大一高数复习资料(免费).pdf

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1、高等数学期末复习资料第1页（共 9页） 高等数学 第一章函数与极限 第一节函数 函数基础（高中函数部分相关知识）（ ） 邻域（去心邻域） （） ,|U axxa ,| 0Uaxxa o 第二节数列的极限 数列极限的证明（） 題型已知数列 n x，证明lim n x xa 证明N语言 1由 n xa化簡得gn， Ng 2即对0，Ng ，当Nn时，始终 有不等式 n xa成立， axn x lim 第三节函数的极限 0 xx时函数极限的证明（） 題型已知函数xf，证明Axf xx 0 lim 证明语言 1由fxA化簡得 0 0 xxg， g 2即对0，g，当 0 0 xx时， 始终有不等式fxA成

2、立， Axf xx 0 lim x时函数极限的证明（） 題型已知函数xf，证明Axf x lim 证明 X 语言 1由fxA化簡得xg， gX 2即对0，gX，当Xx时，始终有 不等式fxA成立， Axf x lim 第四节无穷小与无穷大 无穷小与无穷大的本质（） 函数xf无穷小0limxf 函数xf无穷大xflim 无穷小与无穷大的相关定理与推论（ ） （定理三）假设xf为有界函数，xg为无穷小， 则lim 0fxg x （定理四） 在自变量的某个变化过程中，若xf为 无穷大， 则 1 fx 为无穷小； 反之， 若xf为无 穷小，且0fx，则xf 1 为无穷大 題型計算： 0 lim xx

3、fxg x （或x） 1fxM函数fx在 0 xx的任一去心 邻域, 0 xU 内是有界的； （fxM，函数fx在Dx上有界；） 20lim 0 xg xx 即函数xg是 0 xx 时的无穷小； （0lim xg x 即函数xg是x时的无穷小； ） 3由定理可知 0 lim0 xx fxg x （lim0 x fxg x ） 第五节极限运算法则 极限的四则运算法则（ ） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则 关于多项式p x、xq商式的极限运算 设： n nn m mm bxbxbxq axaxaxp 1 10 1 10 则有 0 lim 0 0 b a xq xp x mn mn mn 0

4、 0 0 lim 0 0 xx fx g x fx g x 0 00 00 0 0,0 0 g x g xfx g xfx （特别地，当 0 0 lim 0 xx fx g x （不定型）时，通常分 子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极 限值，也可以用罗比达法则求解） 題型求值 2 3 3 lim 9 x x x 高等数学期末复习资料第2页（共 9页） 求解示例 解：因為3x，从而可得3x，所以原 式 2 333 3311 limlimlim 93336 xxx xx xxxx 其中3x为函数 2 3 9 x fx x 的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 解：

5、0 0 2 333 2 3 311 limlimlim 926 9 xLxx x x xx x 连续函数穿越定理（复合函数的极限求解） （ ） （定理五）若函数xf是定义域上的连续函数，那 么， 00 limlim xxxx fxfx 題型求值： 9 3 lim 2 3 x x x 求解示例 22 33 3316 limlim 9966 xx xx xx 第六节极限存在准则及两个重要极限 夹迫准则（ P53） （ ） 第一个重要极限：1 sin lim 0 x x x 2 , 0 x，xxxtansin1 sin lim 0 x x x 0 00 0 lim1 1 limlim1 sin si

6、nsin lim x xx x x x xx xx （特别地， 0 0 0 sin() lim1 xx xx xx ） 单调有界收敛准则（P57） （ ） 第二个重要极限： e x x x 1 1lim （一般地， lim limlim g xg x fxfx ，其中 0limxf） 題型求值： 1 12 32 lim x x x x 求解示例 2 111 21 2 1 21221 21 1 2212 2121 lim 21 2 21 232122 limlimlim1 212121 22 lim1lim1 2121 2 lim1 21 xxx xxx x xx x x x xx x x xx

7、 xxx xx x 解： 1 2 lim1 21 21 21 2 1 21 22 lim 1 21 x x x x x x x x x e eee 第七节无穷小量的阶（无穷小的比较） 等价无穷小（ ） 1 sin tan arcsin arctan ln(1) 1 U UUUUUU e 2UUcos1 2 12 （乘除可替，加减不行） 題型求值： xx xxx x 3 1ln1ln lim 2 0 求解示例 3 1 3 1 lim 3 1 lim 3 1ln1 lim 3 1ln1ln lim,0, 0 000 2 0 x x xx xx xx xx xx xxx xx xxx x 所以原式即

8、解：因为 第八节函数的连续性 函数连续的定义（） 00 0 limlim xxxx fxfxfx 间断点的分类（P67） （） ）无穷间断点（极限为 第二类间断点 可去间断点（相等） 跳越间断点（不等） 限存在）第一类间断点（左右极 （特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式） 題型设函数 xa e xf x2 ， 0 0 x x 应该怎样选 择数a，使得xf成为在 R上的连续函数？ 求解示例 1 2 01 0 00 0 feee faa fa 2由连续函数定义efxfxf xx 0limlim 00 ea 高等数学期末复习资料第3页（共 9页） 第九节闭区间上连续函数的性质 零点定理（ ）

9、 題型证明：方程fxg xC至少有一个根 介于a与b之间 证明 1 （建立辅助函数）函数xfxg xC在 闭区间,a b上连续； 20ab（端点异号） 3由零点定理，在开区间ba,内至少有一点，使 得0，即0fgC（10） 4这等式说明方程fxg xC在开区间ba, 内至少有一个根 第二章导数与微分 第一节导数概念 高等数学中导数的定义及几何意义（P83） （ ） 題型 已知函数 bax e xf x 1 ， 0 0 x x 在 0 x 处可导，求a，b 求解示例 1 0 01 0 fe fa ， 00 0 0112 0 012 fee fb fe 2由函数可导定义 001 0002 ffa

10、fffb 1,2ab 題型求xfy在ax处的切线与法线方程 （或：过xfy图像上点, a fa处的切线与法线 方程） 求解示例 1xfy，afy ax | 2切线方程：yfafaxa 法线方程： 1 yfaxa fa 第二节函数的和（差） 、积与商的求导法则 函数和（差） 、积与商的求导法则（ ） 1线性组合（定理一） ：()uvuv 特别地，当1时，有()uvuv 2函数积的求导法则（定理二）：()uvu vuv 3函数商的求导法则（定理三）： 2 uu vuv vv 第三节反函数和复合函数的求导法则 反函数的求导法则（ ） 題型求函数xf 1 的导数 求解示例 由题可得xf为直接函数，其在

11、定于域 D 上单调、可导，且0 xf； 1 1 fx fx 复合函数的求导法则（ ） 題型设 2 arcsin122 ln x yexa ，求y 求解示例 2 2 2 2 2 2 2 arcsin122 arcsin122 2 22 arcsin1 22 2 arcsin122 2 arcsin1 222 arcsin122 arcsi arcsin122 1 1 1 2 11 2 12 21 22 1 x x x x x x x yexa exa x xa e xa xexa x x x e xxa exa e exa 解： 2 n1 2222 12 xxx xxxa 第四节高阶导数 1nn

12、 fxfx （或 1 1 n n nn d ydy dxdx ） （） 題型求函数xy1ln的n阶导数 求解示例 1 1 1 1 yx x ， 12 111yxx ， 23 11121yxx 1 ( 1)(1) (1) nnn ynx！ 第五节隐函数及参数方程型函数的导数 隐函数的求导（等式两边对x求导）（ ） 題型试求：方程 y exy所给定的曲线C： xyy在点1 ,1e的切线方程与法线方程 求解示例 由 y exy两边对x求导 即 y yxe化簡得1 y yey ee y 1 1 1 1 1 切线方程：ex e y1 1 1 1 高等数学期末复习资料第4页（共 9页） 法线方程：exey

13、111 参数方程型函数的求导 題型设参数方程 ty tx ，求 2 2 dx yd 求解示例 1. t t dx dy 2. 2 2 dy d y dx dxt 第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 第七节函数的微分 基本初等函数微分公式与微分运算法则（ ） dxxfdy 第三章中值定理与导数的应用 第一节中值定理 引理（费马引理） （） 罗尔定理（ ） 題型 现假设函数fx在0,上连续，在0, 上可导，试证明：0,， 使得cossin0ff成立 证明 1 （建立辅助函数）令sinxfxx 显然函数x在闭区间0,上连续，在开区间 0,上可导； 2又00 sin00f sin0f 即00

14、 3由罗尔定理知 0,，使得cossin0ff成立 拉格朗日中值定理（） 題型证明不等式：当1x时， x ee x 证明 1 （建立辅助函数）令函数 x fxe，则对1x， 显然函数fx在闭区间1,x上连续，在开区间 1,x上可导，并且 x fxe； 2由拉格朗日中值定理可得，1,x使得等式 1 1 x eexe成立， 又 1 ee， 11 1 x eexee xe， 化簡得 x ee x，即证得：当1x时， x ee x 題型证明不等式：当0 x时，ln 1xx 证明 1 （建立辅助函数）令函数ln 1fxx，则对 0 x，函数fx在闭区间0,x上连续，在开区 间0,上可导，并且 1 1 f

15、x x ； 2由拉格朗日中值定理可得，0,x使得等式 1 ln 1ln 100 1 xx 成立， 化簡得 1 ln 1 1 xx，又0,x ， 1 1 1 f ，ln 11xxx， 即证得：当1x时， x ee x 第二节罗比达法则 运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（ ） 1 等价无穷小的替换（以简化运算） 2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比 达法则的三个前提条件 A属于两大基本不定型（ 0 , 0 ）且满足条件， 则进行运算： limlim xaxa fxfx g xgx （再进行 1、2 步骤，反复直到结果得出） B 不属于两大基本不定型 （转化为基本不定型） 0型（转乘为除

16、，构造分式） 題型求值： 0 limln x xx 求解示例 1 0000 2 0 1 ln ln limlnlimlimlim 1 1 1 lim0 xxL xx x x x x xx x x x x x a 解： （一般地， 0 limln0 x xx，其中,R） 型（通分构造分式，观察分母） 題型求值： 0 11 lim sin x xx 求解示例 2 000 11sinsin limlimlim sinsin xxx xxxx xxxxx 解： 00 00 0000 2 sin1cos 1 cossin limlimlimlim0 22 2 LxxLxx xxx xx x x x 0

17、0型（对数求极限法） 高等数学期末复习资料第5页（共 9页） 題型求值： 0 lim x x x 求解示例 0 000 lim ln ln0 0000 2 ln ,lnlnln 1 lnln 0lim lnlimlim 1 1 1 limlim0limlim1 1 x xx xxLx y y xxxx x yxyxxx x xx xy x x x xyeee x 解：设两边取对数得： 对对数取时的极限： ，从而有 1 型（对数求极限法） 題型求值： 1 0 lim cossin x x xx 求解示例 0 1 00 0 0 00 lim ln ln1 00 ln cossin cossin,l

18、n, ln cossin ln0limlnlim ln cossin cossin10 limlim1, cossin10 lim= lim x x xx Lxx y y xx xx yxxy x xx yxy x xx xx xx x yeeee 解：令两边取对数得 对求时的极限， 从而可得 0 型（对数求极限法） 題型求值： tan 0 1 lim x x x 求解示例 tan 00 2 000 2 0 2 2 0 00 11 ,lntanln, 1 ln0lim lnlimtanln 1 ln ln limlimlim 1sec 1 tantan tan sin sin limlimli

19、 x xx xLxx xL x yyx xx yxyx x x x x x xx x x x xx 解：令两边取对数得 对求时的极限， 0 0 lim ln ln0 00 2sincos m0, 1 lim= lim1 x x y y xx xx yeee从而可得 运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（ ） 0 0 0 0 0 01 (1)(2)(3) 通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换） 取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） 取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前） 第三节泰勒中值定理（不作要求） 第四节函数的单调性和曲线的凹凸性 连续函数单调性（单调区间）（ ） 題型试确定函数

20、 32 29123fxxxx的 单调区间 求解示例 1函数fx在其定义域R上连续，且可导 2 61812fxxx 2 令6120fxxx， 解得： 12 1,2xx 3 （三行表） x,1 1 1,2 2 2, fx 00 fx Z 极大值 极小值 Z 4函数fx的单调递增区间为,1 , 2,； 单调递减区间为1,2 題型证明：当0 x时，1 x ex 证明 1 （构建辅助函数）设1 x xex， （0 x） 210 x xe， （0 x） 00 x 3既证：当0 x时，1 x ex 題型证明：当0 x时，ln 1xx 证明 1 （构建辅助函数）设ln 1xxx， （0 x） 2 1 10 1

21、 x x ， （0 x） 00 x 3既证：当0 x时，ln 1xx 连续函数凹凸性（ ） 題型 试讨论函数 23 13yxx的单调性、 极值、 凹凸性及拐点 证明 高等数学期末复习资料第6页（共 9页） 1 2 3632 6661 yxxx x yxx 2令 320 610 yx x yx 解得： 12 0,2 1 xx x 3 （四行表） x(,0) 0(0,1)1(1,2)2(2,) y00 y y 1 (1,3) 5 4函数 23 13yxx单调递增区间为(0,1),(1,2) 单调递增区间为(,0),(2,)； 函数 23 13yxx的极小值在0 x时取到， 为01f， 极大值在 2

22、x 时取到，为 25f ； 函数 23 13yxx在区间(,0),(0,1)上凹， 在区间(1,2),(2,)上凸； 函数 23 13yxx的拐点坐标为1,3 第五节函数的极值和最大、最小值 函数的极值与最值的关系（ ） 设函数fx的定义域为 D，如果 M x的某个邻 域 M UxD，使得对 M xUx o ，都适合不 等式 M fxfx， 我们则称函数fx在点 ,MM xfx 处有极大 值 M fx； 令 123 ,., MMMMMn xxxxx 则函数 fx 在闭区间 ,a b 上的最大值 M 满足： 123 max,., MMMMn Mf axxxxfb； 设函数fx的定义域为 D， 如

23、果 m x的某个邻域 m UxD，使得对m xUx o ，都适合不等 式 m fxfx， 我们则称函数fx在点 ,mm xfx 处有极小值 m fx； 令 123 ,., mmmmmn xxxxx 则函数fx在闭区间,a b上的最小值m满足： 123 min,., mmmmn mf axxxxf b； 題型求函数 3 3fxxx在1,3上的最值 求解示例 1函数fx在其定义域1,3上连续，且可导 2 33fxx 2令3110fxxx， 解得： 12 1,1xx 3 （三行表） x 1 1,1 1 1,3 fx 00 fx极小值 Z 极大值 4又12,12,318fff maxmin 12,31

24、8fxffxf 第六节函数图形的描绘（不作要求） 第七节曲率（不作要求） 第八节方程的近似解（不作要求） 第四章不定积分 第一节不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念（ ） 原函数的概念： 假设在定义区间I上，可导函数F x的导函数 为Fx， 即当自变量 xI 时，有Fxfx或 dF xfxdx成立，则称F x为fx的一 个原函数 原函数存在定理： （ ） 如果函数fx在定义区间I上连续，则在I上 必存在可导函数F x使得Fxfx，也就是 说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） 不定积分的概念（ ） 在定义区间I上，函数fx的带有任意常数项 C的原函数称为fx在定义区间I上的不定积分，

25、 即表示为： fx dxF xC （称为积分号，fx称为被积函数，fx dx称 为积分表达式，x则称为积分变量） 基本积分表（ ） 不定积分的线性性质（分项积分公式）（ ） 1212 k fxk g xdxkfx dxkg x dx 第二节换元积分法 第一类换元法（凑微分）（ ） （dxxfdy的逆向应用） fxx dxfxdx 高等数学期末复习资料第7页（共 9页） 題型求 22 1 dx ax 求解示例 22 22 11111 arctan 11 xx dxdxdC axaaaa xx aa 解： 題型求 1 21 dx x 求解示例 1111 2121 221212 21 21 dxdx

26、dx xxx xC 解： 第二类换元法（去根式）（ ） （dxxfdy的正向应用） 对于一次根式（0,abR） ： axb：令taxb，于是 2 tb x a ， 则原式可化为 t 对于根号下平方和的形式（ 0a ） ： 22 ax：令tanxat（ 22 t） ， 于是arctan x t a ，则原式可化为secat； 对于根号下平方差的形式（ 0a ） ： a 22 ax：令sinxat（ 22 t） ， 于是arcsin x t a ，则原式可化为cosat； b 22 xa：令secxat（0 2 t） ， 于是arccos a t x ，则原式可化为tanat； 題型求 1 21

27、dx x （一次根式） 求解示例 2 21 11 22 11 21 21 tx xt dx tdt dxtdtdttCxC tx 解： 題型求 22 ax dx（三角换元） 求解示例 2 sin () 2222 22 arcsin cos 22 cos1cos2 2 1 sin2sin cos 222 xatt x t a dxat a ax dxatdtt dt aa ttCtttC 解： 第三节分部积分法 分部积分法（ ） 设函数ufx，vg x具有连续导数， 则其 分部积分公式可表示为：udvuvvdu 分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” 运用分部积分法計算不定积分的基本步骤

28、： 遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； 就近凑微分： （v dxdv） 使用分部积分公式： udvuvvdu 展开尾项 vduv u dx，判断 a若 v udx是容易求解的不定积分，则直接計 算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法 与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b若v u dx依旧是相当复杂，无法通过 a 中方 法求解的不定积分，则重复、，直至出现 容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环， 则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C 題型求 2x ex dx 求解示例 22222 22 22 22 2222 xxxxx xxxx xxxxxx ex dxx e dxx de

29、x ee d x x ex e dxx ex d e x exee dxx exeeC 解： 題型求sin x exdx 求解示例 sincoscoscos coscoscossin cossinsin cossinsin xxxx xxxx xxx xxx exdxe dxexxd e exexdxexe dx exexxd e exexexdx 解： sincossinsin xxxx exdxexexxd e 即： 1 sinsincos 2 xx exdxexxC 第四节有理函数的不定积分 有理函数（ ） 设： 1 01 1 01 mm m nn n P xp xa xa xa Q x

30、q xb xb xb 对于有理函数 P x Q x ，当P x的次数小于Q x的 次数时，有理函数 P x Q x 是真分式；当P x的次数 高等数学期末复习资料第8页（共 9页） 大于Q x的次数时，有理函数 P x Q x 是假分式 有理函数（真分式）不定积分的求解思路（） 将有理函数 P x Q x 的分母Q x分拆成两个没有 公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示 为一次因式 k xa；而另一个多项式可以表示为 二次质因式 2 l xpxq， （ 2 40pq） ； 即： 12 Q xQxQx 一般地： n mxnm x m ，则参数 n a m 22 bc axbxcaxx a

31、a 则参数, bc pq aa 则设有理函数 P x Q x 的分拆和式为： 12 2 kl P xPxPx Q x xa xpxq 其中 1 12 2 . k kk Px AAA xa xaxaxa 21122 22 22 2 . l ll l PxM xNM xN xpxq xpxqxpxq M xN xpxq 参 数 12 12 12 ,.,., l k l MMM A AA NNN 由 待 定 系 数法（比较法）求出 得到分拆式后分项积分即可求解 題型求 2 1 x dx x （构造法） 求解示例 2 2 111 1 1 111 11 ln1 12 xxx x dxdxxdx xxx

32、xdxdxdxxxxC x 第五节积分表的使用（不作要求） 第五章定积分极其应用 第一节定积分的概念与性质 定积分的定义（） 0 1 lim n b ii a i fx dxfxI （fx称为被积函数，fx dx称为被积表达式，x 则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限， ,a b称为积分区间） 定积分的性质（ ） bb aa fx dxf u du 0 a a fx dx bb aa kfxdxkfx dx （线性性质） 1212 bbb aaa k fxk g xdxkfx dxkg x dx （积分区间的可加性） bcb aac fx dxfx dxfx dx 若函数 fx 在积

33、分区间 , a b 上满足 0fx ， 则0 b a fx dx ； （推论一） 若函数fx、函数g x在积分区间, a b上满 足fxg x，则 bb aa fx dxg x dx； （推论二） bb aa fx dxfx dx 积分中值定理（不作要求） 第二节微积分基本公式 牛顿 - 莱布尼兹公式（ ） （定理三）若果函数F x是连续函数fx在区间 ,a b上的一个原函数，则 b a fx dxF bFa 变限积分的导数公式（ ） （上上导下下导） x x d ft dtfxxfxx dx 題型求 21 cos 2 0 lim t x x edt x 求解示例 2 2 1 10 0 cos

34、 cos 2 00 2 limlim解： t t x x xL x d edt edt dx x x 高等数学期末复习资料第9页（共 9页） 2 2 2 22 2 1cos cos 00 0cos 0 0 coscos 0 cos 0 1 0sinsin limlim 22 sin lim 2 cossin2sincos lim 2 1 limsincos2sincos 2 11 22 x x xx x Lx xx x x x eexx e xx d x e dx x x ex exx exxxx e e 第三节定积分的换元法及分部积分法 定积分的换元法（ ） （第一换元法） bb aa fx

35、x dxfxdx 題型求 2 0 1 21 dx x 求解示例 222 000 1111 21ln 21 212212 1ln 5 ln 5ln1 22 解：dxdxx xx （第二换元法） 设函数,fxC a b，函数xt满足： a,，使得, ab； b在区间,或,上，,ftt 连续 则： b a fx dxftt dt 題型求 4 0 2 21 x dx x 求解示例 2 2 1 21 0,43 22 0,1 01 4,3 3 2 33 23 11 1 3 2 22 21 1311 1 33 222 3 522 9 33 解： t txx xt xt t x dxdx t x t t dt

36、tdttx t （分部积分法） bb aa bbb aaa u x vx dxu x v xv x ux dx u x dv xu x v xv x du x 偶倍奇零（ ） 设,fxCa a，则有以下结论成立： 若fxfx，则 0 2 aa a fx dxfx dx 若fxfx，则0 a a fx dx 第四节定积分在几何上的应用（暂时不作要求） 第五节定积分在物理上的应用（暂时不作要求） 第六节反常积分（不作要求） 如：不定积分公式 2 1 arctan 1 dxxC x 的证明。很 多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我给出这样 一种证明方法以说明问题： tan 22 arctan22 2 222 11 tan 11tan 111 cos seccoscos arctan xtt tx dxtdt xt dttdtdt ttt tCxC 如此，不定积分公式 22 11 arctan x dxC axaa 也就很 容易证明了，希望大家仔细揣摩，认真理解。