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1、3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案李 志 文【教学目标】知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念.情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系;2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题。【重点难点】重点: 理解虚数单位的引进的必要性及复数的有关概念难点：复数的有关
2、概念及应用【学法指导】1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义；2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础.人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N【知识链接】R前两个学段学习的数系的扩充：N用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q.为了表示各种具有相反意
3、义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z.ZNQ x2=1，x=?但是，数集扩到实数集R以后，像x2=1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？【问题探究】探究一、复数的引入引导1：由于解方程的需要，人们引入了一个新数，并规定：（1） ； （2）实数可以与进行加法和乘法运算： 实数与数相加记为：；实数与数相乘记为：； 实数与实数和相乘的结果相加记为：； （3）实数与进行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。引导2:复数的有关概念： （1）我们把形如的数叫做复数，其中叫做
4、 虚数单位 ， 全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写字母 C 表示。 （2）复数的代数形式：点拨：当我们遇到使用原有知识解决不了的问题时，可以适当地引入一些新的规定，譬如这里我们引入的数及引入数后实数与进行加法和乘法时的运算律，但是切记引入的规定要合理，要有一定的依据基础.复数通常用小写字母表示，即，这一表示形 式叫做复数的代数形式，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部。例1请说出复数的实部和虚部。引导:考虑复数的有关概念.对于复数，叫实部，叫虚部.解：变式再练：请说出复数的实部和虚部。探究二、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系 对于复数：当且仅当时，复数表示 实数 当时，复数叫做 虚数 当
5、时，复数叫做 纯虚数 你能用图表的形式将复数、实数、纯虚数的关系形象的表示出来吗？（ 虚数集 ）复数集（纯虚数集）（ 实数集 ）例2 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？ ，0， 实数： 虚数： 纯虚数： 例3 实数分别取什么值时，复数是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 引导:因为，所以，都是实数，由复数是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定实数的值（2）z为虚数，则（1）z为实数，则 m-1=0 即 m=1解：（3）z为纯虚数，则 变式再练1：当取何实数时，复数是：（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零解：（1）z为实数，则 （2）z为虚数，则（3）z为纯虚数，则（4）z为0 则变式再练2：若复数为纯虚数，试求实数的值. 提示：由复数是纯虚数的条件可以确定实数的值.解：由题意：探究三、复数集与其它数集之间的关系： N Z Q R C. CRNZNQ 【总结提升】 1.复数的引入，体现了数系扩充的必要性及现实意义；给出的相关规定体现了数系扩充 后运算的封闭性，同时体现了规定的合理性； 2.复数的有关概念是学习复数的基础，学习时需根据复数是由其实部和虚部共同决定的这 一特征理解记忆.【总结反思】 知识 . 重点 . 能力与思想方法 .【自我评价】你完成本学案的情况为( ) A.很好 B.较好 C.一般 D.较差