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1、平面向量练习题集答案 典例精析 题型一向量的有关概念 【例 1】 下列命题： 向量AB的长度与BA的长度相等； 向量 a 与向量 b 平行，则a 与 b 的方向相同或相反； 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； 向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D 必在同一直线上. 其中真命题的序号是. 【解析】 对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故错；显然错；AB与CD 是共线向量， 则 A、B、C、D 可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故错 .故是真命题的只有. 【点拨】 正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个 反例即可 .
2、 【变式训练1】下列各式： |a|aa?； (a?b) ?ca?(b?c)； OAOBBA； 在任意四边形ABCD 中， M 为 AD 的中点， N 为 BC 的中点，则ABDC2MN； a(cos ，sin )， b(cos ，sin )，且 a 与 b 不共线，则 (ab)(ab). 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 选 D.| a |aa?正确； (a?b) ?c a?(b?c)；OAOBBA正确；如下图所示， MN=MD+DC+CN且MN=MA+AB+BN， 两式相加可得2MNABDC，即命题正确； 因为 a，b 不共线，且 |a|b|1，所以 ab，ab
3、 为菱形的两条对角线， 即得 (ab)(a b). 所以命题正确. 题型二与向量线性运算有关的问题 【例 2】如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点M在线段DO 上，且DM=DO 3 1 ，点N在线段OC上,且ON=OC 3 1 ,设AB=a,AD=b,试用 a、b 表示AM，AN，MN. 【解析】 在?ABCD 中， AC，BD 交于点 O， 所以DO 1 2 DB 1 2( ABAD)1 2(ab)， AOOC1 2 AC 1 2( ABAD) 1 2(a b). 又DM 1 3 DO，ON 1 3 OC， 所以AMADDMb1 3 DO b1 3 1 2(ab) 1 6a 5
4、 6b， ANAOONOC 1 3OC 4 3 OC 4 3 1 2(ab) 2 3(ab). 所以MNANAM 2 3(ab)( 1 6a 5 6b) 1 2a 1 6b. 【点拨】 向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表 示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形. 【变式训练2】O 是平面 上一点， A、B、C 是平面 上不共线的三点，平面 内的动点P 满足OP OA (ABAC)，若 1 2时，则 PA?(PBPC)的值为. 【解析】 由已知得OPOA (ABAC)， 即AP (ABAC)，当 1 2时，得 AP
5、1 2( ABAC)， 所以 2APABAC，即APABACAP， 所以BPPC， 所以PBPCPBBP0， 所以PA?(PBPC)PA?00，故填 0. 题型三向量共线问题 【例 3】 设两个非零向量a 与 b 不共线 . (1)若AB ab，BC2a8b，CD3(ab)， 求证： A，B，D 三点共线； (2)试确定实数k，使 ka b 和 akb 共线 . 【解析】 (1)证明：因为ABab，BC2a8b，CD3(ab)， 所以BDBCCD2a8b3(ab)5(ab)5AB， 所以AB，BD共线 .又因为它们有公共点B， 所以 A，B，D 三点共线 . (2)因为 kab 和 akb 共
6、线， 所以存在实数 ，使 kab (akb)， 所以 (k )a(k1)b. 因为 a与 b 是不共线的两个非零向量， 所以 k k10，所以 k210，所以 k 1. 【点拨】 (1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想. (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的 区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 【变式训练3】已知 O 是正三角形BAC 内部一点，OA+2OB+3OC=0，则 OAC 的面积与 OAB 的面积之比是（） A. 3 2 B. 2 3 C
7、.2 D. 1 3 【解析】 如图，在三角形ABC 中，OA 2OB3OC0，整理可得OAOC2(OBOC)0. 令三角形 ABC 中 AC 边的中点为E，BC 边的中点为F，则点 O 在点 F 与点 E 连线的 1 3处，即 OE2OF. 设三角形ABC 中 AB 边上的高为h，则 S OACS OAES OEC 1 2 ?OE?(h 2 h 2) 1 2OE h， S OAB 1 2AB ? 1 2h 1 4ABh， 由于 AB2EF，OE 2 3EF，所以 AB3OE， 所以 S OAC S OAB h h AB OE ? ? 4 1 2 1 2 3.故选 B. 总结提高 1.向量共线也
8、称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合 )的情形，而向量平行 则包括共线 (即重合 )的情形 . 2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个 向量表示出来. 3.当向量 a 与 b 共线同向时，|a b| |a| |b|； 当向量 a 与 b 共线反向时， |ab| |a|b|； 当向量 a 与 b不共线时， |ab|a| |b|. 典例精析 题型一平面向量基本定理的应用 【例 1】如图?ABCD 中 ,M,N 分别是 DC，BC 中点 .已知AM=a,AN=b,试用 a，b 表示AB，AD与AC 【解析】 易知AMADDM
9、AD 1 2 AB， ANABBNAB 1 2 AD， 即 . 2 1 , 2 1 b a ADAB ABAD 所以AB 2 3(2b a)， AD 2 3(2ab). 所以ACABAD 2 3(a b). 【点拨】 运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运 用值得仔细领悟. 【变式训练1】 已知 D 为 ABC 的边 BC 上的中点，ABC 所在平面内有一点P， 满足PABPCP 0，则 | | AD PD 等于 () A. 1 3 B. 1 2 C.1D.2 【解析】 由于 D 为 BC 边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PBPC2P
10、D，因 此结合PABPCP0 即得PA2PD，因此易得P，A，D 三点共线且D 是 P A 的中点，所以 | | AD PD 1，即选 C. 题型二向量的坐标运算 【例 2】 已知 a(1，1)，b(x，1)，ua2b，v 2ab. (1)若 u 3v，求 x；(2)若 uv，求 x. 【解析】 因为 a(1，1)，b(x，1)， 所以 u(1，1) 2(x，1)(1，1)(2x，2)(2x1， 3)， v 2(1，1)(x，1)(2 x，1). (1)u3v? (2x1， 3)3(2x，1) ? (2x1，3) (6 3x，3)， 所以 2x163x，解得 x1. (2)uv ? (2x1，
11、 3) (2x，1) ? 3 ),2(12xx ? (2x1)3(2x)0? x 1. 【点拨】 对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视. 【变式训练2】已知向量an (cosn 7 ，sinn 7 )(nN *)， |b|1.则函数 y|a1b|2|a2b|2|a3b|2 |a141b|2的最大值为. 【解析】 设 b (cos ，sin )，所以 y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2(a1)2 b22(cos 7， sin 7)(cos ，sin ) (a 141)2b22(cos141 7 ，sin 141 7 )(cos ，sin
12、 )2822cos( 7 )，所以 y 的最大 值为 284. 题型三平行 (共线 )向量的坐标运算 【例 3】已知 ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，设向量 m(a，b)，n(sin B，sin A)，p (b2，a2). (1)若 mn，求证： ABC 为等腰三角形； (2)若 mp，边长 c2，角 C 3，求 ABC 的面积 . 【解析】 (1)证明：因为mn，所以 asin Absin B. 由正弦定理，得a2b2，即 ab.所以ABC 为等腰三角形 . (2)因为 mp，所以 mp0，即 a(b 2)b(a2)0，所以 a bab. 由余弦定理，得4a2b2ab(a
13、 b)23ab， 所以 (ab)23ab 40. 所以 ab4 或 ab 1(舍去 ). 所以 S ABC 1 2absin C 1 2 4 3 2 3. 【点拨】 设 m(x1，y1)，n (x2，y2)，则 mn? x1y2x2y1； mn? x1x2y1y2 0. 【变式训练 3】已知 a，b，c 分别为 ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量 m(2cosC1， 2)， n (cos C，cos C1).若 mn，且 ab10，则 ABC 周长的最小值为() A.1053 B.1053 C.1023 D.1023 【解析】由 mn 得 2cos2C3cos C20， 解得 cos
14、 C 1 2或 cos C2(舍去 )， 所以 c 2a2b22abcos C a2b2ab(ab)2 ab100ab，由 10ab2ab? ab25，所以 c275，即 c5 3，所以 a b c1053，当且仅当ab5 时，等号成立.故选 B. 典例精析 题型一利用平面向量数量积解决模、夹角问题 【例 1】 已知 a，b 夹角为 120 ，且 |a|4，|b|2，求： (1)|ab|； (2)(a2b) (ab)； (3)a 与(ab)的夹角 . 【解析】 (1)(ab)2 a2 b2 2ab 1642 4 2 1 2 12， 所以 |ab|23. (2)(a2b) (ab)a 23ab2
15、b2 163 4 2 1 22 412. (3)a(ab)a2ab164 2 1 212. 所以 cos | )( baa baa? 12 4 2 3 3 2 ，所以 6. 【点拨】 利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题. 【变式训练1】 已知向量a， b， c 满足：|a|1， |b|2， cab， 且 ca， 则 a 与 b 的夹角大小是. 【解析】 由 ca? ca0? a2ab0， 所以 cos 1 2，所以 120 . 题型二利用数量积来解决垂直与平行的问题 【例 2】 在 ABC 中，AB(2，3)，AC(1，k)，且 ABC 的一个内角为直角，求k 的值
16、 . 【解析】 当A90 时，有ABAC0， 所以 2 13k0，所以 k 2 3； 当B90 时，有ABBC0， 又BCACAB(12，k3) (1，k3)， 所以 2 (1)3 (k 3)0? k 11 3 ； 当C90 时，有ACBC0， 所以 1k(k3)0， 所以 k2 3k1 0? k 3 13 2 . 所以 k的取值为 2 3， 11 3 或 3 13 2 . 【点拨】 因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向 及两向量的夹角. 【变式训练2】ABC 中， AB4，BC5，AC6， 求ABBCBCCACAAB. 【解析】 因为 2ABBC
17、2BCCA2CAAB (ABBCCAAB)(CAABBCCA)(BCCABCAB) AB(BCCA)CA(ABBC)BC (CAAB) ABBACAACBCCB 426252 77. 所以ABBCBCCACAAB 77 2 . 题型三平面向量的数量积的综合问题 【例 3】数轴 Ox，Oy 交于点 O，且 xOy 3 ，构成一个平面斜坐标系，e1，e2分别是与 Ox，Oy 同向 的单位向量，设P 为坐标平面内一点，且OPxe1ye2，则点 P 的坐标为 (x，y)，已知 Q(1，2). (1)求|OQ|的值及OQ与 Ox 的夹角； (2)过点 Q 的直线 lOQ，求 l 的直线方程 (在斜坐标系
18、中). 【解析】 (1)依题意知， e1 e21 2， 且OQ e12e2， 所以OQ 2( e 1 2e2)21 44e1e23. 所以 |OQ|3. 又OQ e1(e12e2) e1 e212e1?e2 0. 所以OQe1，即OQ与 Ox 成 90 角. (2)设 l 上动点 P(x，y)，即OPxe1ye2， 又OQl，故OQQP， 即(x 1)e1(y 2)e2 (e12e2)0. 所以 (x1) (x 1)(y2) 1 22(y2)0， 所以 y2，即为所求直线l 的方程 . 【点拨】 综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解 析几何等相交汇，
19、体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势. 【变式训练3】在平面直角坐标系xOy 中，点 A(5，0).对于某个正实数k，存在函数f(x) ax2(a0)， 使得OP?( |OA OA |OQ OQ )(为常数 )，其中点P，Q 的坐标分别为 (1，f(1)，(k， f(k)，则 k 的取值范围为() A.(2， )B.(3， ) C.(4， )D.(8， ) 【解析】 如图所示，设 |OA OA OM， |OQ OQ ON，OMONOG，则OP OG.因为 P(1， a)，Q(k，ak2)，OM(1，0)，ON ( k k2a2k4 ， ak2 k2a2k4 )，OG( k k2a2k4 1， ak2 k2 a2k4 )，则直 线 OG 的方程为y ak2 kk2a2k4 x，又OPOG，所以 P(1，a)在直线 OG 上，所以a ak2 kk2a2k4 ， 所以 a21 2 k. 因为 |OP|1a21，所以 1 2 k 0，所以 k2. 故选 A.