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1、高中数学必修4 知识点 第一章 三角函数 正角: 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角 零角: 不作任何旋转形成的角 2、象限的角 ：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落 在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何 象限，叫做 轴线角 。 第一象限角的集合为36036090 ,kkk 第二象限角的集合为36090360180 ,kkk 第三象限角的集合为360180360270 ,kkk 第四象限角的集合为360270360360 ,kkk 终边在x轴上的角的集合为 180 ,kk 终边在 y轴上的角
2、的集合为 18090 ,kk 终边在坐标轴上的角的集合为90 ,kk 3、与角终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合Zkk,360| 4、弧度制： （ 1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是 l r （ 2）度数与弧度数的换算：2360 o ，180 rad ，1 rad 185730.57) 180 ( 注： 角度与弧度的相互转化：设一个角的角度为 o n，弧度为； 角度化为弧度：180180 n nn o oo ，弧度化为角度： o o 180180 （ 3）若扇形的圆心角为（是角的弧度数）
3、 ，半径为r，则： 弧长公式：, 180 （用度表示的） n l （用弧度表示的）rl| ； 扇形面积：)( 360 2 用度表示的 扇 rn slrrS 2 1 | 2 12 扇 （用弧度表示的） 5、三角函数 : （ 1）定义 ：设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标 是, x y，它与原点的距离是 22 0rOPrxy， 则sin y r ，cos x r ，tan0 y x x 定义 ：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)， 那么 v 叫做的正弦，记作sin,即 siny;u 叫做的余 弦，记作cos，即 cos=x; 当的终边不在y 轴上时， x y 叫做的正切，
4、记作tan, 即 tan= x y . （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S正， T正， C正。 口诀：第一象限全为正； 二正三切四余弦. （3）特殊角的三角函数值 的角度030456090120135150180 的弧度0 64323 2 4 3 6 5 P(x,y) y x o sin x y + + _ _ O x y + + _ _ cos O tan x y + + _ _ O P(x,y) y x o sin0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 tan0 3 3 13 不存在3 1
5、3 3 0 的角度210225240270300315330360 的弧度 6 7 4 5 3 4 2 3 3 5 4 7 6 11 2 sin 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 tan 3 3 13不存在31 3 3 0 （4）三角函数线：如下图 （5）同角三角函数基本关系式 （）平方关系：1cossin 22 （）商数关系： cos sin tan 6、三角函数的诱导公式： 1 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tankk 口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等 2 sinsin，cosc
6、os，tantan 3 sinsin，coscos，tantan 4 sinsin，coscos，tantan 5 sin 2sin，cos 2cos，tan 2tan 口诀：函数名称不变，正负看象限 6 sincos 2 ，cossin 2 ，tancot 2 7 sincos 2 ，cossin 2 ，tancot 2 口诀：正弦与余弦互换，正负看象限 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变， 符号看象限” 。即将括号里面的角拆成2 k 的 形式。 7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 函 数 sinyx cosyxtanyx 图 象 定RR, 2 x xkk 义 域 值 域 值域：1,
7、1 当2 2 xkk时， max 1y；当2 2 xk k时， min 1y 值域：1,1 当2xkk时， max 1y；当2xk k时， min 1y 值域：R 既无最大值也无最小值 周 期 性 sinyx是周期函数； 周期为 2,TkkZ且0k； 最小正周期为2 cosyx是周期函数；周期 为2,TkkZ且0k； 最小正周期为2 tanyx是周期函数； 周 期 为,TkkZ且 0k；最小正周期为 奇 偶 性 奇函数偶函数奇函数 单 调 性 在2,2 22 kk k上是增函数；在 3 2,2 22 kk k上是减函数 在2,2kkk上 是增函数； 在2,2kk k上是减函数 在, 22 kk
8、 k上是增函数 对 称 性 对称中心,0kk 对称轴 2 xkk 对称中心 ,0 2 kk 对称轴xkk 对称中心 ,0 2 k k 无对称轴 8、 （ 1）sinyxb的图象与xysin图像的关系： 图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍 振幅变换：xysinxAysin 周期变换： xysinxysin 相位变换：xysin)sin(xy 平移变换：)sin(xAy sinyxb 注：函数 xysin 的图象怎样变换得到函数sinyAxB的图象：（两种方法） 先平移后伸缩： sinyx平移|个单位si nyx （左加右减） 纵坐标不变)s i n ( xy 横坐标变为原来的 1
9、|倍 横坐标不变sinyAx 纵坐标变为原来的A 倍 平移|B个单位sinyAxB （上加下减） 先伸缩后平移： sinyx 纵坐标不变 xysin 横坐标变为原来的 1 |倍 平移个单位)sin(xy 图象整体向左（0）或向右（0）平移个单位 图象上每个点的横坐标变为原来的 1 倍，纵坐标不变 图象整体向上（ 0b ）或向下（ 0b ） b （左加右减） 横坐标不变sinyAx 纵坐标变为原来的A 倍 平移|B个单位sinyAxB （上加下减） （2）函数)0,0()sin(AbxAy的性质： 振幅：；周期： 2 ；频率： 1 2 f ；相位： x ；初相： 定义域： R 值域：,Ab Ab
10、 当2 2 xkk时， max yAb； 当2 2 xkk时， min yAb 周期性：函数 )0,0()sin(AbxAy 是周期函数；周期为 2 T 单调性：x在2,2 22 kkk上时是增函数； x在 3 2,2 22 kkk上时是减函数 对称性：对称中心为,0 k k；对称轴为x 2 kk 第二章 平面向量 1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示 2、零向量：长度为0 的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的 3、 单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量；与向量a平行的单位向量： |a a e 4、平行向量 （共线向量） ： 方向
11、相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作ba /； 规定0与任何向量平行 5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等. 注意：任意两个相等的非零向量， 都 可以 用同一条有 向线段 来表 示，并且与有向线段的起点无关。 6、向量加法运算： 三角形法则的特点： 首尾相接 平行四边形法则的特点： 起点相同 运算性质： 交换律：abba； 结合律： abcabc；00aaa 坐标运算： 设 11 ,ax y， 22 ,bxy，则 1212 ,abxxyy 7、向量减法运算： 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 坐标运算：设 11 ,ax y， 22
12、,bxy，则 1212 ,abxxyy 设、两点的坐标分别为 11 ,xy， 22 ,xy，则 2121 ,xx yy 8、向量数乘运算： b a C abCC 实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a aa； 当 0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反； 当 0时，0a 运算律：aa；aaa；abab 坐标运算：设,ax y，则,ax yxy 9、向量共线定理：向量0a a与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba 设 11 ,ax y， 22 ,bxy， 其中0b，则当且仅当 1221 0 x yx y时，向量a、0b b 共线 10、平面向量基本定理：如
13、果 1 e、 2 e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任意向量a，有且只有一对实数 1、2，使 1122 aee （不共线 的向量 1 e、 2 e作为 这一平面内所有向量的一组基底） 11、分点坐标公式：设点是线段 12上的一点，1、2的坐标分别是11 ,x y， 22 ,xy， 当 12时，点 的坐标是 1212 , 11 xxyy 12、平面向量的数量积： 定义：cos0,0,0180a ba bab零向量与任一向量的数量积为 0 性质： 设a和b都是非零向量， 则0aba b当a与b同向时，a ba b； 当a与b反向时，a ba b； 2 2 a aaa或aa aa
14、 ba b 运算律：a bb a；aba bab；abca cb c 坐标运算：设两个非零向量 11 ,ax y， 22 ,bxy，则 1212 a bx xy y 若,ax y，则 2 22 axy，或 22 axy 设 11 ,ax y， 22 ,bxy，则 1212 0abx xy y 设a、b都是非零向量， 11 ,ax y， 22 ,bxy，是a与b的夹角，则 1212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy 第三章 三角恒等变形 1、同角三角函数基本关系式 （）平方关系：1cossin 22 （）商数关系： cos sin tan （）倒数关系：1cotta
15、n 2 2 2 tan1 tan sin； 2 2 t an1 1 c o s 注意：tan,cos,sin按照以上公式可以“知一求二” 2、两角和与差的正弦、余弦、正切 )( S：sincoscossin)sin( )( S：sincoscossin)sin( )( C：sinsincoscos)cos(a )( C：sinsincoscos)cos(a )( T： tantan1 tantan )tan( )( T： tantan1 tantan )tan( 正切和公式： )tantan1()tan(tantan 3、辅助角公式 ：x ba b x ba a baxbxacossincos
16、sin 2222 22 )sin()sincoscos(sin 2222 xbaxxba （其中称为辅助角，的终边过点),(ba， a b tan） 4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： 2 S：cossin22sin 2 C： 22 sincos2cos1cos2sin21 22 2 T： 2 tan1 tan2 2tan * 二倍角公式的常用变形：、|sin|22cos1，|cos|22cos1； 、|sin|2cos 2 1 2 1 ，|cos|2cos 2 1 2 1 2 2sin 1cossin21cossin 2 2244 ； 2cossincos 44 ； * 降次公式：2sin
17、2 1 cossin 2 1 2cos 2 1 2 2cos1 sin 2 2 1 2cos 2 1 2 2cos1 cos 2 5、* 半角的正弦、余弦和正切公式： 2 cos1 2 sin； 2 cos1 2 cos， cos1 cos1 2 tan cos1 sin sin cos1 6、同角三角函数的常见变形：（活用“ 1”） 22 cos1sin； 2 cos1sin； 22 sin1cos； 2 sin1cos； 2sin 2 cossin sincos cottan 22 ， 2cot2 2sin 2cos2 cossin sincos tancot 22 2sin1cossin
18、21)cos(sin 2 ；|cossin|2sin1 7、补充公式： 万能公式 2 tan1 2 tan2 sin 2 ； 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 ； 2 tan1 2 tan2 tan 2 积化和差公式 )sin()sin( 2 1 cossin )sin()sin( 2 1 sincos )cos()cos( 2 1 coscos )cos()cos( 2 1 sinsin 和差化积公式 2 cos 2 sin2sinsin； 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 c os2c osc os； 2 sin 2 sin2coscos 注： 带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式