微积分常用公式及运算法则(上).pdf

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1、1 微积分常用公式及运算法则 常用三角公式： sin22sincos= ； 2222 cos2cossin2cos112sin= = 2 2tan tan2 1tan a = ； 2 cos1 2 sin2 =； 2 cos1 2 cos2 + =； cos1 cos1 2 tan 2 + =； sin cos1 cos1 sin 2 tan = + =； 2 2tan sin2 1tan = + ； 2 2 1tan cos2 1tan = + ； 2 2tan tan2 1tan = ； 22 sincos1+= 22 1tansec+= 22 1cotcsc+= 积化和差： ()() (

2、)() ()() ()() 1 sincossinsin 2 1 cossinsinsin 2 1 sinsincoscos 2 1 coscoscoscos 2 =+ =+ =+ =+ 和差化积： sinsin2sincos 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 coscos2sinsin 22 + += + = + += + += 集合的并、交、余运算律： 交换律 ,;ABBA ABBA= 结合律 ()(), ()(); ABCABC ABCABC = = 分配律 ()()(), ()()(); ABCABAC ABCABAC = = 对偶律 (), (

3、); ccc ccc ABAB ABAB = = 初等函数： 双曲正弦、余弦、正切及运算 sinh() 2 xx ee yxy = ， sinh tanh( 11) cosh xx xx xee yxy xee = + 2 2 arsinhln(1),(,) arcoshln(1),(1,0) 11 artanhln,( 11,) 21 yxxxxR yR yxxxxy x yxxyR x =+ =+ + = sinh()sinhcoshcoshsinh , cosh()coshcoshsinhsinh , sinh()sinhcoshcoshsinh , cosh()coshcoshsinh

4、sinh xyxyxy xyxyxy xyxyxy xyxyxy +=+ +=+ = = 22 22 sinh22sinhcosh , cosh2coshsinh, coshsinh1. xxx xxx xx = =+ = 2 极限的运算法则： lim( ),lim ( ), lim ( )( )lim( )lim ( ) lim ( ) ( )lim( ) lim ( ) ( )lim( ) lim(0) ( )lim ( ) f xAg xB f xg xABf xg x f x g xABf xg x f xAf x B g xBg x = = = = 设那么 其中 1 122 1122

5、 1212 lim( ),1,2, , ,1,2, lim( )( )( ) , lim( )( )( ) ii i nn nn nn f xA in kR in k f xk fxk fx k Ak Ak A f x fxfxA AA = = + =+ = 设 那么对有 0 0 0 0 0 ( ),( ),( )0, lim( ) ()( ) lim ( )lim( )() xx xx xx P x Q xQ x P x P xP x Q xQ xQ x = 为多项式 当有 00 0 0 1 01 1 01 ,0, lim0 mm m nn x n a b a mn b a xa xa mn

6、 b xb xb mn = + = 对有理分式函数在无穷大处的极限，有 当时 当 当 当 00 00 00 lim( ),lim ( ),( ) lim ( )lim( ) uuxx xxuu f uAu xuu xu f u xf uA = = 设且 则 重要极限： 0 sin lim1 sintan0, 2 x x xxx x x = 当时 函数连续性： 0 0 lim( )() xx f xf x = 导数定义： 00 ()( ) ( )limlim xx yf xxf x fx xx + = 0 0 ()( )|x xfxfx = = 求导公式： 1 2 2 2 2 2 ( )0, (

7、), ()ln () 1 (ln ) 1 (log) ln (sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sectan (csc )csccot 1 (arcsin ) 1 1 (arccos ) 1 1 (arctan ) 1 (ar xx xx a C xx aaa ee x x x xa xx xx xx xx xxx xxx x x x x x x = = = = = = = = = = = = = = = + i i 2 1 ccot ) 1 x x = + 3 (sinh )cosh (cosh )sinh xx xx = = 微分公式

8、： 1 2 2 d( )0d , d()d , d()lnd d()d 1 d(ln )d 1 d(log)d ln d(sin )cos d d(cos )sin d d(tan )secd d(cot )cscd xx xx a Cx xxx aaax eex xx x xx xa xxx xxx xxx xxx = = = = = = = = = = 2 2 2 2 d(sec )sectan d d(csc )csccot d 1 d(arcsin )d 1 1 d(arccos )d 1 1 d(arctan )d 1 1 d(arccot )d 1 d(sinh )coshd d(

9、cosh )sinh d xxxx xxxx xx x xx x xx x xx x xxx xxx = = = = = + = + = = i i 求导法则： 2 () () () () ( )( ) 1 ( ) ( ) uvuv uvuv uvu vuv uvwu vwuv wuvw uu vuv vv xyyf x fx y +=+ +=+ =+ =+ = = = 设，它的反函数是，则有 ddd ddd yyu xux =i链式求导法则： ( ) ( ) ln( )ln ( ) ( ) ( ) ( )ln ( ) ( ) v x yu x yv xu x x yv x u x v xu

10、x yu x = = =+ 对数求导法则： 求幂指函数的导数时， 可先取对数，得， 然后两端对 求导，得 参数方程求导： ( ) ( ) d ddd( ) d d ddd( ) d xt yt y yytt t x xtxt t = = = i 若对参数方程求导，则有 高阶导数： ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )(1) ( )( )( ) ( ) 2211 ()! 1( 1)! () (sin )sin 2 (cos)cos 2 (1)! ln(1)( 1)1 (1) () 1( 1)!11 2()() nn n n n xnx n n nn n nnn n n nn xn

11、n xx ee n xx n x n xx x uvuv n xaaxaxa + + = = = =+ =+ += + +=+ = + 当 ( )()( ) 0 () n nkn kk n k uvC uv = = 4 微分定义： d( )( )dyfxxfxx= = 微分求近似值（线性逼近或一次近似） ： 0 000 0 000 d ()()() ( )()()() yyxxx f xxf xfxx xxx f xf xfxxx =+ + =+ + 令得， 常用一次近似式： 1; sin; tan; (1)1; ln(1); x a ex xx xx xax xx + + + + 拉格朗日定

12、理： ( ) , ,( , ), ( , ) ( )( )( )() f xC a bfD a b a b f bf afba = 若并且 那么至少存在一点，使 柯西中值定理： , , ,( , ),( , ) ( )0,( , ) ( )( )( ) ( )( )( ) f gC a bf gD a ba b g xa b f bf af g bg ag = 若并且在内 那么至少存在一点，使 泰勒中值定理： 0 1 2 00000 ( ) 00 (1) 1 0 0 ( )( , ) (1)( , ) ( , ) 1 ( )()()()()() 2! 1 ()()( ) ! ( ) ( )()

13、, (1)! ( ) n nn n n n n n f xxa b nfDa b xa b f xf xfxxxfxxx fxxxR x n f R xxx n R x xx + + + + =+ + = + 如果函数在含 的某个开区间 内具有阶导数，即， 那么对于，有 其中 称为拉格朗日余项， 这里 是 与 之间的某个值 拉格朗日中值公式： 00 0 ( )()( )() n f xf xfxx = =+ 当时，泰勒公式就是拉格朗日中值公式： 麦克劳林公式： 0 0 0(01) x xx = = 在泰勒公式中，的特殊情况比较重要。 此时 在 与 之间，可记为。 2 ( )(1) 1 (0)

14、( )(0)(0) 2! (0)() !(1)! nn nn f f xffxx ffx xx nn + + =+ + + 的的的的n阶泰勒公式阶泰勒公式阶泰勒公式阶泰勒公式： 21 11 1 2!(1)! (0) x xnn e exxxx nn x + = + + =+ =+ 不定积分线性运算法则 ( )( )d( )d( )du xv xxu xxv xx+=+ 不定积分的换元法 1 ( ) ( ) ( )( )d( )d ( )d ( ) ( )d ux tx fxxxf uu f xxfttt = = = = 6 积分公式 () 22 22 222 22 22 22 22 22 d1

15、 arctan d arcsin d1 arcsin(0,0) d1 ln 2 sec dln |sectan| csc dln |csccot| d ln(0) d ln | xx C axaa xx C a ax xbx C ab ba ab x xxa C xaaxa xxxxC xxxxC x xxaC a xa x xxaC xa =+ + =+ =+ =+ + =+ =+ =+ + =+ 不定积分的分部积分法 dd dd uvxuvu vx u vuvv u = = 或 定积分 牛顿-莱布尼茨公式 , ,( )( ) ( )d( )( ) ( ) b b a a fC a bF x

16、f x f xxF bF aF x = 如果函数函数是 的一个原函数，那么 () ( ) ( ) ( )( )( ) ( )d ( )( ) ( ) ( ) x x f txx f txfxxfxx = 设函数连续,函数及可导,则 定积分的换元法 , .( ) (1) ( ), ( ),( ,) , ( , ) , ; (2) ,( , ) ( )d ( ) ( )d b a fC a bxx aba b a b CC f xxfttt = = = 设函数如果函数满足： 且 或 或 那么： 0 , , ( )d2( )d ; , , ( )d0 aa a a a fCa a f xxf xx

17、fCa a f xx = = 若并且为偶函数，则 若并且为奇函数，则 22 00 2 00 22 00 (sin )d(cos )d (sin )d(sin )d sindcosd nn fxxfxx xfxxfxx xxxx = = = 定积分的分部积分法 dd dd bb b a aa bb b a aa uvxuvvux u vuvv u = = 22 00 sindcosd (21)! 2 ), (2 )!2 (22)! 21) (21)! nn xxxx m nm m m nm m = = = = i(当 (当 1,2,3,m = 定积分的几何应用 平面图形的面积： 1.直角坐标情形

18、 12 21 ( )( ), ( )( )d b a f xyfx axb Afxf xx = 平面图形的面积为 2.极坐标情形 2 0( ), 1 ( ) d 2 A = 曲边扇形的面积为 7 体积 1.旋转体的体积 2 0( ), ( ) d b a yf x axbx Vf xx = 曲边梯形绕 轴旋转 一周所成的旋转体的体积为 2.平行截面面积为已知的立体的体积 ( ) ( )d b a xaxbx A x VA xx = = 加在过点和且垂直于 轴的两个平 面之间、且平行面面积为的立体体积为 平面曲线的弧长 1. 直角坐标情形 2 ( )() 1d b a yf x axb syx

19、= =+ 曲线弧段的长度为 2. 参数方程情形 22 ( ), () ( ) ( ),( )() ( )( )d xt t yt xtytt sttt = = = =+ 曲线弧 曲线弧段的长度 22 22 22 2 0 22 1() 41sind xy ab ab satt ab a += = = 椭圆的周长 其中为椭圆的离心率 3. 极坐标情形 22 ( )() ( )( )ds = =+ 曲线弧段的长度为 函数的平均值 算术平均值： 1 ( )d b a yf xx ba = 加权平均值： ( ) ( )d ( )d b a b a f x w xx f w xx = 均方根平均值： 2

20、1 ( )d b a ftt ba 反常积分 0 0 0 0 ( )dlim( )d ( )dlim( )d ( )d( )d( )d lim( )dlim( )d b aab bb aa b aab f xxf xx f xxf xx f xxf xxf xx f xxf xx + + + + = = =+ =+ 微分方程 1可分离变量的微分方程： ( )d( )dg yyf xx= 2一阶线性微分方程： 0 00 0 ( )d( )d 0 ( )d( )d 0 d ( )( ) d ( )d | ( )d xx xx P xxP xx x x P xxP xx x x y P x yQ x

21、 x yeQ x exC yy yeQ x exy = += =+ = =+ 的通解 初值问题： 3齐次型方程： d d dd , dd d ( ) d yy xx yyy uux xxx y uxx x = =+ += 如果方程可以化为这种形式： 引入新的未知函数得 代入原方程可得： 可分离变量。 8 4可化为齐次型的方程： 11 111 11111 111 11 d , d , dd,dd , d() d() 0 , 0 d d , abyaxbyc xa xb ycab xXh yYk xXyY YaXbYahbkc Xa XbYa hbkc ahbkc h k a hbkc YaXbY

22、 Xa XbY Xxh Yyk + = + =+=+ = + = + += += + = + = 方程：其中 令： 有 代换后得： 令，可解出 因此就可化为齐次型方程 得到该方程的通解后， 令即可得原方程通解。 5伯努利方程 1 1 1 d ( )( ),(0,1) d d ( )( ). d dd ,(1) dd d (1) ( )(1) ( ) d y P x yQ x y x y y yP x yQ x x zy zyy xx z P x zQ x x zy += += = += = 形如： 方程两端同除以，得 令则，代入得 一阶线性方程， 求出通解后，令，代入得原方程通解。 6 ( )

23、yf x = 型的方程 () 12 ( ) ( )dd yf x yf xxxC xC = =+ 在两端逐次积分得： 7( ,)yf x y=型的方程 1 12 d , d ( ,) , ( ,) ( ,)d p ypyp x pf x p x p ypx C yx CxC = = = =+ 设则，可化方程为： 这是关于的一阶微分方程，若通解为： 可通过积分得通解 8 ( ,)yf y y= 型的微分方程 11 2 1 dddd , dddd d ( , ). d , ( ,)d( ,)d d ( ,) ppyp ypyp xyxy p pf y p y y p ypy Cyy Cx y xC

24、 y C = = = = =+ i设则 方程可化为： 这是关于的一阶微分方程，若通解为 ，即 分离变量两边积分，可得原方程通解： 9二阶常系数齐次线性微分方程 12 1 2 12 12 12 12 12 1,2 12 0 (1)0 (2) (3) (i) (ii) () (iii)i (cossin). r xr x r x x ypyq rprq rr rr yC eC e rr yCC x e r yeCxCx += += =+ = =+ = =+ 求的通解的步骤： 写出方程的特征方程：； 求出特征方程的两个根 与 ； 根据根的不同情况，按下列规则写出通解： 若有两个不等实根 与 ，则 若

25、有两个相等实根，则 若有一对共轭复根，则 10n 阶常系数齐次线性微分方程 ( )(1)(2) 121 12 12 121 0 ,. 0 nnn nn n nnn nn yp yp ypyp y p pp rp rp rprp += += 其中都是常数特征方程为： 单根： 12 (1) (2)i (cossin) rx x r Ce r eCxCx = + 若实根是 ， 给出一项通解： 若是共轭复根， 给出两项通解： 重根： 9 1 12 1 12 1 12 (1) :() (2) 2()cos ()sin rxk k xk k k k kr keCC xC x kri keCC xC xx

26、DD xD xx + = + + 若 重实根 ， 给出 项 若 重共轭复根， 给出项： 11二阶常系数非齐次线性微分方程 I ( )( ). ( ) x m m f xP x e P xxm = 其中 是常数，是 的一个 次多项式 * 2 2 2 ( ) ( ) ( )( )() 00 01 02. x m kx m mm ypyqP x e yx Qx e QxP xm rprqk rprqk rprqk += = += += += 方程 具有形如：的特解， 其中是与同次次 的多项式， 则当 不是的根，； 是的单根，； 是的重根， II ( ) ( )cos( )sin ( )( ) . x ln ln f xeP xxP xx P xP xx ln =+ 其中 、 是常数，、分别是 的 次、 次多项式 *(1)(2) (1)(2) ( )cos( )sin ( )cos( )sin ( )( )max , . i(i) 0 1. x ln kx mm mm ypyqyeP xxP xx yx eRxxRxx RxRxmml n k k +=+ =+ = + = = 方程： 具有形如： 的特解，其中 、是 次多项式， 当或 (1)不是特征方程的根时， (2)是特征方程的单根时，