 12 fxx的符号即可。 解： 12 12 12 11 2 xx fxx axxa ， 00f，所以只需证明： 12 0fxx 12 0fxfxQ 12 1212 1212 111111211 0 222

33、 xx fxfxxx axaaxaaxaxa 即 12 12 211 2 xx axaxa 只需证 12 1212 1111 0fxx aaxxaxax 12 1122 1111 fxx aaxaxxax Q 212111 11221122 axaxx axaxx a axaxxaxa axaxxax 1221 1 1122 axxaxa ax x a axaxxax 222 2112221 1 1122 aaxaxx xaxxaax x a axaxxax 2 122212 112 11221122 22x xaxxxxa xx x a axaxxaxa axaxxax 12 1 ,0, 2

34、 x xa aaQ - 17 - / 20 1212 0,0,20xaxaxxa 若要证 12 0fxx，只需证明： 12 12 0 x x axx 即可 下面判断 12 ,x x的范围 111 2 fxxaxa axa 2 22 211 2 2 xa fx xaxa 1 0, 2 aQ 22 2 22420xaaaa fx单调递减，不妨设 12 xx 12 00,0ffxfxQ 12 0axxa 121221 0,0x xxxaxxa 12 12 0 x x axx 得证 12 0fxx即不等式 12 0fxxf得证 思路二：在证明 12 1212 1111 0fxx aaxxaxax 时，

35、固定 2 x( 视为一个参 数） ，将 1 ax作为一个整体视为自变量，构造函数判断 12 fxx符号 解：考虑证明 12 1212 1111 0fxx aaxxaxax 同思路一判断出 12 0axxa 令 1 xax0,xa设 22 1111 g x axxxax 22 22 2 2 22 211 0 xxx gx x xxxxx g x在0,a单调递增 1 0g axg a 即 12 1212 1111 0fxx aaxxaxax 不等式得证 小炼有话说： （1）思路一的方法比较直接，在整理完 12 fxx后通分判断符号。其中证明 - 18 - / 20 12 0xx借鉴了例6 的思路，

36、通过单调性将自变量的大小关系转化为函数值的大小关系， 构造函数证明。 （2）思路二为我们提供了一个证明多元不等式的方法：可固定其中一个变量，视其为参数， 以另一个变量作为自变量构造函数，计算出最值，对原表达式进行一次放缩，然后再将先前 固定的变量视为自变量构造函数证明不等式，这种方法也称为调整法 （3）第（ 3）问中对 12 ,x x范围的判定是一个亮点，利用极值点与单调性来进行判定。此方法 通过图像更为直观，所以在判断变量范围时可以考虑做出草图，然后观察其大概位置，在用 代数语言进行说明和证明。 例 10：已知函数 x fxeaxb，其中,2.71828.a bR e （1）当ba时，求fx

37、的极小值 （2） 当0,aba时，设 fx为fx的导函数， 若函数fx有两个不同的零点 12 ,x x， 且 12 xx，求证： 12 12 2 3ln x x faf xx 解： （ 1） x fxeaxa x fxea 当 0a 时， 0fx恒成立fx为增函数，无极小值 当 0a 时，令 0 x fxea，解得 lnxa fx在,ln a单调递减，在ln ,a单调递增 fx有极小值为 ln lnln2ln a faeaaaaaa （2 ）思路： x fxeaxa，可得 2 3ln3ln1faa aa， 12 12 2 12 12 2 x x xx x x fea xx ，考虑减少变量个数。

38、由 12 ,x x是零点可得： 1 2 1 2 0 0 x x eaxa eaxa ， 可 得 12 12 xx ee a xx ， 若 直 接 代 入 不 等 式 消 去a， 则 不 等 式 过 于 复 杂 。 且 12 12 2 3ln x x faf xx 之 间 很 难 通 过 变 形 构 造 函 数 ， 所 以 考 虑 分 别 判 断 - 19 - / 20 12 12 2 3ln, x x faf xx 的 取 值 范 围 ， 寻 找 它 们 之 间 的 “ 中 间 量 ”。 构 造 函 数 2 3ln1p aaa， 通 过 判 断 单 调 性 可 得 到0p a， 从 而3ln0

39、fa， 而 1212 12 1212 22 12 1212 2 x xx x xx xxxx x xee feae xxxx ，不利于通过换元减少变量个数，但观察到 1212 12 12 22 11 2 x xxx xx xx ，从而 1221 1212 1222 12 22 121212 2 1 xxxx xxxxxx x xeeee fee xxxxxx ，可通过换元 21 2 xx 构造 函数，再分析其最值即可得到 12 12 2 0 x x f xx ，从而通过桥梁“0”证明不等式 解： x fxeaxa x fxea 32 3ln3 ln3ln1faaaaaa aa 12 12 2

40、12 12 2 x x xx x x fea xx fxQ有两个不同的零点 12 ,x x 1 12 2 1 12 2 0 0 x xx x eaxa ee a xx eaxa 12 12 12 2 12 1212 2 x x xx xx x xee fe xxxx 考虑： 2 3ln3ln1faa aa，设 2 3ln1p aaa 2 66 2 22 323 2 aa a paa aaa ，因为0a p a在 6 0, 2 单调递减，在 6 ,+ 2 单调递增 min 636 3ln10 222 p ap 0p a3ln0faa p a - 20 - / 20 再考虑 12 12 12 2 12 1212 2 x x xx xx x xee fe xxxx 1212 12 12 22 11 2 x xxx xx xx Q 1221 1212 1222 12 22 121212 2 1 xxxx xxxxxx x xeeee fee xxxxxx 1221 1222 12 2 12 xxxx xx xxee e xx 设 21 0 2 xx ，则 1221 22 12 12 2 2 xxxx xxeeee T xx 设=2ee 1 220eee e 在0,+单调递减 000T，进而 12 12 2 0 x x f xx 综上可得： 12 12 2 3ln0 x x faf xx