小学奥数36个经典(7-8).pdf

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1、第 7 讲 牛吃草问题 牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度 牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率. 下面给出几例牛吃草及其相关问题 1. 草场有一片均匀生长的草地，可供 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周，那么它可供21 头牛吃几 周?( 这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”) 【分析与解】27 头牛吃 6 周相当于276=162 头牛吃 1 周时间，吃了原有的草加上6 周新长的草； 23头牛吃 9 周相当于239=207 头牛吃 1 周时间，吃了原有的草加上9 周新长的草；于是，多出 了 207-162=45 头牛， 多吃

2、了 9-6=3 周新长的草 所以 453=15 头牛 1 周可以吃 1 周新长出的草 即相 当于给出15 头牛专门吃新长出的草于是27-15=12 头牛 6 周吃完原有的草，现在有21 头牛，减去15 头吃长出的草，于是21-15=6 头牛来吃原来的草； 所以需要1266=12(周 ) ，于是 2l 头牛需吃12 周 评注 ：我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程问题了 一般方法 ： 先求出变化的草相当于多少头牛来吃：( 甲牛头数时间甲- 乙牛头数时间乙 ) ( 时间甲- 时间 乙) ； 再进行如下运算：( 甲牛头数 - 变化草相当头数 ) 时问甲 ( 丙牛头数

3、- 变化草相当头数)= 时间丙 或者： ( 甲牛头数 - 变化草相当头数 ) 时间甲时间丙+变化草相当头数丙所需的头数 2有三块草地，面积分别是4 公顷、 8 公顷和 10 公顷草地上的草一样厚而且长得一样快第一 块草地可供24 头牛吃 6 周，第二块草地可供36 头牛吃 12 周问：第三块草地可供50 头牛吃几周 ? 【分析与解】我们知道246=144 头牛吃一周吃2 个(2 公顷 +2 公顷周长的草 ). 3612=432 头牛 吃一周吃4 个 (2 公顷 +2 公顷 12 周长的草 ) 于是1442=72 头牛吃一周吃2 公顷 +2 公顷 6 周长的 草4324=108 头牛吃一周吃2

4、公顷 +2 公顷 12 周长的草所以108-72=36 头牛一周吃2 公顷 126=6 周长的草即366=d 头牛 1 周吃 2 公顷 1 周长的草 对每 2 公顷配 6 头牛专吃新长的草，则正好于是4 公顷，配426=12 头牛专吃新长的草，即 24-12=12 头牛吃 6 周吃完 4公顷，所以1 头牛吃 61(42)= 36 周吃完 2公顷 所以 10 公顷，需要1026=30 头牛专吃新长的草，剩下50-30=20 头牛来吃10 公顷草，要36 (102)20 =9 周 于是 50 头牛需要9 周吃 10 公顷的草 3如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各

5、处都是同样速度均 匀生长牧民带着一群牛先在号草地上吃草，两天之后把号草地的草吃光( 在这 2 天内其他草地 的草正常生长 ) 之后他让一半牛在号草地吃草，一半牛在号草地吃草，6 天后又将两个草地的草吃 光然后牧民把 1 3 的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外号的牛放在号草地吃草，结果发现 它们同时把草场上的草吃完那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要 多少时间？ 【分析与解】一群牛， 2 天，吃了1 块+1 块 2 天新长的；一群牛，6 天，吃了2 块+2块 2+6=8 天新长 的；即 3 天，吃了1 块+1 块 8 天新长的 . 即 1 6 群牛， 1天，吃了1 块 1 天

6、新长的 . 又因为， 1 3 的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外 2 3 的牛放在号草地吃草，它们同时吃完. 所以， =2阴影部分面积. 于是，整个为 19 4 22 块地 . 那么需要 193 624 群牛吃新长的草，于是 19 12 62 （）=现在 3 1 4 （）. 所以需要吃： 193 12130 624 （）（）=天. 所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30 天. 4现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45 天吃完，于是马、羊吃需要60 天吃完， 于是牛、羊吃需要90 天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少 时间 ? 【分析与解】我们注

7、意到： 牛、马 45 天吃了原有 +45 天新长的草 牛、马 90 天吃了 2原有 +90 天新长的草 马、羊 60 天吃了原有 +60 天新长的草 牛、羊 90 天吃了原有 +90 天新长的草 马 90天吃了原有 +90 天新长的草 所以，由、知，牛吃了90 天，吃了原有的草；再结合知，羊吃了90 天，吃了 90 天新长的 草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草 所以，知马60 天吃完原有的草，知牛90 天吃完原有的草 现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草. 所需时间为l 11 () 9060 =36 天. 所以，牛、羊、马一起吃，需36 天 5. 有三片牧场，

8、场上草长得一样密，而且长得一样快它们的面积分别是 1 3 3 公顷、 10 公顷和 24 公顷 已知 12 头牛 4 星期吃完第一片牧场的草，21 头牛 9 星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛18 星期才能吃完第三片牧场的草? 【分析与解】由于三片牧场的公顷数不一致，给计算带来困难，如果将其均转化为1 公顷时的情形 所以表 1 中， 3.6-0.9=2.7头牛吃 4 星期吃完l 公顷原有的草，那么18 星期吃完1 公顷原有的草 需要 2.7 (184)= 0.6 头牛，加上专门吃新长草的O 9 头牛，共需0.6+0.9=1.5头牛， 18 星期才能 吃完 1 公顷牧场的草 所以需 1.5 2

9、4=36 头牛 18 星期才能吃完第三片牧场的草 第 8 讲 不定方程与整数分拆 求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题 补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考思维 导引详解五年级 第 15 讲余数问题 . 解不定方程的4 个步骤：判断是否有解；化简方程；求特解；求通解 本讲讲解顺序：包括 1、2、3 题包括 4、5 题包括 6、7 题，其中步 骤中加入百鸡问题 复杂不定方程：、依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程 整数分拆问题：11、12、13、 14、15 1在两位数中，能被其各位数字之和整除

10、，而且除得的商恰好是4 的数有多少个 ? 【分析与解】设这个两位数为ab，则数字和为ab，这个数可以表达为 10ab，有104abab 即1044abab，亦即2ba 注意到a和b都是 0 到 9 的整数，且a不能为 0，因此a只能为 1、2、3 或 4，相应地b的取值为2、 4、6、8 综上分析，满足题目条件的两位数共有4 个，它们是12、24、36 和 48 2设 A和 B都是自然数，并且满足 17 11333 AB ,那么 A+B 等于多少 ? 【分析与解】将等式两边通分，有3A+llB=17, 显然有 B=l ，A=2时满足，此时A+B=2+1=3 3甲级铅笔7分钱一支， 乙级铅笔3

11、分钱一支 张明用 5 角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少 支? 【分析与解】设购买甲级铅笔x支，乙级铅笔y支 有 7x+3y=50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的 方法： 将系数与常数对3 取模 ( 系数 7，3 中， 3 最小 ) ： 得x=2(mod 3) ，所以x可以取 2，此时y取 12；x还可以取2+3=5，此时y取 5； 即 2 12 x y 、 5 5 x y ,对应xy为 14、10 所以张明用5 角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14 支或 10 支 4有纸币 60 张，其中 1 分、l 角、1 元和 10 元各有若干张 问这些纸币的总

12、面值是否能够恰好是100 元? 【分析与解】设 1 分、 1 角、 1 元和 10 元纸币分别有a 张、 b 张、 c 张和 d 张， 列方程如下： 由 60 1 10100100010000 2 abcd abcd (2)(1)得9 999999940bcd 注意到式左边是9 的倍数，而右边不是9 的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为 100 元 5. 将一根长为374 厘米的合金铝管截成若干根36 厘米和24 厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不 计问：剩余部分的管子最少是多少厘米? 【分析与解】24 厘米与 36 厘米都是 12 的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的

13、总长度 必是 12 的倍数，但374 被 12 除余 2，所以截完以后必有剩余剩余管料长不小于2 厘米 另一方面， 374=2712+412+2，而3612=3，2412=2，有39+2 2=31即可截成9 根 36 厘米 的短管与2 根 24 厘米的短管，剩余2 厘米 因此剩余部分的管子最少是2厘米 6 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加男职 工每人种13 棵树，女职工每人种10 棵树，每个孩子种6 棵树，他们一共种了216 棵树那么其中有多 少名男职工 ? 【分析与解】 设男职工x人，孩子y人，则女职工3y-x人( 注意，为何设孩子数为y人，而

14、不是设女 职工为y人) ， 那么有1310 36xyxy=216，化简为336xy=216，即12xy=72 有 1224364860 54321 xxxxx yyyyy . 但是，女职工人数为3yx必须是自然数，所以只有 12 5 x y 时，33yx满足 那么男职工数只能为12 名 7 一居民要装修房屋，买来长0.7 米和 O.8 米的两种木条各若干根如果从这些木条中取出一些接 起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4 米， 0.7+0.8=1.5米那么在3.6 米、 3.8 米、 3.4 米、 3.9 米、 3.7 米这 5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接

15、而实现的? 【分析与解】设 0.7 米， 0.8 米两种木条分别x，y根，则 0.7x+0.8y=3.4 3.6 ， 即 7x+8y=34，36，37， 38，39 将系数，常数对7 取模，有y6，l ，2，3， 4(mod 7) ，于是y最小分别取6,1, 2，3，4 但是当y取 6 时，86=48 超过 34，x无法取值 所以 3.4 米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的 8. 小萌在邮局寄了3 种信，平信每封8 分，航空信每封1 角，挂号信每封角， 她共用了1 元 2 角 2 分 那 么小萌寄的这3 种信的总和最少是多少封? 【分析与解】显然，为了使3 种信的总和最少，那么小萌应该尽

16、量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最 后才是平信但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分 所以， 2 分， 10n+2 分应该为平信的邮费，n最小取 3，才是 8 的倍数，所以平信至少要寄4 封， 此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄4 封挂号信，航空信1 封即可 于是，小萌寄的这3 种信的总和最少是4+1+4=9 封 9.有三堆砝码， 第一堆中每个砝码重3 克，第二堆中每个砝码重5 克，第三堆中每个砝码重7克现 在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130 克那么共需要多少个砝码?其中 3 克、 5 克和 7 克 的砝码各有几个? 【分析与解】为了使选取的砝码最少，应尽可能的取

17、7 克的砝码 1307： 18 4，所以 3 克、 5 克的砝码应组合为4 克，或 4+7k克重 设 3 克的砝码x个， 5 克的砝码y个，则3547xyk 当k=0时，有354xy，无自然数解； 当k=1时，有3511xy，有x=2，y=1，此时 7 克的砝码取17 个，所以共 需 2+1+17=21 个砝码，有3 克、 5 克和 7 克的砝码各2、1、17 个 当k1时， 7 克的砝码取得较少，而3、5 克的砝码却取得较多，不是最少的取 砝码情形 所以共需2+1+17=20 个砝码，有3 克、 5 克和 7 克的砝码各2、1、17 个 10 5 种商品的价格如表81，其中的单位是元现用60

18、 元钱恰好买了10 件商品，那么有多少种不 同的选购方式 ? 【分析与解】设 B、 C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e) 件，则有 2.9 104.77.210.614.9bcdebcde=60 184377120bcde=310，显然e只能取 0，1，2 有18 4377bcd=310，其中 d 可取 0，1，2，3，4 (1)当 d=0 时，有1843bc=310，将系数，常数对6 取模得： c4(mod 6) ，于是c最小取 4，那么有18b=310- 434=138， b 不为自然 数所以d=0 时。不满足； (2)有18 43bc=233，将系数，常数对

19、 6 取模得： c 5(mod 6), 于是最小, 那么有 18b=233- 43 5=18, ； (3)有1843bc=156，将系数，常数对6 取模得： c O(mod 6) ，于是c最小取 0，那么有18b=156，b 不为自然数，所以d=2 时，不满足； (4)有1843bc=79，将系数、常数对6 取模得： c 1(mod 6) ，于是最小那么有 18b=7943=36 (5) 当 d=4时，有1843bc=2，显然不满足 有18 4377bcd=190，其中 d 可以取 0、1、2 (1)有1843bc=190，将系数、常数对6 取模有： c 4(mod 6) ，于是 最小那么有

20、18b=190-43 4=18, (2) 当 d=1时，有18 43bc=113，将系数、常数对 6 取模有： c 5(mod 6) ，于是c最小取 5，即 18b+215=113，显然 d=1 时，不满足； (3) 有18 43bc=36, 显然有 时 有184377bcd=70，d只能取 0， 有1843bc=70，将系数、常数对6 取模有： c 4(rood 6)，于是c最小取 4，那么有18b+172=70，显然不满足 最后可得到如下表的满足情况： 共有 4 种不同的选购方法 11 有 43 位同学，他们身上带的钱从8 分到 5 角，钱数都各不相同每个同学都把身上带的全部钱各 自买了画

21、片画片只有两种：3 分一张和5 分一张每11 人都尽量多买5 分一张的画片问他们所买 的 3 分画片的总数是多少张? 【分析与解】钱数除以 5 余 0，1，2，3，4 的人，分别买0，2，4，1，3 张 3 分的画片因此，可将 钱数 8 分至 5 角 2 分这 45 种分为 9 组，每连续5 个在一组，每组买3 分画片 0+2+4+1+3=10 张，9 组共 买 109=90 张，去掉5 角 1 分钱中买的2 张 3 分画片， 5 角 2 分中买的4 张 3 分画片， 43 个人买的3 分画片的总数是90-2-4=84 张 12 哥德巴赫猜想是说：“每个大于2 的偶数都可以表示成两个质数之和”

22、试将168 表示成两个两 位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1 【分析与解】个位数字是1 的两位质数有11，31，41，61，71 其中 168-11=157 ，168-31=137 ，168-41=127 ，168-61=107 ，都不是两位数，只有 168-71=97 是两位数，而且是质数，所以168=71+97 是惟一解 13 (1) 将 50 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少? (2) 将 60 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少? 【分析与解】 (1) 首先确定这10 个质数或其中的几个质数

23、可以相等，不然10 个互不相等的质数和最 小为 2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50 所以，其中一定可以有某几个质数相等 欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9 个 2，那么 最大质数不超过5029=32，而不超过32 的最大质数为31 又有 82 502222331 个 ，所以满足条件的最大质数为31 (2) 最大的质数必大于5，否则 10 个质数的之和将不大于50 所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7 607=84， 87 60=7+7+7+7+4 个 ，而 4=2+2，恰好有 87 60=7+7

24、+7+7+2+2 个 即 8 个 7 与 2 个 2 的和为 60，显然其中最大的质数最小为7 14 有 30 个贰分硬币和8 个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1 分到 1 元之间的币值有多少种? 【分析与解】注意到所有38 枚硬币的总币值恰好是100 分 ( 即 1元 ) ，于是除了50 分和 100 分外， 其 他 98 种币值就可以两两配对了，即 (1，99)； (2 ，98) ；(3 ，97) ；(4 ，96) ； (49 ，51) ； 每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然50 分和 100 分的 币值是可以组成的，因此只需要讨论币值为1 分， 2

25、分， 3 分， 48 分和 49 分这 49 种情况 1分和 3 分的币值显然不能构成 2分， 4分， 6 分， 46 分， 48 分等 2；4 种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成 5分， 7 分， 9 分， 47 分， 49 分等 23 种奇数币值的只须分别在4 分， 6 分,8 分， 46 分、 48 分 的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37 分币值的，由于36 分币值可用18 枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37 分 综合以上分析，不能用30 个贰分和8 个伍分硬币构成的1 分到 1 元之间的币值只有四种，即1 分， 3 分， 9

26、7 分， 99 分 15 小明买红、蓝两支笔，共用了17 元两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵小强打算用 35 元来买这两种笔(也允许只买其中一种) ，可是他无论怎么买，都不能把35 元恰好用完那么红笔的 单价是多少元 ? 【分析与解】如下表 先枚举出所有可能的单价如表1 再依次考虑： 首先，不能出现35 的约数否则只买这种笔就可以刚好用完35 元，所以含有7，5，1 的组合不可能 然后，也不能出现3517=18 的约数否则先各买一支需17 元，那么再买这种笔就可以花去18 元，一 共花 35 元所以含有9，6，3，2 的组合也不可能 所以，只有13+4 的组合可能，经检验13x+4y=

27、35 这个不定方程确实无自然数解所以红笔的单价为13 元 1庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7 个大和尚每天共吃41 个馒头，每29 个小和尚每天 共吃 11 个馒头 . 平均每个和尚每天恰好吃1 个馒头，问：庙里至少有多少个和尚 2小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候早晨见面，小花狗叫两 声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声细心的小娟对它们叫声统计了15 天， 它们并不是，每天早晚都见面，在这15 天内它们共叫61 声问：波斯猫至少叫了多少声? 3 张邱建算经百鸡问题：今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡雏三直一, 百钱买百鸡，问鸡翁、 母、雏各几何 ?